第二十章勾股定理 单元综合练习（含答案） 2025－2026学年数学人教版八年级下册

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第二十章　勾股定理 (总分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在直角三角形中,两条直角边的长分别是3,4,则斜边的长是 (　　) A.7 B.4 C.5 D.7 2.下列图形中,正方形面积的标注用于验证勾股定理正确的是 (　　) A B C D 3.如图,在平面直角坐标系中,有两点的坐标分别为(2,0)和(0,3),则这两点之间的距离是 (　　) A.13 B.5 C.13 D.5 4.若3,4,a为勾股数,则a的值为 (　　) A.7 B.5 C.5或7 D.5或7 5.如图,△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,连接BD,则BD的长为 (　　) A.3 B.23 C.33 D.43 6.(2025惠州期中)点A,B,C,D,E是如图所示的正方形网格中网格线的交点,则∠BAC+∠CDE= (　　) A.30° B.45° C.50° D.60° 7.如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以O为圆心,OC长为半径作弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 (　　) A.7 B.5 C.6 D.2.5 8.如图,25 m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为7 m.若梯子的顶端沿墙下滑4 m,则梯足将向左移(　　) A.4 m B.6 m C.8 m D.10 m 9.直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边上的高为h,则下列各式总能成立的是 (　　) A.ab=h2 B.a2+b2=2h2 C.1a+1b=1h D.1a2+1b2=1h2 10.(2025张家口期末)如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S3+S2-S1=14,则图中阴影部分的面积为 (　　) A.72 B.92 C.6 D.7 11.如图是一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为4 m,34 m和14 m,A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A上有一只蚂蚁想到点B去吃可口的食物,则它所爬行的最短路线的长度为 (　　) A.3.5 m B.4.5 m C.5 m D.5.5 m 12.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 (　　) A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E.若CD=2,BC=6,则BE=　　　　.  14.在Rt△ABC中,AB=3BC=3,则AC的长为　　　　.  15.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的渔线BC的长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的渔线B'C'的长为8 m,则BB'的长为 　　　　m.  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=　　　　.  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(7分)已知a,b,c满足(a-3)2+b-3+|c-12|=0. (1)求a,b,c的值. (2)以a,b,c为三边能否构成直角三角形?若能,求出三角形的周长;若不能,请说明理由. 18.(8分)甲同学在拼图探索活动中发现,用4个形状大小完全相同的直角三角形(直角边长分别为a,b,斜边长为c),可以拼成像图1那样的正方形,并由此得出了关于a2,b2,c2的一个重要结论. (1)请你写出这一结论为　　　　　　　　,并给出证明过程.  (2)试用上述结论解决问题:如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁,若S甲=30,S乙=16,S丙=17,求正方形丁的面积. 19.(8分)如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点.已知点A,B,C都在格点上. (1)小明发现图中∠ABC是直角,请补全他的思路: 先利用勾股定理求出△ABC的三边长,可得AB=　　　　,BC=　　　　,AC=　　　　.从而可得三边的数量关系为　　　　,根据　　　　　　　　　,可以得到∠ABC是直角.  (2)请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角. 20.(8分)小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度,通过如图勘测,得到如下记录:①测得水平距离BC的长为12 m;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为13 m;③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD的长为1.5 m. (1)求风筝到地面的距离(线段AD的长). (2)如果小龙想要风筝沿CA方向再上升4 m,BC和CD的长度不变,那么他应该再放出　　　　m的风筝线.  21.(9分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9. (1)求DC的长. (2)求AB的长. (3)求∠ACB的度数. 22.(9分)规律探索题:细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题. OA22=(1)2+1=2;S1=12(S1是△OA1A2的面积); OA32=(2)2+1=3;S2=22(S2是△OA2A3的面积); OA42=(3)2+1=4;S3=32(S3是△OA3A4的面积); …… (1)推算出OA62=　　　　,S5=　　　　(S5是△OA5A6的面积).(2)请用含有n(n为正整数)的式子表示Sn=　　　　(Sn是△OAnAn+1的面积).  (3)求出1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+1S4+S5的值. 23.(11分)如图,A市接到台风警报时,台风中心位于距离A市52 km的B处(即AB=52 km),台风正以8 km/h的速度沿BC方向移动.已知A市到BC的距离AD=20 km. (1)台风中心从点B移动到点D经过多长时间? (2)如果在距台风中心25 km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长? 24.(12分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P,Q分别是△ABC的边AB,BC上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设运动的时间为t s. (1)当t=2时,求PQ的长. (2)求运动时间为几秒时,△PQB是等腰三角形. (3)若点Q沿B→C→A方向运动,则当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间. 【详解答案】 1.C 2.D　解析:A.S1+S2=3+4=7≠S3,故不符合题意;B.S1+S2=3+2=5≠S3,故不符合题意;C.S1+S2=5+12=17≠S3,故不符合题意;D.S1+S2=5+5=10=S3,故符合题意.故选D. 3.A　解析:设点A(2,0),B(0,3),∴OA=2,OB=3.∴AB=OA2+OB2=22+32=13.故选A. 4.B　解析:∵3,4,a为勾股数,∴当a最大时,a=32+42=5,能构成勾股数;当4最大时,a=42-32=7,不能构成勾股数.综上所述,a的值为5.故选B. 5.D　解析:∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,∴BC=CD=DE=CE=4,∠DCE=∠E=∠CDE=60°,∴∠BCD=120°,∴∠CBD=∠CDB=30°,∴∠BDE=90°,又BE=8,∴BD=BE2-DE2=43.故选D. 6.B　解析:如图,连接AD.设每个小正方形的边长为1,则AD=10,CD=10,AC=25,∴AD2+CD2=AC2,AD=CD,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=∠ACD=45°.由网格得AB∥DE,∴∠BAD+∠ADE=180°,∴∠BAC+∠DAC+∠ADC+∠CDE=∠BAC+45°+90°+∠CDE=180°,∴∠BAC+∠CDE=45°.故选B. 7.A　解析:∵三角形ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB,在Rt△OBC中,OC=BC2-OB2=42-32=7.∵以O为圆心,OC长为半径作弧交数轴于点M,∴OM=OC=7,∴点M对应的实数为7.故选A. 8.C　解析:在Rt△ABC中,已知AB=25 m,BC=7 m,则由勾股定理,得AC=252-72=24(m).∵梯子的顶端沿墙下滑4 m,∴AA1=4 m.∴CA1=AC-AA1=24-4=20(m).∵在Rt△A1B1C中,A1B1=AB=25 m,且A1B1为斜边,∴由勾股定理,得CB1=252-202=15(m).∴BB1=CB1-CB=15-7=8(m).∴梯足将向左移8 m.故选C. 9.D　解析:设该直角三角形的斜边长为c,则c=abh.由勾股定理,得a2+b2=c2,∴a2+b2=a2b2h2.两边同时除以a2b2,得1a2+1b2=1h2.故选D. 10.A　解析:由题图可知,BC2-AC2=AB2,即S3-S1=S2,∵S3+S2-S1=14,∴S2=7,∵阴影部分的面积为12S2,∴阴影部分的面积为72.故选A. 11.C　解析:如图,将台阶展开为长方形,线段AB即为蚂蚁所爬行的最短路线, 由题意得AC=4 m,BC=34+14×3=3(m).在Rt△ABC中, AB=AC2+BC2=42+32=5(m),∴蚂蚁所爬行的最短路线的长度为5 m.故选C. 12.D　解析:如图,由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4……∴“生长”了2 026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2 027.故选D. 13.23　解析:∵AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD=2.∵BC=6,∴BD=BC-CD=6-2=4.∴BE=BD2-DE2=42-22=23. 14.22或10　解析:∵AB=3BC=3, ∴AB=3,BC=1. ①当AB为斜边时,AC=AB2-BC2=32-12=22; ②当AB为直角边时,AC=AB2+BC2=32+12=10. 综上所述,AC的长为22或10. 15.2　解析:在Rt△ABC中,AC=10 m,BC=6 m,∴AB=AC2-BC2= 102-62=8(m).在Rt△AB'C'中,AC'=AC=10 m,B'C'=8 m,∴AB'=AC'2-B'C'2=102-82=6(m).∴BB'=AB-AB'=8-6=2(m). 16.32　解析:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,∴CD=12AC=3.∴BD=BC2+CD2=5.∵将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,∴CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=∠C=90°.∴BF=BD-DF=2,∠BFE=∠EFD=90°.设CE=x,则EF=x,BE=BC-CE=4-x.在Rt△BFE中,由勾股定理,得BE2=EF2+BF2,即(4-x)2=x2+22.解得x=32.∴CE=32. 17.解:(1)∵(a-3)2+b-3+|c-12|=0,且(a-3)2≥0,b-3≥0,|c-12|≥0, ∴(a-3)2=0,b-3=0,|c-12|=0, ∴a=3,b=3,c=12=23. (2)能,∵(3)2+32=12=(23)2, 即a2+b2=c2, ∴以a,b,c为三边的三角形是直角三角形. ∴三角形的周长为3+3+23=33+3. 18.解:(1)a2+b2=c2 证明:由正方形的面积公式可得(a+b)2=12ab×4+c2, 整理得a2+b2=c2. (2)如图,连接AC, ∵S甲=30,S乙=16, ∴AC2=AB2+BC2=30+16=46, ∴S丁=AD2=AC2-CD2=46-17=29. 19.解:(1)10　10　25　AB2+BC2=AC2　勾股定理的逆定理 (2)如图. 在△ADB和△BEC中, AD=BE=3,∠ADB=∠BEC=90°,BD=CE=1, ∴△ADB≌△BEC(SAS), ∴∠ABD=∠BCE, ∵∠BCE+∠EBC=90°, ∴∠ABD+∠EBC=90°, ∴∠ABC=180°-(∠ABD+∠EBC)=90°, 即∠ABC是直角. 20.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC=AB2-BC2=132-122=5(m). ∵CD=1.5 m, ∴AD=AC+CD=5+1.5=6.5(m). 答:风筝到地面的距离(线段AD的长)为6.5 m. (2)2 21.解:(1)∵CD⊥AB,BC=15,DB=9, ∴DC=BC2-DB2=152-92=12. (2)在Rt△ACD中,AC=20,CD=12, ∴AD=AC2-CD2=202-122=16, 则AB=AD+DB=16+9=25. (3)∵252=202+152,即AB2=AC2+BC2, ∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°. 22.解:(1)6　52 (2)n2 (3)1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+1S4+S5=112+22+122+32+132+42+142+52=21+2+22+3+23+4+24+5= 2×(2-1+3−2+4−3+5−4)= 2×(5-1)=25-2. 23.解:(1)在△ABD中,∠ADB=90°, AB=52 km,AD=20 km, ∴BD=AB2-AD2=48 km. ∵台风以8 km/h的速度沿BC方向移动, ∴48÷8=6(h). 答:台风中心从点B移动到点D经过6 h. (2)如图,在BC上分别取点P,Q,使AP=AQ=25 km,连接AP,AQ,则A市在台风移动到点P时开始受到影响,台风离开点Q时恰好不受影响. 在Rt△ADP中, PD=AP2-AD2=15 km, ∵AP=AQ,∠ADB=90°, ∴DP=DQ. ∴PQ=2PD=30 km. ∴30÷8=3.75(h). 答:A市受到台风影响的时间是3.75 h. 24.解:(1)当t=2时,BQ=2×2=4(cm), BP=AB-AP=8-2×1=6(cm). ∵∠B=90°, ∴PQ=BQ2+BP2=42+62=213(cm). (2)根据题意,得BQ=2t cm,BP=(8-t)cm. ∵△PQB是等腰三角形, ∴BQ=BP,即2t=8-t.解得t=83. ∴运动时间为83 s时,△PQB是等腰三角形. (3)分三种情况讨论: ①当CQ=BQ时,如图1所示. 则∠C=∠CBQ. 　图1 ∵∠ABC=90°, ∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°. ∴∠A=∠ABQ. ∴AQ=BQ. ∴AQ=CQ. ∵∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm, ∴AC=AB2+BC2=82+62=10(cm). ∴CQ=AQ=12AC=5 cm. ∴BC+CQ=11 cm. ∴t=11÷2=5.5(s). ②当CQ=BC时,如图2所示. 则BC+CQ=12 cm. ∴t=12÷2=6(s). 图2　　　图3 ③当BC=BQ时,如图3所示. 过点B作BE⊥AC于点E,则CE=EQ. ∵S△ABC=12AB·BC=12BE·AC, ∴BE=AB·BCAC=8×610=4.8(cm). ∴CE=BC2-BE2=62-4.82=3.6(cm). ∴CQ=2CE=7.2 cm. ∴BC+CQ=13.2 cm. ∴t=13.2÷2=6.6(s). 综上所述,当运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s时,△BCQ为等腰三角形.