湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期起点数学练习试题含答案

这是一份湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期起点数学练习试题含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数 fx 的导函数为 f′x ,若 limΔx→0f2−f2+ΔxΔx=−3 ,则 f′2= ( )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
2. 在四面体 O−ABC 中, OA=a,OB=b,OC=c ,点 D 满足 BD=xBC,E 为 AD 的中点,且 OE=12a+13b+16c ,则 x= ( )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
3. 下列求导运算正确的是( )
A. x+1x′=1+1x2 B. x2+2sinx′=2xsinx+x2+2csx
C. x2ex′=2x+x2ex D. ln3x+2′=13x+2
4. 设数列 an 满足 a1=2,an+1=an−1an ,则 a2026= ( )
A. −12 B. -1 C. 12 D. 2
5. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S11=a3+a92 ,则一定有( )
A. S11=1 B. a6=2 C. S6=S5 D. S7=S5
6. 若点 P 在曲线 y=x3−3x 上,曲线在 P 处的切线的倾斜角为 α ,则 α 的取值范围是 ( )
A. 2π3,π B. 0,π2
C. 0,π2∪2π3,π D. 0,π2∪π2,2π3
7. 设斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C:y2=−8x 交于 A,B 两点,若 P−1,−2 为线段 AB 的中点, 则直线 l 的方程为( )
A. y=−2x−4 B. y=−2x C. y=2x D. y=2x+2
8. 已知 F1,F2 是双曲线 C1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,椭圆 C2 与双曲线 C1 的焦点相同, C1 与 C2 在第一象限的交点为 P ,若 PF1 的中点在双曲线 C1 的渐近线上,且 PF1⊥PF2 ,则椭圆的离心率是 ( )
A. 12 B. 32 C. 53 D. 55
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知圆 O1:x2+y2+2x−3=0 与圆 O2:x2+y2−2y−1=0 ,则()
A. 点 1,−1 在圆 O2 内 B. 两圆相交,公共弦的方程为 x+y−1=0
C. 圆 O1 与圆 O2 有三条公切线 D. 圆 O1 平分圆 O2 的周长
10. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,且 a1=1,2Sn+1−Sn=2n+2 ,则 ( )
A. a2=32 B. an−2 为等比数列
C. 数列 an 单调递减
D. Sn=2n−2+12n−1
11. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4,P 是线段 DD1 的中点， Q 是底面正方形 ABCD 内的动点 (包含边界), 则下列说法中正确的是 ( )
A. 三棱锥 D1−B1C1Q 的体积为定值
B. 存在点 Q ,使得 PQ⊥ 平面 AB1C
C. 若点 Q 在线段 AC 上运动，则 PQ 与平面 ADD1A1 所成角正弦的最大值为 55
D. 若 D1Q 与 AB 所成的角为 π3 ,则动点 Q 的轨迹为双曲线的一部分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 记函数 fx 的导数为 f′x ,若 fx=13x3+2xf′1 ,则 f′3= _____.
13. 在平面直角坐标系中,点 E4,6 ,直线 l:x+y+1=0 ,圆 C:x−12+y−12=1 , 点 P 为直线 l 上一个动点，点 Q 为圆 C 上一个动点，则 EP+PQ 的最小值为_____.
14. 已知数列 an 的第一项为 1,第二项为 2+4 ,第三项为 8+16+32,⋯ ,依此类推.记数列 an 的前 n 项和为 Sn,bn=2lg2Sn+1−λ⋅2n ,若数列 bn 单调递减,则实数 λ 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演 算步骤.
15. ( 1 )已知函数 gx=x3+ax ，若曲线 y=gx 在 x=0 处的切线也与 hx=−lnx 的图象相切,求 a 的值.
( 2 )过点 Aa,0 作曲线 C:y=x⋅ex 的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数 a 的取值范围.
16. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和. 已知 2Snn+n=2an+1 .
(1)证明: an 是等差数列；
(2)若 a4,a7,a9 成等比数列，令 bn=1an+14an+16 ，且 bn 的前 n 项和为 Tn ，若 Tn0,b>0 的焦距为 42 ，且点 4,23 在双曲线 C 上.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2) n∈N∗ ，点列 Pnxn,yn 按如下规则构造:①点 P1 为 C 的右顶点；②过点 Pn 作斜率为 12 的直线 ln ,交双曲线 C 于另一点 Qn ; ③点 Pn+1 为点 Qn 关于 x 轴的对称点.
记 an=xn−yn ,解答下面问题.
(i) 证明: 数列 an 是等比数列;
(ii) 若 Sn 为数列 an 的前 n 项和,设 bn=1Sn ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn2 ,
所以点 1,−1 在圆 O2 外,因此本选项说法不正确;
B: O1O2=1+1=2 ,
因为 2−20 ,故 an−an−1−1=0 ,即 an−an−1=1 为常数,
因此 an 为等差数列,
(2)由(1)知 an 为等差数列，且公差为 d=1 ，
又 a4,a7,a9 成等比数列,故 a72=a4a9⇒a1+62=a1+3a1+8 ,解得 a1=−12 ,
故 an=−12+n−1=n−13 ,
故 bn=1an+14an+16=1n+1n+3=121n+1−1n+3 ,
故
Tn=1212−14+13−15+14−16+⋯+1n+1−1n+3=1212+13−1n+2−1n+3=512−121n+2+1n+3 , fn=1n+2+1n+3 单调递减,故 Tn=512−121n+2+1n+3 单调递增,因此 Tn0,b>0 的焦距为 2c=42 ,得 c=22 , ∴a2+b2=c2=8 ,
又 ∵ 点 4,23 在双曲线 C 上,
∴42a2−232b2=1 ,即 16a2−128−a2=1 ,解得 a2=4 ,则 b2=4 ,
∴ 双曲线 C 的方程为 x24−y24=1 .

(2)(i)双曲线的右顶点为 P12,0 ，故 x1=2,y1=0,∴a1=x1−y1=2 ，
过点 Pnxn,yn 作斜率为 12 的直线 ln ,方程为 y−yn=12x−xn ,
联立直线与双曲线方程得 x2−12x−xn+yn2=4 ,整理得
3x2+2xn−2ynx+−5xn2+4xnyn=0,
设 QnxQn,yQn ,
由韦达定理得 xn+xQn=−23xn−2yn ,解得 xQn=−5xn+4yn3 ,
yQn=12xQn−xn+yn=−4xn+5yn3,
点 Pn+1 为点 Qn 关于 x 轴的对称点,故 xn+1=xQn=−5xn+4yn3,yn+1=−yQn=4xn−5yn3 ,
∵an=xn−yn ,
∴xn+1−yn+1=−5xn+4yn3−4xn−5yn3=−3xn−yn ,
∴an+1=xn+1−yn+1=3xn−yn=3an ,
∴an 是首项为 2,公比为 3 的等比数列;
(ii) ∵an=2⋅3n−1 ,
∴Sn=23n−13−1=3n−1 ,
∴bn=1Sn=13n−1 ,
当 k=1 时, b1=131−1=12 ,
当 k≥2 时, 3k−1>2×3k−1,∵3k−1−2×3k−1=3k−1−1≥0 ,
∴13k−1