湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义计算进行求解.
【详解】由，
则.
故选：D.
2. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意
，
所以，解得，
故选：B
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用导数的运算法则和复合函数求导的法则，准确运算，即可求解.
【详解】对于A，由 ，所以A错误；
对于B，由，所以B正确；
对于C，由，所以C错误；
对于D，由，所以D错误.
故选：B.
4. 设数列满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解．
详解】已知，则，，
，，
可见此数列为周期是3的周期数列，
，
，故D正确．
故选：D．
5. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差中项求解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以
解得 ，
所以，
故选：C
6. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可.
【详解】设，由函数，得，
所以过点的切线斜率，
根据二次函数的图像性质，可得，
又，即，
又，所以得的取值范围是.
故选：C
7. 设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程.
【详解】设，，则，由：作差得，
得，所以直线方程为，即.
故选：C
8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，
又因为，且分别为，的中点，所以,
所以到渐近线的距离为，
所以，，结合，可得：①
因为，所以即，
整理得：，将①代入，，所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆与圆，则（ ）
A. 点在圆内B. 两圆相交，公共弦的方程为
C. 圆与圆有三条公切线D. 圆平分圆的周长
【答案】BD
【解析】
【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可.
【详解】圆，
则圆的圆心坐标为，半径为.
圆，
则圆的圆心坐标为，半径为.
A：因为，
所以点在圆外，因此本选项说法不正确；
B：,
因为，
所以两圆相交，
，
所以本选项说法正确；
C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确；
D：因为，
所以圆心在圆上，
又因为，
所以圆心在公共弦所在直线上，
因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确，
故选：BD
10. 记为数列的前项和，且，，则（ ）
A. B. 为等比数列
C. 数列单调递减D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令得出可判断AC；利用降标作差得出，再根据等比数列的定义证明判断B；利用分组求和判断D.
【详解】令，则，即，
因为，所以，故A正确，C错误；
因为，所以，
两式作差得，
当时，符合上式，故，则，
因，由以上递推关系可知，所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
得，则，
则，故D正确.
故选：ABD
11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为
D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平面平面，得到点到平面的距离为定值，结合锥体的体积公式，可判定A正确；连接,交于点，证得平面，当为底面正方形中心时，得到平面，可判定B正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合向量的夹角公式，可判定C错误；设，由与所成的角为，列出方程，得到动点的轨迹为双曲线的一部分，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为平面平面，所以点到平面的距离为定值，
所以为定值，所以A正确；
对于B中，连接,交于点，连接，
则为的中点，因为为的中点，所以，
在正方体中，可得，
因为，且平面，所以平面，
所以平面，当为底面正方形中心时，平面，所以B正确.
对于C中，以为原点，所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
则, , ，可得，，
设，其中，则，
可得平面的法向量，
设直线与平面所成角为，当时，与重合，此时，；
当时，，
当且仅当时取等号，
综上可得，与平面所成角的正弦值最大为，所以C错误.
对于D中，设，则,，
因为与所成的角为，所以，
所以，可得，所以动点的轨迹为双曲线的一部分，所以D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记函数的导数为，若，则_____.
【答案】7.
【解析】
【分析】求，将代入，求出，从而求出，继而求出.
【详解】因为，故，
故，解得，所以，故.
故答案为：.
13. 在平面直角坐标系中，点，直线：，圆：，点为直线上一个动点，点为圆上一个动点，则的最小值为______.
【答案】9
【解析】
【分析】设点关于直线的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点的坐标结合两点间距离即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点为，则，，
当、、三点共线时，取得最小值，
则，
又由，设点，
则，解得，则，
又因为圆：，其圆心为，半径，
则，所以.
故答案为：9.
14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围.
【详解】由题意得：
，
又因为，
所以有，
因为数列单调递减，所以有对于恒成立，
即对于恒成立，
再取，则由，
可知数列单调递减，则，
所以要使得不等式对于恒成立，
则满足，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
15. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值．
（2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先求曲线在处的切线方程，再设切线方程与的图象相切于点，利用公切线即可求解；
（2）设切点坐标为，利用斜率公式得，进而得，利用二次方程即可求解.
【详解】（1），，又，
曲线在处的切线方程为．
设直线与的图象相切于点，
，，
切线方程为，即，
，解得，
所以；
（2）对求导得，
设切点坐标为，则过点的切线的斜率，
化简得，
依题知，关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得或，
故实数a的取值范围是．
16. 记为数列的前n项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的关系即可作差求解，
（2）根据裂项求和可得的表达式，进而利用单调性求解的取值，即可求解.
【小问1详解】
由可得，
当时，，
故，
化简可得，
由于，故，即为常数，
因此为等差数列，
【小问2详解】
由（1）知为等差数列，且公差为，
又，，成等比数列，故，解得，
故，
故，
故，
单调递减，故单调递增，因此，
恒成立，故，解得，
17. 如图，四棱锥底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点．

（1）求证：平面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点D到平面的距离
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中位线可证四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理得证；
（2）取中点O，连接，过O作．建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角的余弦值，进而求得四棱锥的高，从而求得点D到平面的距离.
【小问1详解】
取中点F，连接，．
∵E为中点，F为中点，∴且．
又且，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
【小问2详解】
取中点O，连接，过O作．
∵，∴．
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
则，，
设，则，
设平面的法向量，
，则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
因为平面的法向量，
平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，
又，
所以点D到平面的距离为 .
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点．
（1）P为椭圆C上一动点，求的最大值；
（2）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，可得，代入两点间距离公式结合二次函数的性质即可求解.
（2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，，进而结合直线斜率公式，一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可.
【小问1详解】
设为椭圆上一点，
则，且 ，
则
，
所以当时，.
【小问2详解】
椭圆右焦点，设直线，，，
联立直线与椭圆方程，可得，
由韦达定理得，，
而直线的方程为，把代入方程中，得，
所以，于是，，，
因为，，成等差数列，
所以，
化简得，
把代入化简，得，
把代入，
得，因为，所以有，即.
19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2），点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点．
记，解答下面问题．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由焦距得出，利用双曲线的性质得出的关系，结合已知点构造方程求出，进而求出，得出双曲线方程；
（2）根据已知条件，设点列出直线方程，联立双曲线方程结合韦达定理求出坐标，进而得出递推关系，证明结论；求出的通项公式，进而求出，利用放缩法证明结论．
【小问1详解】
双曲线的焦距为，得，
，
又点在双曲线上，
，即，解得，则，
双曲线的方程为．
【小问2详解】
（i）双曲线的右顶点为，故，，
过点作斜率为的直线，方程为，
联立直线与双曲线方程得，整理得，
设，
由韦达定理得，解得，，
点为点关于轴的对称点，故，，
，
，
，
是首项为2，公比为3的等比数列；
（ii），
，
，
当时，，
当时，，，
，
，
，
，
，
．