湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷含答案

这是一份湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项符合题目要求.
1. 集合 M={x∣−2≤x≤3},N={x∣lnx≤1} ,则 M∪N= ( )
A. (0,e] B. −2,e C. (−∞,3] D. −2,3
2. 若复数 z 满足 1+iz=5i−z ,则 z−1z−i= ( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
3. 已知 fx=2xex−1+ax 为偶函数，则 a 的值为( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 对于响应变量 Y ,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 y 称为预测值,观测值减去预测值称为残差. 将某公司新产品自上市起的月份 x 与该月的对应销量 y (单位:万件)整理成如下表格:
建立 y 与 x 的线性回归方程为 y=0.21x+0.37 ,则第 2 个月和第 4 个月的残差和为( )
A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919
5. 若函数 fx=2sinx+csx−3,x∈0,π 的两个零点分别为 x1 和 x2 ,则 csx1+x2= ( )
A. −35 B. −15 C. 15 D. 35
6. 已知 Sn 是公比不为 1 的等比数列 an 的前 n 项和,则 “ S2,S6,S3 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 m,n ，使得 am,amn,an 成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在 △ABC 中，“ A>B>C ”是 “ cs2A0 的右顶点为 A ,抛物线 C:y2=12ax 的焦点为 F . 若在双曲线 E 的渐近线上存在点 P ,使得 PA⋅PF=0 ,则双曲线 E 的离心率的取值范围是 ( )
A. 1,2
B. 1,233
C. 2,+∞
D. 233,+∞
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下图是一个正方体的平面展开图, 则在该正方体中()

A. AE//CD B. CH//BE C. DG⊥BH D. BG⊥DE
10. 设 2x+1n=a0xn+a1xn−1+⋯+an ,则 ( )
A. an−1=2n,an=1
B. a0+a1+⋯+an=1
C. an−2−9an−1 的最小值为 -50
D. 若 n≥6 且当 n=k 时， a2=bk ，则有 bn+1+4bn−1=4bn+2n
11. 已知等式 ab=eaa>0,a≠1 其中 e 是自然对数的底数,将 a 视为自变量 x(x>0 , x≠1) ， b 为 x 的函数，记为 y=fx ，则下列结论正确的是( )
A. fe=e
B. f3e 时,若 fx=k 的两实根为 x1,x2 ,则 x1+x2>2e
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设曲线 y=12x2 在点 A1,12 处的切线与曲线 y=xlnx 在点 P 处的切线互相平行,则点 P 的坐标为_____.
13. 现将 A,B,C,D,E,5 位民警派往甲，乙，丙，丁，戊 5 个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲， 每人只到 1 个学校，每个学校只去 1 人.已知 A 民警不能去甲学校， B,C 两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有_____种.
14. 如图，在 △ABC 中， AB=4,AC=6,BC=8 . 取 BC 边中点 D ，连接 AD ，设 E 为 AD 中点,连接 BE 并延长与 △ABC 交于点 F ,则 EF 的长为_____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 sinC+π6=b+c2a .
(1)求A；
(2)若 △ABC 的外接圆半径为 23 ，且 sinB=2sinC ，求 △ABC 的面积.
16. 已知 fx=x2−m+2x+mlnx,m∈R .
(1)若 f1=0 ，求不等式 fx≤x2−1 的解集；
(2)若函数 y=fx 满足在 0,+∞ 上存在极大值，求 m 的取值范围；
17. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题， 若两人合计答对题数大于或等于 3 ，则取得胜利，并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题)；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为p,q ,假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.
(1) 当 p=q=12 时,设 X 为乙答题的道数,求 X 的分布列及期望;
( 2 )当 1p+1q=6 时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值.
18. 如图,球 O 的半径为 4,PQ 是球 O 的一条直径, C 是线段 PQ 上的动点,过点 C 且与 PQ 垂直的平面与球 O 的球面交于 ⊙C,A1A2⋯A6 是 ⊙C 的一个内接正六边形.

(1)若 C 是 OQ 的中点.
(i) 求六棱锥 P−A1A2⋯A6 的体积;
(ii) 求二面角 A1−PA3−A2 的余弦值;
(2)设 A1A2 的中点为 M ，求证: tan∠MPQ⋅tan∠MQP 为定值.
19. 如图,椭圆 Γ1:x2m+y2n=1m>n>0,Γ2:x2n+y2m=1 ,已知 Γ1 右顶点为 H2,0 ,且它们的交点分别为 P11,1,P2−1,1,P3−1,−1,P41,−1 .


(1)求 Γ1 与 Γ2 的标准方程；
(2)过点 P1 作直线 MN ，交 Γ1 于点 M ，交 Γ2 于点 N ，设直线 P3M 的斜率为 k1 ，直线 P3N 的斜
率为 k2 ,求 k2k1 ; (上述各点均不重合)
(3)点 Q1 是 Γ1 上的动点，直线 Q1P1 交 Γ2 于点 Q2 ，直线 Q2P2 交 Γ1 于点 Q3 ，直线 Q3P3 交 Γ2 于点 Q4 ,直线 Q4P4 与直线 Q1P1 交于点 N ,求点 G 坐标,使直线 NG 与直线 NH 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
1. D
∵N={xlnx≤1}={x00 ,
设 xy=t,t>1 ,则问题转化为: lnt−2t−1t+1>0,t>1 .
令 gx=lnx−2x−1x+1 ,
所以 g′x=1x−2x+1−2x+1x+12=1x−4x+12=1x−x+12−4xxx+12=x−12xx+12>0 在 1,+∞ 上恒成立,
所以 gx 在 1,+∞ 上单调递增; 所以 gt>g1=0 ,
故 lnt−2t−1t+1>0,t>1 成立,所以 x+y2>x−ylnx−lny .
故 x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2=k>e ,
故 x1+x2>2e ,故 D 正确.
故选: ABD
12. 1,0
设 Px0,y0 ,因为 y=12x2 的导数为 y′=x ,
所以曲线 y=12x2 在点 A1,12 处的切线的斜率为 1,
因为 y=xlnx 的导数为 y′=1+lnx ,曲线 y=xlnx 在点 P 处的切线斜率为 1+lnx0 ,
所以 1+lnx0=1 ,解得 x0=1 ,代入 y=xlnx 可得 y0=0 ,故 P1,0 .
故答案为: 1,0 .
13. 60
因为每人只到 1 个学校,每个学校只去 1 人，所以将 5 人全排列有 A55=120 种， 其中将 A 民警安排在甲学校有 A44=24 种不同的安排方法,
将民警 B 或 C 安排在乙学校有 C21 A44=48 种不同的安排方法,
又 A 民警在甲学校，且民警 B 或 C 在乙学校有 A11C21A33=12 ，
所以 A 民警不能去甲学校, B,C 两位民警不能到乙学校,
则不同的分派方法共有 120−24−48+12=60 种.
故答案为: 60 .
14. 62##126
作 EH//FC 交 BC 于点 H ,
因为点 E 为 AD 中点，所以点 H 为 DC 中点，即 HD=HC,
又因为 D 为 BC 中点,即 BD=DC ,
又因为 HD=HC ,所以 BHHC=3 ,即 BE=3EF ,
在 △ABC ，由余弦定理可得 cs∠ABD=AB2+BC2−AC22AB×BC=42+82−622×4×8=1116 ，
在 △ABD 中， BE=12BA+BD ，
则 BE2=14BA2+BD2+2BA⋅BD=14BA2+BD2+2BABDcs∠ABD =1442+42+2×4×4×1116=272 ,
所以 BE=362 ,则 EF=BE3=62 .
故答案为: 62 .

15. (1) A=π3
(2) 63
(1)由 sinC+π6=b+c2a
可得: 2sinAsinC+π6=sinB+sinC ,
即 2sinA32sinC+12csC=sinA+C+sinC ,
即 3sinAsinC=csAsinC+sinC ,
又 sinC≠0 ,
所以 3sinA−csA=1 ,
所以 2sinA−π6=1 ,即 sinA−π6=12 ,
又 A∈0,π ,
所以 A−π6=π6 ,
所以 A=π3 .
(2)由(1)可得: asinA=a32=2R=43 ，
所以 a=6 ,
又 sinB=2sinC ,可得: b=2c ,
由 csA=b2+c2−a22bc=12 ,
解得: c=23,b=43 ，
所以 S△ABC=12bcsinA=12×23×43×32=63 .
16. 1[1,+∞)
(2) m>0 且 m≠2 .
(1) 因为 f1=0 ,故 1−m−2+0=0 ,故 m=−1 ,故 fx=x2−x−lnx ,
故 fx≤x2−1 即为 x+lnx≥1 ,
设 sx=x+lnx,x>0 ,则 s′x=1+1x>0 ,故 sx 在 0,+∞ 上为增函数,
而 x+lnx≥1 即为 sx≥s1 ,故 x≥1 ,
故原不等式的解为 [1,+∞) .
(2) fx 在 0,+∞ 有极大值即为有极大值点.
f′x=2x−m+2+mx=2x2−m+2x+mx=2x−mx−1x,
若 m≤0 ,则 x∈0,1 时, f′x0 ,
故 x=1 为 fx 的极小值点,无极大值点,故舍;
若 0