初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形第2课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形第2课时教学设计及反思，共13页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课选自人教版八年级下册《四边形》中“矩形的判定”，是矩形章节的第二课时，在知识体系中起到承上启下的关键作用.承前:它建立在平行四边形的性质与判定、矩形的定义与性质之上，延续了“平行四边形——特殊平行四边形”的研究框架；启后：为后续菱形、正方形的学习提供方法范式，也是几何证明与计算的核心载体，在中考中高频出现.
教材遵循“回顾旧知——问题驱动——探究验证——归纳定理——应用拓展”的逻辑：先回顾矩形定义与性质，再以“性质逆命题是否成立”为核心问题，引导学生探究“对角线相等的平行四边形”“三个角为直角的四边形”是否为矩形，通过全等证明、内角和推导归纳判定定理，最后结合生活实例与综合习题，让学生感受数学实用价值，渗透逆向思维与类比思想.

二、学情分析
已有基础：学生已掌握平行四边形的判定与性质、矩形的定义与性质，具备“平行四边形+特殊条件”的认知框架；熟悉全等三角形证明方法，能书写规范三段论证明，拥有初步观察、猜想与归纳能力，对生活中的几何现象有天然兴趣.
存在困难：易混淆“平行四边形”与“四边形”作为判定前提，忽略“对角线相等的平行四边形才是矩形”的限定；探究“三个角为直角的四边形”时，难以主动关联四边形内角和推导第四个角为直角；在复杂图形中难以剥离核心判定条件，灵活选择定理的能力不足，逆向思维意识薄弱.
认知特点：八年级学生正处于具象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，偏好直观操作与实例感知，适合“猜想——验证——归纳”的探究式学习，生活实例能有效激发学习动机.

三、教学目标
1.理解并掌握矩形的三个判定定理(定义法、对角线相等的平行四边形、三个角是直角的四边形)
2.能运用矩形的判定定理进行简单的几何证明与计算，了解矩形判定在实际生活中的应用.
3.经历“矩形性质逆命题——猜想——验证——归纳判定定理”的探究过程，体会逆向思维与类比思想.
4.感受数学与生活的紧密联系，体会矩形判定的实用价值.在探究活动中获得成功体验，增强学习数学的兴趣与自信心.

四、教学重难点
重点：理解并掌握矩形的三个判定定理(定义法、对角线相等的平行四边形、三个角是直角的四边形)；
难点：能运用矩形的判定定理进行简单的几何证明与计算，了解矩形判定在实际生活中的应用.

五、教学过程
复习回顾
问题1：矩形的定义是什么？
答：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
问题2：矩形有哪些性质?
答：边：两组对边平行且相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线互相平分且相等.
师生活动：教师提问矩形定义及性质，引导学生回顾边、角、对角线特征；学生齐答/举手回答定义，逐条梳理矩形性质并补充细节.
设计意图：通过复习唤醒旧知，为探究矩形判定定理铺垫知识基础，同时渗透“性质——判定”的逆向思维，自然衔接新课内容.
探究新知
活动一：探究矩形的判定定理1
问题3：如何判定一个四边形是矩形呢?
师生活动：教师先引导学生回忆矩形定义判定，再追问其他方法，抛出“性质逆命题”探究问题，组织学生讨论并完成“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明，最后结合生活实例提问.学生回忆定义，小组讨论猜想，书写已知求证并完成证明，结合定理解释生活实例答：定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
追问：你还有其他判定方法吗？
问题4：我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
讨论以下问题：(1)矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗?
(2)对角线相等的四边形是不是矩形呢?
(3)写出已知和求证，并证明你的猜想.
答：对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的两条对角线也相等.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
总结：矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
问题5：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗?
答：两组对边分别相等→平行四边形
对角线相等的平行四边形→矩形.
设计意图：从定义出发，通过“性质——逆命题”渗透逆向思维，让学生经历猜想——证明——归纳的探究过程，掌握判定定理，同时联系生活实例感受数学实用性，提升应用意识.
活动二：探究矩形的判定定理2
问题6：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
师生活动：教师抛出矩形性质的逆命题，追问“至少几个直角可判定矩形”，引导学生结合内角和猜想，组织学生书写证明并归纳定理，最后梳理判定思路.学生思考逆命题，小组讨论“最少直角个数”，根据内角和推导猜想，独立完成证明，共同梳理矩形判定的两种角度.
答：逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形. 成立
追问：至少有几个角是直角的四边形是矩形？
∠A＝∠B＝∠C＝90°
因为四边形内角和是 360°
所以∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴ AD//BC， AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
总结：矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
特别解读：矩形判定的常见思路：
1. 从角的角度证明.
(1)四边形有三个直角矩形； (2)平行四边形有一个直角矩形.
2.从对角线的角度证明.
(1)平行四边形对角线相等矩形；
(2)四边形对角线互相平分且相等矩形.
设计意图：延续“性质——逆命题”探究思路，通过追问深化认知，让学生经历猜想——证明——归纳的完整过程，掌握角的判定定理，同时梳理判定思路，构建知识体系.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例题，引导学生分析图形，提示用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明，示范核心步骤，再让学生补全其余直角的证明.学生观察图形，分析平行四边形内角平分线的性质，完成∠F=90°的推导，类比证明其余角为直角，总结判定方法.
例1 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形 EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB 也为直角，从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF =12∠BAD +12∠ADC
=12(∠BAD + ∠ADC) = 90°.
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
总结：有三个角是直角的四边形是矩形.
设计意图：通过典型例题巩固“三个角是直角的四边形是矩形”这一定理，让学生在复杂图形中提取判定条件，提升几何推理与规范书写能力，实现知识的应用迁移.
【经典例题】
师生活动：教师出示例2、例3，引导学生分析折叠与中位线性质，鼓励一题多解；组织学生分组证明，示范规范步骤，追问不同证法.学生结合中位线、折叠性质完成证明，尝试用“平行四边形+直角”三个直角”两种思路证矩形，交流解题方法.
例2 如图，将△ABC纸片沿边AB，AC中点E，H折叠，使点A的对应点D落在BC边上，再将纸片分别沿△BED和△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形EFGH. 求证：四边形EFGH为矩形
分析：通过中位线定理得到EH//FG，EH=12BC，再根据折叠的性质得到FG=12BC，即可通过一组对边平行且相等证明四边形EFGH为平行四边形，最后根据有一个角为直角的平行四边形为矩形进行证明即可.
证明：∵点E、H分别为△ABC边AB，AC的中点，
∴EH // FG，EH=12BC，
由折叠的性质可知BF=FD，DG=GC，
∴FG=FD+DG=12BC，∴EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵HG为△CHD的高线，∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
追问：还有其他方法吗？
分析：由折叠的性质可知，AHE= EHD，DHG=CHG，通过平角为180°可得EHG=90°，同理可得HEF=90°，再由EFD=90°，根据有三个角为直角的四边形为矩形即可证明.
方法二：
证明：由折叠的性质可知∠AHE=∠EHD，∠DHG=∠CHG，
∵∠AHE+∠EHD+∠DHG+∠GHC=180°，
∴∠EHD+∠DHG=90°，∴∠EHG=90°，
同理可得∠HEF=90°，
∵EF是△BED的高线，∴∠EFD=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
例3 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG=BF，连接DF，DG，CG．
(1)求证：DG//AC；
(2)当AB=BF时，求证四边形DFCG是矩形．
分析：(1)先证明OB=OD，结合FG=BF，可得OF是△BDG的中位线，可得DG//AC；
(2)先证明∠BAF=∠BFA，再证明∠EFC=∠FCE，可得EF=EC，再证明ED=EG，DE=CE，可得EF=EG=ED=EC，可得四边形DFCG是矩形．
证明：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，
又∵FG=BF，
∴OF是△BDG的中位线，
∴OF//DG，即DG//AC．
(2)∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠BAF=∠FCE．
又∵∠EFC=∠BFA，
∴∠EFC=∠FCE，∴EF=EC，
由(1)可知DG//AC，
∴∠EFC=∠EGD，∠FCE=∠EDG，
∴∠EGD=∠EDG，∴ED=EG，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，∴EF=EG=ED=EC，
∴四边形DFCG是矩形．
设计意图：通过折叠、矩形背景的综合例题，巩固矩形判定定理，训练学生从复杂图形中提取条件、灵活选择判定方法的能力，渗透一题多解思想，提升逻辑推理与几何表达水平.
课堂练习
【教材练习】
1.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
解：已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
2. 如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO=12AC，BO = DO =12BD .
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，
∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= AC2−AB2=42−22=23 ，
∴S矩形ABCD = AB·BC =2×23 = 43 .
3. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .
∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.
又∵∠AEF = ∠DEB，
∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC.
又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.
师生活动：教师展示三道练习题，引导学生审题，点拨第2题先证矩形再算面积，第3题证平行四边形再加直角.巡视指导，点评学生证明过程.学生独立完成练习，规范书写证明步骤，交流解题思路，核对答案纠正错误.
设计意图：通过分层练习，巩固矩形判定定理的综合应用.第1题夯实基础，第2题整合性质与计算，第3题训练综合推理能力，让学生在不同情境中灵活选择判定方法，提升几何解题素养.
【限时训练】
1.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是( )
A. ∠AOB=90∘B. AC=BDC. AC⊥BDD. AB=BC
【答案】B
【解析】∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故B选项符合题意，
由∠AOB=90°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，
由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，
由AB=BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，
故选：B．
2.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH.若AC=10，BD=8，则四边形EFGH的面积等于( )
A. 45B. 40C. 20D. 18
【答案】C
【解析】∵点E，F分别为边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AC，EF=12AC，
∵AC=10，
∴EF=12AC=5，
同理，可得：HG//AC，HG=12AC=5，
∴EF//HG，EF=HG，
∵点E，H分别为边AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//BD，EH=12BD=4，
同理，可得：FG//BD，FG=12BD=4，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积为：4×5=20，
即四边形EFGH的面积为20．
故选：C．
3.如图，直角三角形ABC中，AC=2，BC=4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为( )
A. 5
B. 2
C. 45 5
D. 32
【答案】C
【解析】解：连接PC，如图所示：
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
∵垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=2，BC=4，
∴AB=2 5，
又∵当CP⊥AB时，12×AC×BC=12×AB×CP，
∴PC=AC×BCAB=2×42 5=4 55．
∴线段EF长的最小值为4 55．
故选：C．
4.2023年4月16日，第九届全国青年科普创新实验暨作品大赛(江西赛区)复赛在江西省科技馆举行．如图，矩形ABCD的两边AB、CD是未来太空车的两条赛道，AB=240cm，BC=80cm，未来太空车P从A开始沿AB边以40cm/s的速度移动，未来太空车Q从C开始沿CD边以20cm/s的速度移动，如果未来太空车P，Q分别从A，C同时出发，当其中一车到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s.当t为何值时，四边形QPBC为矩形？
【答案】根据题意得CQ=20t cm，AP=40t cm，则BP=(240−40t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD // AB，
∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，
即20t=240−40t，解得t=4，
故当t=4时，四边形QPBC是矩形．
5.已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别为线段BO和CO中点．求证：四边形EDNM是矩形．
【答案】证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED//BC，ED=12BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN//BC，MN=12BC，
∴ED//MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
∴OE=ON，OD=OM，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠A=∠A AD=AE ,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形．
师生活动：教师呈现5道梯度习题，从选择、计算到综合证明，点拔第1题辨析判定条件，第2题结合中位线与垂直证矩形，第5题引导先证平行四边形再加直角.学生独立解题，小组交流第5题证明思路，上台板演关键步骤，订正错题.
设计意图：通过分层习题，巩固矩形判定的不同路径，训练学生辨析条件、综合运用中位线、全等及性质的能力，实现从基础记忆到灵活解题的提升，构建完整的几何知识网络.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
从角的角度怎么判定一个四边形的矩形？
从对角线的角度怎么判定一个四边形的矩形？

设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：矩形判定的“多解归一”之旅
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，ABC=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
任务：1.请从“定义法”“对角线法”“直角数量法”三个角度，设计证明方案，分析核心依据.
2.若将条件ABC=90°改为AC=BD”，其他条件不变，用“对角线法”和“定义法”证明四边形是矩形，思考两种方法的路径差异，并从逆命题角度分析 “对角线相等的平行四边形是矩形” 作为判定定理的原因.
要求：1.每个任务需写出完整的证明过程，标注关键依据.
2.总结部分需用思维导图梳理三种方法的逻辑关系.
3.拓展延伸需尝试至少两种证明方法，并说明思考过程.