初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形教案设计

18.2　特殊的平行四边形

18.2.3　正方形

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理．

【过程与方法】

经历探究正方形的判定方法的过程，使学生能应用正方形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．

二、重难点目标

【教学重点】

正方形的性质与判定．

【教学难点】

利用正方形的性质与判定解决有关问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】阅读教材P58～P59的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．正方形的性质：

(1)边：四条边都相等且对边平行．

(2)角：四个角都是直角．

(3)对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．

(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴．

2．正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个是直角的菱形是正方形．

3．如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　C　)

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)先用观察法，结合图形直观地猜测出BE与DF之间的关系，再利用已知条件，对猜测进行证明．

【解答】BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：

如图，延长BE交DF于点M.

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCE＝90°，

∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，

∴∠BCE＝∠DCF.

又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF，

∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF.

∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，

∴∠CBE＋∠F＝90°，

∴∠BMF＝90°，

∴BE⊥DF.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用方法．

【例2】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

【互动探索】(引发学生思考)由BF∥CE，CF∥BE，可直接得出四边形BECF是平行四边形．再结合矩形ABCD的性质，即可得出四边形BECF是正方形．

【证明】∵BF∥CE，CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.

又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，

∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴EB＝EC，

∴平行四边形BECF是菱形．

在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，

∴∠BEC＝90°，

∴菱形BECF是正方形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　C　)

A．对角线相等且互相平分

B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分

D．四条边相等，四个角相等

2．正方形的面积为36，则对角线的长为(　B　)

A．6   B．6 

C．9   D．9

3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　C　)

A．14   B．15 

C．16   D．17

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．

证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连结AE、CE.

(1)求证：AE＝CE；

(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．

【互动探索】(1)结合已知条件和图形，要证AE＝CE，只需证△ABE≌△CBE.(2)由折叠的性质→∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质→AE＝BD＝BE＝DE→四边形AFBE是菱形，AE⊥BD，即可得出结论．

【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°.

在△ABE和△CBE中，

∴△ABE≌△CBE(SAS)，

∴AE＝CE.

(2)点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形．理由如下：

由折叠的性质，得∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE.

∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，

∴AE＝BD＝BE＝DE.

∵AE＝CE，

∴AE＝BE＝CE＝DE＝AF＝BF，

∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，

∴AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，

∴四边形AFBE是正方形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)图形翻折前后，对应边相等，对应角相等，结合特殊平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定求解此类题型．

环节3　课堂小结，当堂达标

练习设计

请完成本课时对应练习！