2026年江苏省扬州市邗江区中考模拟数学自编试卷含答案

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考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，其20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2026春•哈尔滨校级月考）﹣2026的相反数是（ ）
A．2026B．12026
C．−12026D．以上都不是
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2026的相反数是2026．
故选：A．
2．（2026•蔡甸区校级模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a2+a3＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐一判断各选项，即可得到结果．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故该选项正确，符合题意；
B．（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，故该选项错误，不符合题意；
C．（2a）3＝23•a3＝8a3≠6a3，故该选项错误，不符合题意；
D．a2与a3不是同类项，无法合并，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．（2025秋•梁溪区校级期末）如图是一个几何体展开成的平面图形，这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
【分析】根据三棱柱的形体特征进行判断即可．
【解答】解：由这个几何体展开图可知，这个几何体有2个三角形的底面，3个长方形的侧面，
所以这个几何体是三棱柱，
故选：A．
4．（2025秋•晋江市校级期末）要使二次根式1−x有意义，则x的值可以是（ ）
A．6B．4C．2D．0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：1﹣x≥0，求出x≤1，即可求出答案．
【解答】解：∵二次根式1−x有意义，
∴1﹣x≥0，
∴x≤1，
∴x的值可以是0．
故答案为：D．
5．（2026•龙沙区开学）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，则∠1＝（ ）
A．63°B．67°C．61°D．69°
【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得∠3＝∠4＝61°，根据平行线的性质得∠3＝∠1＝61°．
【解答】解：如图所示，
∵∠2＝90°+∠4＝151°，
∴∠4＝61°，
∴∠3＝∠4＝61°（对顶角相等），
根据题意可知a∥b，
∴∠1＝∠3＝61°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
6．（2025秋•东台市期末）下列说法正确的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件
B．了解一批电视机的使用寿命适合采用普查
C．要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图
D．抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件
【分析】根据随机事件、调查方式的选择、统计图的选择、必然事件逐项判断即可解答．
【解答】解：A．从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件，符合题意；
B．了解一批电视机的使用寿命适合采用抽样调查，不符合题意；
C．要反应一周内每天气温的变化情况适宜采用折线统计图，不符合题意；
D．抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意．
故选：A．
7．（2025秋•贵池区期末）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（ ）
A．12B．13C．53D．55
【分析】连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DE=2，AD＝22，AE=10，
∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2，
∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形，
∴sinA=DEAE=210=55，
故选：D．
8．（2025秋•龙岩期末）我们平时所说的“盐水”，指的是含有氯化钠的水溶液．如图用四个点分别表示甲、乙、丙、丁四瓶盐水的浓度y与盐水的质量x的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上．已知盐水的浓度=氯化钠的质量盐水的质量×100%，则这四瓶盐水中含氯化钠质量最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据题意可知氯化钠的质量为xy，根据各个点与反比例函数图象的关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，可知氯化钠的质量为xy，
由图可知，描述乙、丁两瓶盐水情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两瓶盐水中氯化钠的质量相同，
∵甲在反比例函数的图象下方，丙在反比例函数的图象上方，
∴含氯化钠质量最多的是丙，最少的是甲．
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2026•渝中区校级开学）2025年8月4日，“长征”十二号火箭在海南商业航天发射场点火起飞，“长征”十二号可执行多种轨道发射任务，支持单星发射、多星发射和搭载发射，其近地轨道运载能力不小于12000千克．将12000用科学记数法表示为 1.2×104 ．
【分析】对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为比原数的整数位数少1的正整数，据此作答即可．
【解答】解：根据对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为比原数的整数位数少1的正整数可得：
12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
10．（2025秋•泸州期末）分解因式：2m2n﹣8n＝ 2n（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2m2n﹣8n
＝2n（m2﹣4）
＝2n（m+2）（m﹣2），
故答案为：2n（m+2）（m﹣2）．
11．（2025秋•淮阴区期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝ 150° ．
【分析】先根据正多边形每个内角为180°(n−2)n，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【解答】解：如图，
由条件可知∠A=180°(4−2)4=90°，∠B=180°(6−2)6=120°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣120°＝150°．
∵∠1＝α，∠2＝β，
∴α+β＝∠1+∠2＝150°．
故答案为：150°．
12．（2025秋•淮阴区期末）某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，5分，若依次按5：3：2的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是 8 分．
【分析】根据给定的分数和比例，使用加权平均数公式求解即可．
【解答】解：根据加权平均数公式求解可得：
8×5+10×3+5×25+3+2=8（分），
则小雨的最终成绩是8分．
故答案为：8．
13．（2026•建邺区一模）一个圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积是20π，则该圆锥的底面半径为 4 ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，
圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5＝20π，
∴R＝4．
故答案为：4．
14．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，是函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是x＜﹣2 ．
【分析】直接利用函数图象，结合kx+b≥mx+n，得出x的取值范围．
【解答】解：由交点坐标可知，不等式kx+b＞mx+n的解集为：x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
15．（2025秋•雁塔区校级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最后剩余1辆车无人乘坐；若每2人共乘一车，则最后剩余9个人无车可乘，请算出共有 33 人．
【分析】设共有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设共有x人，
根据题意列一元一次方程得：x3+1=x−92，
整理得，
解得x＝33，
即共有33人，
故答案为：33．
16．（2025秋•仓山区校级期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为 4 ．
【分析】根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形A的面积．
【解答】解：∵两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，
结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：12﹣2＝10，
则正方形A的面积为10﹣6＝4；
故答案为：4．
17．（2025秋•晋江市校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是AD边上的中点，连接BE，在线段BE上有一点P，若点P到AB边的距离为2，则BP的长为 25 ．
【分析】先根据正方形的性质得到AB＝AD＝6，∠A＝90°，则AE＝3，再利用勾股定理计算出BE＝35，接着证明△BPH∽△BEA，然后给利用相似比可求出BP的长．
【解答】解：过P点作PH⊥AB于H点，如图，则PH＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∵点E是AD边上的中点，
∴AE=12AD＝3，
在Rt△ABE中，BE=AE2+AB2=32+62=35，
∵PH∥AE，
∴△BPH∽△BEA，
∴BPBE=PHAE，
即BP35=23，
解得BP＝25．
故答案为：25．
18．（2025秋•邗江区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），N（0，1），以A为圆心3为半径作圆，点M是⊙A上一动点，以MN为斜边作Rt△MBN，且BMBN=13，则OB的最小值为 5−91010 ．
【分析】由动点问题可识别瓜豆模型，在AN上方构造Rt△AHN，且AHNH=13，可得H（﹣3，4），再证△ANM∽△HNB，可得BH长度，进而得点B运动轨迹，从而得解．
【解答】解：如图，连接AN，在AN上方构造Rt△AHN，且AHNH=13，
再过H作KL⊥y轴于点K，过A作AL⊥KL于点L，
则∠L＝∠AHN＝∠HKN＝90°，
∴∠AHL＝∠HNK＝90°﹣∠NHK，
∴△ALH∽△HKN，
∴ALHK=LHKN=AHNH=13，
设AL＝x，LH＝y，则HK＝3x，KN＝3y，
∵A（﹣4，3），N（0，1），
∴3y+1−x=3y+3x=4，
解得x=1y=1，
∴H（﹣3，4），
∴OH＝5；
如图，连接AM、BH，则AM＝3，
∵BMBN=AHHN=13，且∠AHN＝∠MBN＝90°，
∴△AHN∽△MBN，
∴∠ANH＝∠MNB，ANMN=HNBN，
∴∠ANM＝∠HNB，MNBN=ANHN=103，
∴△ANM∽△HNB，
∴AMBH=103，即3BH=103，
∴BH=91010，
∴点B在以H（﹣3，4）为圆心，91010为半径的圆上，
∴OBmin＝OH﹣BH＝5−91010；
故答案为：5−91010．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2026•海淀区校级开学）（1）计算：(2026−π)0+(13)−1+27−2cs30°．
【分析】（1）首先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算即可．
（2）按照分式的混合运算的运算法则，对分子、分母进行因式分解，将分子分母的公因式约去，同分母分式分母不变分子相减，化简后得到答案．
【解答】解：（1）原式=1+3+33−2×32
=1+3+33−3
=4+23．
（2）原式=2(a−3)(a+1)(a−1)⋅(a+1)2a−3−aa−1
=2(a+1)a−1−aa−1
=2(a+1)−aa−1
=2a+2−aa−1
=a+2a−1．
20．（2026春•重庆月考）求不等式组：2x＞x+2①x−13+x≤5②的所有整数解．
【分析】求出不等式的解集，判断即可．
【解答】解：2x＞x+2①x−13+x≤5②，
解不等式①得，x＞2；
解不等式②得，x≤4；
∴该不等式组的解集为2＜x≤4，
∴该不等式组：2x＞x+2①x−13+x≤5②的所有整数解为：3，4．
21．（2026春•新城区校级月考）呼和浩特市素有“乳都”之称，为了解学生的日常饮奶情况，呼和浩特某初中组织开展了“初中生日常饮奶习惯”调查．中学生巴特尔作为学生统计员，从全校1000名学生的每日饮奶数据中随机抽取了n名学生的数据．他首先整理了同学们“每日平均饮奶量x（单位：盒，每盒250ml）”的分布情况，绘制了如下频数分布直方图（第一组0≤x＜0.5，第二组0.5≤x＜1，以此类推）．同时，巴特尔统计了同学们最常饮用的牛奶类型，分别是A（纯牛奶），B（酸奶），C（风味奶），D（其它），并绘制了如下扇形统计图．
请根据以上信息及统计图表，解决以下问题：
（1）若每日饮奶盒数小于1的学生占样本的30%，则n＝ 40 ；扇形统计图中B部分对应的圆心角度数为 54° ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知《中国居民膳食指南》建议青少年每日饮奶量约为500mL（2盒）．根据频数分布直方图，估计该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数，并为该校提升学生“健康饮奶水平”设计一条具体建议．
【分析】（1）利用抽取的n名学生中每日饮奶盒数小于1的学生人数除以其占样本人数的百分比即可求出n的值；先求出B部分占总体的百分比，再求对应的圆心角度数；
（2）先求出每日平均饮奶量1≤x＜1.5的人数，再补图即可；
（3）利用样本估计总体即可求解，建议合理即可．
【解答】解：（1）由题意，抽取的n名学生中每日饮奶盒数小于1的学生共有4+8＝12（人），
∵每日饮奶盒数小于1的学生占样本的30%，
∴n＝12÷30%＝40（人）；
由扇形统计图可知B部分占总体的百分比为1﹣55%﹣20%﹣10%＝15%，
∴B部分对应的圆心角度数为360°×15%＝54°；
（2）由题意，得每日平均饮奶量1≤x＜1.5的人数为40﹣4﹣8﹣12﹣4＝12（人），
补全频数分布直方图如图：
（3）由题意，得抽取的40名学生中，达到或超过2盒的人数为4人，
则人数约为1000×440=100（人），
∴估计该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数为100人，
建议：开展“牛奶与健康”主题班会，普及每日饮奶的健康知识；（合理即可）．
22．（2025秋•官渡区期末）2025年9月3日上午，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，在北京天安门广场举行了隆重的阅兵仪式．仪式中，空中无人作战群的装备备受关注．小昆收集了3张空中无人作战装备模型的卡片：A察打一体无人机、B无人僚机、C舰载无人直升机．将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中摇匀．小昆先从中随机抽出一张卡片，记下结果，放回，摇匀后小明再从中随机抽出一张．
（1）小昆恰好抽到A察打一体无人机的概率为 13 ；
（2）用列表法或画树状图法，求小昆与小明都抽到C舰载无人直升机的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出小昆与小明都抽到C舰载无人直升机的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）小昆恰好抽到A察打一体无人机的概率为13；
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小昆与小明都抽到C舰载无人直升机的结果数为1，
所以小昆与小明都抽到C舰载无人直升机的概率=19．
23．（2025秋•江阳区期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？
【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路（1+30）x米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%，结果共用14天完成了任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路（1+30）x米，
根据题意得：200x+850−200(1+30%)x=14，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+30）x＝65，
答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米．
24．（2026•本溪校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长．
【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得BD＝CD，AD⊥BC，结合四边形ACDE是平行四边形，AE∥BD，AE＝BD，从而得证；
（2）不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α，先求得α＝22.5°，接着通过外角求得∠EOH，得到△EOH为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得OH，最后通过AO﹣OH可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AE＝CD．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC．
∴AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
又∵∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBE是矩形．
（2）解：不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α，
∴∠BEA＝∠HEA+∠HEB＝4α，
∵四边形ADBE是矩形，AB＝4，
∴∠BEA＝4α＝90°，EO=AO=12ED=12AB=2，
∴α＝22.5°，
∴∠OEB＝∠OBE＝α＝22.5°，
∴∠EOH＝∠OEB+∠OBE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠OEH＝45°，
∴EH＝OH，
∵EH2+OH2＝OE2＝2OH2，
∴EH=OH=22OE=2，
∴AH=AO−OH=2−2．
25．（2026•龙沙区开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图1，连接OD，由OD＝OB根据“等边对等角”得∠OBD＝∠ODB，已知∠B＝∠C，即可得∠ODB＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”得OD∥AC，根据DE⊥AC，可得OD⊥DE即可证明结论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，根据垂径定理，则得AG=GF=12AF=2，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得∠OAG＝60°，解直角三角形可得OG=23，OA＝4，进而得到S△AOG=23；再证明四边形ODEG是矩形，以及S矩形ODEG=83；易得∠AOD＝2∠B＝60°，则S扇形OAD=60π⋅42360=83π，最后根据S阴影＝S矩形ODEG﹣S△AOG﹣S扇形OAD求解即可．
【解答】（1）证明：如图，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，则OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，AF＝4，∠C＝30°，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，
∴AG=GF=12AF=2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠OAG＝∠B+∠C＝60°，
∴OG=AG⋅tan60°=23，OA=AGcs60°=4=OD，
∴S△AOG=12×2×23=23，
∵DE⊥AC，OG⊥AF，OD⊥DE，
∴∠GED＝90°，∠ODE＝90°，∠OGE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴S矩形ODEG=4×23=83，
∵∠AOD＝2∠B＝60°，
∴S扇形OAD=60π⋅42360=83π，
∴S阴影=S矩形ODEG−S△AOG−S扇形OAD=83−23−83π=63−83π．
26．（2025春•天宁区校级期中）操作实践
图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求．
【源于生活】
假期中爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张4k纸上画好了风筝的轮廓，已知AB＝AB1，“副龙骨”经过AB的中点C，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）．
操作1：请用圆规和无刻度的直尺在图1中作出三角形风筝的“主龙骨”AO；
操作2：请用圆规和无刻度的直尺在图1中找到点C；
操作3：点C1是AB1上一点，请在图1中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”CC1；
【数学思考】小明继续制作风筝，连接了B1C和BC1，发现B1C和BC1的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在AB，AB1上分别取D、D1，使其关于AO对称．连接了B1D和BD1，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？
操作4：如图2，根据小明的发现，用不同于操作1的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨”AO1；
作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成：
操作5：如图3，在边长为1的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”；
【创新应用】风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题：
操作6：如图4，点E是正方形ABCD的边AB上一点，请利用无刻度的直尺在BC边上找一点G，使CG＝AE．
【分析】操作1：连接BB1，过点A作AO⊥BB1即可得出结论；
操作2：利用线段垂直平分线的性质作出线段AB的垂直平分线EF，EF交AB于点C；
操作3：用无刻度的直角三角板作出AO的垂线，并延长交AB1于点C1即可得出结论；
操作4：在BA，B1A上分别截取BE＝B1F，连接B1E，BF交于点D，连接AD并延长交BB1于点
操作5：利用网格的特征解答即可；
操作6：利用操作5的方法解答即可．
【解答】解：操作1：连接BB1，过点A作AO⊥BB1，如图，
则线段AO三角形风筝的“主龙骨”；
操作2：作出线段AB的垂直平分线EF，EF交AB于点C，如图，
则点C为AB的中点；
操作3：用无刻度的直角三角板作出AO的垂线，并延长交AB1于点C1，如图，
则线段CC1为所画的“副龙骨”；
操作4：在BA，B1A上分别截取BE＝B1F，连接B1E，BF交于点D，连接AD并延长交BB1于点O1，如图，
则AO1为所画的“主龙骨”；
操作5：如图，
则线段AO为“主龙骨”；
操作6：连接BD，CE，交于点H，连接AH并延长，交BC于点G，如图，
点G为所画的点．
27．（2025秋•晋江市校级期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．
（1）操作判断
①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为 5 ．
②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 4 ．
（2）迁移探究
如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明：AB•EC＝AD•BE．
（3）拓展应用
如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为线段AE上一点，AG⊥BF交BF于点H，交直线CD于点G，过点E作EK∥BF交AG的于点K．若△EHK的面积为910，求AG的长．
【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，易证△EPF≌△HQG（ASA），即可得解；②过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，可证△EPF∽△HQG，即可得解；
（2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，先证△ABD≌△CAF（AAS），再证△ABE∽△FCE，即可得证；
（3）易证AB＝AE＝3，再证△ABH≌△EAK（AAS），设AH＝EK＝a，利用面积可得HK=95a，在Rt△AEK利用勾股定理求出a值，进而利用三角函数求解AG即可．
【解答】（1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，
则EP⊥QH，
∴四边形EBCP，HCDQ是矩形，
∴EP＝BC＝CD＝HQ，
设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，
∴∠GHQ＝∠FEP，
又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，
∴△EPF≌△HQG（ASA），
∴GH＝EF＝5；
故答案为：5；
②如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，
则EP⊥QH，
∴四边形EBCP，HCDQ是矩形，
∴EP＝BC＝2CD＝2HQ，
设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，
∴∠GHQ＝∠FEP，
又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，
∴△EPF∽△HQG，
∴EFHG=EPHQ，
∴GH=12EF＝4；
故答案为：4；
（2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，
∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC，
∴∠F＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD＝CF，
∴AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴ABCF=BECE，
又∵CF＝AD，
∴ABAD=BECE，
即AB•EC＝AD•BE；
（3）解：如图，
∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵AG⊥BF，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠EAK＝90°﹣∠BAH，
∵EK∥BF，
∴∠AKE＝∠AHF＝90°，
∴∠AHB＝∠AKE，
∴△ABH≌△EAK（AAS），
∴可设AH＝EK＝a，
∵S△EHK=12HK•EK=910，
∴HK=95a，
∴AK＝AH+HK＝a+95a，
在Rt△AEK中，AK2+EK2＝AE2，
∴（a+95a）2+a2＝9，
整理得2a4−275a2+8125=0，
解得a2=910或a2=95；
当a2=910时，则AH＝EK＝a=31010（负值舍去），
则HK=95a=3105，
∴AK＝AH+HK=91010，
∴cs∠DAG=AKAE=ADAG，即910103=6AG，
∴AG＝210；
当a2=95时，则AH＝EK＝a=355（负值舍去），
则HK=95a=355，
∴AK＝AH+HK=655，
∴cs∠DAG=AKAE=ADAG，即6553=6AG，
∴AG＝35；
综上，AG的长为210或35．
28．（2025秋•鼓楼区校级期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，若函数图象上存在某点P到x轴的距离是到y轴距离的一半，则称点P为该函数的“弘毅点”，此函数称为“弘毅函数”．如点（﹣4，2）是函数y＝x2+3x﹣2图象上的点，即函数y＝x2+3x﹣2是“弘毅函数”，点（﹣4，2）是该函数的“弘毅点”．根据以上材料，完成下列问题：
（1）已知点A（2，﹣1）、B（4，2）、C（﹣2，11）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的三点，其中是“弘毅点”的有A、B ，（填字母）二次函数表达式为 y=34x2−3x+2 ；
（2）求证：函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“弘毅点”；
（3）已知“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t，存在t使得该函数恰好有四个“弘毅点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据“弘毅点”的定义，即可判断A、B是“弘毅点”，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）由“弘毅点”的定义，得y=12x或y=−12x，再利用根的判别式即可证得结论；
（3）分5种情况：分别画出图象，根据图象即可得出答案．
【解答】（1）解：根据“弘毅点”的定义，点P（x，y）满足|y|=12|x|，
在点A（2，﹣1）中，|y|＝1，12|x|=1满足|y|=12|x|，
∴点A是“弘毅点”；
在点B（4，2）中，|y|＝2，12|x|=2，满足|y|=12|x|，
∴点B是“弘毅点”；
在点C（﹣2，11）中，|y|＝11，12|x|=1，
而|y|≠12|x|，
∴点C不是“弘毅点”；
∵点A（2，﹣1）、B（4，2）、C（﹣2，11）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的三点，
∴4a+2b+c=−116a+4b+c=24a−2b+c=11，
解得a=34b=−3c=2，
∴二次函数表达式为y=34x2−3x+2；
故答案为：A、B，y=34x2−3x+2；
（2）证明：由“弘毅点”的定义，得|y|=12|x|，
∴y=12x或y=−12x，
当y=12x时，x2+2x+3=12x，
整理得：2x2+3x+6＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×6＝﹣39＜0，
∴原方程没有实数根，即此时函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“弘毅点”；
当y=−12x时，x2+2x+3=−12x，
整理得：2x2+5x+6＝0，
∵Δ＝52﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根，即此时函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“弘毅点”；
综上，函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“弘毅点”；
（3）解：由“弘毅点”的定义，得|y|=12|x|，
即y=12x或y=−12x，
当y=12x时，|x2﹣2x|+t=12x，
①当t≥0时，“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t的“弘毅点”个数≤3，如图1，
②当−916≤t＜0时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“弘毅点”个数为5或6，如图2，
③当﹣1＜t＜−916时，“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t的“弘毅点”个数为4，如图3，
④当−2516≤t≤﹣1时，“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t的“弘毅点”个数为5或6，如图4，
⑤当t＜−2516时，“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t的“弘毅点”个数为4，如图5，
综上所述，当“弘毅函数”y＝|x2﹣2x|+t恰好有四个“弘毅点”时，t的取值范围为﹣1＜t＜−916或t＜−2516．