2026年陕西省咸阳市中考模拟数学自编试卷含答案（二）

这是一份2026年陕西省咸阳市中考模拟数学自编试卷含答案（二），文件包含2026年陕西省咸阳市中考数学模拟卷二解析版docx、2026年陕西省咸阳市中考数学模拟卷一docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）有理数−32的绝对值是（ ）
A．23B．−23C．32D．﹣2
【分析】数轴上表示数的点到原点的距离，总是非负的；负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：|−32|=32，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（3分）2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动．如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据组合体的空间结构特点进行判断．
【解答】解：几何体的俯视图为：．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是关键．
3．（3分）如图AB∥CD、FG⊥EF交AB于点G．若∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质，得出∠CMG＝∠1＝140°，根据邻补角的定义可得∠FMG＝40°，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CMG＝∠1＝140°，
∴∠FMG＝40°，
∵FG⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠2＝∠FMG+90°＝40°+90°＝130°，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4．（3分）计算，（﹣2a）3结果正确的是（ ）
A．﹣2a3B．﹣6a3C．﹣8a3D．8a3
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣2a）3＝﹣8a3．
故选：C．
【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键，是一道基础题．
5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA=35，则AC的长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【分析】首先由正弦函数的定义可知BCAB=35，从而可求得BC的长，然后由勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：如图所示：
∵sinA=BCAB=35，AB＝10，
∴BC＝6，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=102−62=8．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
6．（3分）若一次函数y＝kx+3的图象经过点P，且函数值y随着x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ）
A．（2，4）B．（﹣5，2）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣1）
【分析】由点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
【解答】解：A、当点P的坐标为（2，4）时，2k+3＝4，
解得：k=12＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点P的坐标为（﹣5，2）时，﹣5k+3＝2，
解得：k=15＞0，
∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；
C、当点P的坐标为（﹣1，﹣3）时，﹣k+3＝﹣3，
解得：k＝6＞0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点P的坐标为（5，﹣1）时，5k+3＝﹣1，
解得：k=−45＜0，
∴y随x的增大而减小，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟记性质是解题的关键..
8．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表所示，根据表中的数据可知，下列说法中正确的是（ ）
A．这个函数的图象与x轴没有交点
B．这个函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
C．这个函数的最大值为254
D．当x＜12时，y的值随x值的增大而减小
【分析】由表格可知，这个函数的图象经过点（﹣2，0），即这个函数的图象与x轴有交点；由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+22=12，即−b2×(−1)=12，可得b的值，再将（﹣2，0）代入，可求得C的值，即可得二次函数的解析式，进而可得这个函数的图象与y轴的交点坐标；将二次函数的解析式变形为y=−(x−12)2+254，即可得这个函数的最大值为254，当x＜12时，y的值随x值的增大而增大，进而可得答案．
【解答】解：由表格可知，这个函数的图象经过点（﹣2，0），
∴这个函数的图象与x轴有交点，
故A选项不正确，不符合题意；
由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+22=12，
∴−b2×(−1)=12，
解得b＝1，
∴二次函数为y＝﹣x2+x+c．
将（﹣2，0）代入，得﹣4﹣2+c＝0，
解得c＝6，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+6．
令x＝0，得y＝6，
∴这个函数的图象与y轴的交点坐标为（0，6），
故B选项不正确，不符合题意；
∵y＝﹣x2+x+6=−(x−12)2+254，
∴这个函数的图象的顶点坐标为（12，254），
∴这个函数的最大值为254，
故C选项正确，符合题意；
当x＜12时，y的值随x值的增大而增大，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）数轴上到原点的距离等于10的数是 10或−10 ．
【分析】设在数轴上到原点距离等于10的数是x，依题意得|x|=10，即可得出结论．
【解答】解：设在数轴上到原点距离等于10的数是x，
依题意得|x|=10
解得x＝±10．
故答案为：10或−10
【点评】主要考查了实数与数轴，要注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
10．（3分）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是 132° ．
【分析】先分别求出正五边形的内角度数为108°，正六边形的内角度数为120°，再根据周角的定义即可得出∠1的度数．
【解答】解：如图所示：
∵正五边形的内角度数为：15×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠2＝108°，
∵正六边形的内角度数为：16×（6﹣2）×180°＝120°，
∴∠3＝120°，
∵∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣108﹣120＝132°．
故答案为：132°．
【点评】此题主要考查了正多边形的内角，周角的定义，熟练掌握正多边形的内角，周角的定义是解决问题的关键．
11．（3分）如图，将△ABC沿着BC方向平移至△DEF处．若CE＝2BE＝6cm，则BF＝ 12cm ．
【分析】根据平移的性质得到，BC＝EF，BE＝CF，再用CE＝2BE＝6得到BE、CE的长，从而得到BF的长．
【解答】解：△ABC沿BC方向平移至△DEF处，
∵BC＝BC，CE＝2BE＝6，
∴BE＝3，CE＝6，
∴BF＝BE+EC+CF＝3+6+3＝12（cm）．
故答案为：12cm．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
12．（3分）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则OAOB= 2 ．
【分析】如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H可得△OAH∽△BOG利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果．
【解答】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H，
，
∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，
∴S△BOG＝1，S△AOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAH＝∠BOG，
∴△OAH∽△BOG，
∴OA2OB2=S△AOhS△BOG=2，
∴OAOB=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝6，BC＝8，点P在直线BC上方，△PBC的面积为6，则|DP﹣BP|的最大值为 43 ．
【分析】过点P作PH⊥BC于H．过点P作直线l∥BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接DB′交直线l于P′，此时|P′D﹣P′B′|的值最大，即|DP﹣BP|的值最大，最大值为线段DB′的长．
【解答】解：如图，过点P作PH⊥BC于H．
∵12•BC•PH＝6，BC＝8，
∴PH=32，
∵∠ABC＝90°，
∴过点P作直线l∥BC，作点B关于直线l的对称点B′在AB上，则BB′＝2PH＝3，
连接DB′交直线l于P′，此时|P′D﹣P′B′|的值最大，即|DP﹣BP|的值最大，最大值为线段DB′的长，
过点D作DK⊥AB于K．
∵∠DAB＝120°，AD＝6，
∴∠DAK＝60°，
∴AK=12AD＝3，DK=32AD＝33，
∵AB＝4，BB′＝3，
∴AB′＝1，
∴B′K＝AB′+AK＝4，
∴DB′=B′K2+DK2=42+(33)2=43
∴|DP﹣BP|的最大值为43．
故答案为：43．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）计算：8−(−12)−3−(2+1)2．
【分析】先将根式、平方和负整数指数幂进行化简，然后算减法．
【解答】解：8−(−12)−3−(2+1)2
=22−(−8)−(2+1+22)
=22+8−2−1−22
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算．
15．（5分）求不等式1+2（x﹣1）≤3的最大整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出最大整数即可．
【解答】解：去括号，得：1+2x﹣2≤3，
移项，得：2x≤3﹣1+2，
合并同类项，得：2x≤4，
系数化为1，得：x≤2，
则最大整数解为2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
16．（5分）解分式方程：xx+1=x3x+3+1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一点P，使PB＝PC，∠PAB＝45°．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作BT平分∠ABC，直线MN交BT于点P，连接PC，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
18．（5分）周末同学们和老师代表共20人组团去科技馆参加活动．已知科技馆的门票销售标准是：成人票150元/张，学生票价是成人票价的五折．该团队购门票共花费1650元．问该团队老师代表和学生分别有多少人？
【分析】设该团队老师代表有x人，学生有y人，根据周末同学们和老师代表共20人组团去科技馆参加活动，该团队购门票共花费1650元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该团队老师代表有x人，学生有y人，
根据题意得：x+y=20150x+150×0.5y=1650，
解得：x=2y=18，
答：该团队老师代表有2人，学生有18人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E在AC上，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD．求证：AE＝CD．
【分析】根据CD∥AB，可得∠ACD＝∠BAE，根据AAS可证△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△ABE和△CAD中，
∠BAE=∠ACD∠ABE=∠CADBE=AD，
∴△ABE≌△CAD（AAS），
∴AE＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．（5分）近几年国产电影不断创新突破，越来越受到观众的喜爱.2025年春节期间热映的电影有：《哪吒之魔童闹海》，《战火西岐》，《唐探1900》，《射雕英雄传》，丁丁和小刚也准备去电影院去看电影，他们计划从4部热映的电影中选择一部观看．
（1）随机选择一部电影，请问丁丁选到《唐探1900》的概率是 14 ；
（2）请用画树状图或者列表的方法，求丁丁和小刚选择同一部电影的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中丁丁选到《唐探1900》的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及丁丁和小刚选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中丁丁选到《唐探1900》的结果有1种，
∴随机选择一部电影，丁丁选到《唐探1900》的概率是14．
故答案为：14．
（2）将《哪吒之魔童闹海》，《战火西岐》，《唐探1900》，《射雕英雄传》4部电影分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中丁丁和小刚选择同一部电影的结果有4种，
∴丁丁和小刚选择同一部电影的概率为416=14．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（6分）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴BDHO=ABAH，
∴3.2HO=，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴AHNP=HOPO，
∴，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造和证明三角形相似．
22．（7分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
【分析】（1）用待定系数法可得AB所在直线的函数表达式；
（2）结合（1），求出石块下降的高度为8cm时，F拉力的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
6k+b=410k+b=2.5，
解得k=−38b=254，
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力=−38x+254；
（2）在F拉力=−38x+254中，令x＝8得F拉力=−38×8+254=134，
∵4−134=34（N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为34N．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
23．（7分）为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中的m＝ 26.5 ，n＝ 29 ；
（2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中， 乙 （填“甲”或“乙”）队员表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好．
【分析】（1）根据平均数的概念和中位数的计算方法求解即可；
（2）根据平均数和中位数求解即可；
（3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可．
【解答】解：（1）由统计图知，甲的平均得分m=24+28+24+28+27+286=26.5，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数n=28+302=29，
故答案为：26.5，29；
（2）∵乙的平均得分为28，甲的平均得分为26.5，
乙的得分中位数为29，甲的得分中位数为27.5，
∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好；
故答案为：乙；
（3）甲的综合得分为：36.5，
乙的综合得分为：40，
∵40＞36.5，
∴乙队员表现更好．
【点评】本题主要考查了中位数，平均数和加权平均数的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若DC=53EC，DA＝4，求BE的长．
【分析】（1）连接OC，可证OC∥BE，根据ED为⊙O的切线，得OC⊥DE，根据平行线的性质即可求证；
（2）设DC＝5a，EC＝3a，可得DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝4+r，DB＝4+2r，根据（1）中OC∥BE，可得△DCO∽△DEB，即得DCDE=DODB，可得r＝6，再根据相似三角形的性质OCBE=DCDE=58即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CF=CA，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵ED为⊙O的切线，点C为切点，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝∠E＝90°，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵DC=53EC，
∴可设DC＝5a，EC＝3a，
∴DE＝8a，
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝4+r，DB＝4+2r，
由（1）可知，OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
即5a8a=4+r4+2r，
解得r＝6，
∴⊙O的半径为6，
∵△DCO∽△DEB，
∴OCBE=DCDE=58，
∴BE=85OC=85×6=485．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹BC上某一点与支柱AB的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）求出y与x之间的函数关系；
（2）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状y＝ax2+bx+c不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法可得答案；
（2）水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过（7，0），（0，3），可得y=−328x2+928x+3=−328（x−32）2+363112，喷水池水柱的最大高度是363112米，结合（2）知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328（x﹣6）2+487，喷水池水柱的最大高度是487米，故喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系为y＝ax2+bx+c，把（0，3）（2，367），（6，487）代入得：
c=34a+2b+c=36736a+6b+c=487，
解得a=−328b=97c=3，
∴y=−328x2+97x+3；
（2）∵喷出水柱轨迹的形状不变，
∴a=−328，
水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过（7，0），（0，3），
∴c=3−328×49+7b+c=0，
解得b=928c=3，
∴y=−328x2+928x+3=−328（x−32）2+363112，
∴当x=32时，喷水池水柱的最大高度是363112米，
由（2）知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328（x﹣6）2+487，
∴当x＝6时，喷水池水柱的最大高度是487米，
综上所述，喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
26．（10分）数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB＝40cm，AD＝80cm，取AD边上一点E，ED＝30cm，请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F，连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长为 205； cm．
【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF上两点，且OM＝ON＝10cm（M在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN角度最大，请帮兴趣小组计算，当∠MPN角度最大时，sin∠MPN的值．
【任务三】在任务二的结论下，线段EF的左侧是否存在点Q，连接QM和QN，使得∠MQN＝∠MPN，且满足四边形QNPM的面积最大，若存在，求出四边形QNPM的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】[任务一]：连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥CB于点G，由于矩形是中心对称图形，故当EF经过对称中心O时，线段EF平分矩形ABCD的面积，在由平行线间距离相等得到EG＝AB＝40，同理可得：CG＝DE＝30，最后由勾股定理即可求解；
[任务二]：作△MPN的外接圆，记作⊙T，在BC上取点P'，连接MP'交⊙T于点I，则∠MPN＝∠MIN＞∠MP'N，故当⊙T与BC相切时，∠MPN最大，连接TP，则TP⊥BC，连接TN，TM，证明△NFP∽△PFM，则FP2＝FM×FN，故FP2=FM×FN=(105−10)(105+10)=400，则FP＝20，由勾股定理逆定理得到∠FOC＝90°，则tan∠FCO=TPPC=FOOC=TP30=105205，因此TP＝15，∠OTN=12∠MTN=∠MPN，那么sin∠MPN＝sin∠OTN=23；
[任务三]作⊙T关于EF的对称圆，记为⊙T'，则点Q在优弧MN上，则∠MQN＝∠MPN，连接QM，QN，QT'，作QH⊥EF于点H，PW⊥EF于W，由于QH≤QT′+T′O=15+55，故当点Q、T'、O三点共线时，QH最大，且为15+55，此时S△QMN=12MN×QHmax=150+505，可求PW=85，则S△PMN=12MN×PW=12×20×85=805，因此S四边形QNPMmax=S△QMNmax+S△QPN=150+1305．
【解答】解：[任务一]：连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥CB于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝80cm，且为中心对称图形，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴当EF经过对称中心O时，线段EF平分矩形ABCD的面积，
∴由对称性得DE＝BF＝30，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，EG⊥CB，
∴EG＝AB＝40，
同理可得：CG＝DE＝30，
∴FG＝BC﹣BF﹣CG＝20，
∴在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=EG2+FG2=205cm，
故答案为：205；
[任务二]：作△MPN的外接圆，记作⊙T，在BC上取点P'，连接MP'交⊙T于点I，
∴∠MPN＝∠MIN＞∠MP'N，
∴当⊙T与BC相切时，∠MPN最大，连接TP，则TP⊥BC，连接TN，TM，
∴∠FPN+∠TPN＝90°，
∵TN＝TP，
∴∠TPN＝∠TNP，
∴∠TPN=180°−∠NTP2，
∴∠FPN+180°−∠NTP2=90°，
∴∠FPN=∠NTP2，
∴∠FMP=∠NTP2，
∴∠FPN＝∠FMP，
∵∠NFP＝∠PFM，
∴△NFP∽△PFM，
∴FPFN=FMFP，
∴FP2＝FM×FN，
∴EF=205，
∴OE=OF=105，
∴FP2=FM×FN=(105−10)(105+10)=400，
∴FP＝20，
而FC＝BC﹣BF＝50，
∴PC＝50﹣20＝30，
∵AB＝40，AD＝80，
由勾股定埋得：AC＝405，
∴OC=12AC=205，
∴OF2+OC2＝FC2，
∴∠FOC＝90°，
∴tan∠FCO=TPPC=FOOC=TP30=105205，
∴TP＝15，
∵TM＝TN，TO⊥MN，
∴∠OTN=12∠MTN=∠MPN，
∴sin∠MPN=sin∠OTN=ONTN=1015=23；
[任务三]：存在，理由如下：
作⊙T关于EF的对称圆，记为⊙T′，则点Q在优弧MN上，
∴∠MQN＝∠MPN，
连接QM，QN，QT，作QH⊥EF于点H，PW⊥EF于W，
∵TN＝TP＝15，ON＝10，
∴由勾股定理得：TO=TN2−ON2=55，
由对称得：T′O=TO=55，
∴QH≤QT′+T′O=15+55，
∴当点Q、T′，O三点共线时，QH最大，且为15+55，
∴此时S△QMN=12MN×QHmax=12×20×(15+55)=150+505，
∵cs∠EFP=FWFP=FGFE，
∴FW20=20205，
∴FW=45，
∴PW=FP2−FW2=85，
∴S△PMN=12MN×PW=12×20×85=805，
∴S四边形QNPMmax=S△QMNmax+S△QPN=150+505+805=150+1305，
存在，四边形QNPM的面积最大值为150+1305．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度很大，识别“米勒圆“和“定弦定角”模型是解题的关键.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
C
A
D
C
C
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
0
4
6
4
…
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
队员
平均每场得分
得分中位数
平均每场篮板
平均每场失误
甲
m
27.5
8
2
乙
28
n
10
3
x/m
0
2
6
10
y/m
3
367
487
367