2023年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12023的绝对值是(    )
A. 12023 B. −12023 C. −2023 D. 2023
2. 中国文字是方块字，其形、音、结构、神韵都具有美感，对称美在汉字结构中十分常见.下列美术字是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 近期，扬州市统计局发布了《2022年扬州市国民经济和社会发展统计公报》.《公报》称，经初步核算，扬州市2022年房屋建筑施工面积约330 100 000平方米，同比增长1.5%.将330 100 000用科学记数法表示为(    )
A. 33.01×107 B. 3.301×107 C. 3.301×108 D. 33.01×108
4. 如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的(    )


A. 主视图会发生改变 B. 俯视图会发生改变
C. 左视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变
5. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足.问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够.问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为(    )
A. 5x+y=9050x+y=0 B. 5x−y=9050x−y=0
C. 5x−y=−9050x+y=0 D. 5x−y=−9050x−y=0
6. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是(    )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
7. 如图，直线y=kx+b(k>0)经过点A(−4,1)，当kx+b>−14x时，x的取值范围为(    )
A. x>−14
B. x<0
C. x<−4
D. x>−4
8. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H.有如下结论：
①∠CFH=30°；
②DE= 33AE；
③CH=GH；
④S△ABF：S四边形AFCD=3：5．
上述结论中，所有正确结论的序号是(    )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分解因式：m2−16=______．
10. 在平面直角坐标系中，将点(1,1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是______ ．
11. 若关于x的方程x2−mx−2=0的一个根为3，则m的值为______ ．
12. 2023年3月7日上午，江苏省青少年射击(步手枪)冠军赛在扬州市射击运动中心鸣枪开赛.来自全省12个设区市的200余名青少年射击选手齐聚扬州，一较高下.赛前，某位射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，则该名选手十次射击训练成绩的中位数是______ ．

13. 已知x+ (x−2023)2=2023，则x的取值范围是______ ．
14. 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈正六边形.若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠BAC的值是______ ．


15. 如图，等边三角形ABC的边长为2，以B为圆心、AB长为半径画弧AC，点D为等边三角形内一点，连接DA，DB，DC.若△BDC为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是______ ．


16. 如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(1,0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为______ ．

17. 如图，A是双曲线y=−12x(x<0)上的一点，M是线段OA上的点，OA=4OM，过点M作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C，则△ABC的面积是______ ．


18. 如图，在△ABC中，M，N分别为BC，AB上的点，将△BMN沿MN翻折，得到△B′MN，连接BB′，AB′，已知∠AB′B=90°，若B′M//AC，B′M=8，AC=3 3，则CM的长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)| 3−3|+(−1)2023+2sin60°−(π2)0；
(2)(a−2a−1a)÷a2−1a2+3a．
20. (本小题8.0分)
解不等式组：4x≤2(x+1)2+x>x2，并求出不等式组所有非正整数解的和．
21. (本小题8.0分)
2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮.某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了部分学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组号
成绩
频数
频率
1
50≤x<60
3
0.06
2
60≤x<70
a
0.24
3
70≤x<80
20
0.40
4
80≤x<90
b
c
5
90≤x<100
5
0.10
合计
m
1.00
(1)本次抽样调查的样本容量m= ______ ；
(2)求表格中字母的值：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，并补全频数分布直方图；
(3)若以组中值(每组正中间数值)为本组数据的平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有参赛学生成绩的平均分．

22. (本小题8.0分)
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法.在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法．
(1)某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率为______ ；
(2)在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为10cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率(用画树状图或列表的方法求解)．
23. (本小题10.0分)
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮.”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
24. (本小题10.0分)
古诗云：“烟花三月下扬州”，每年的春季是扬州旅游的最佳时间.为吸引游客，扬州润扬湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩.许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制遮阳伞的开合，AC=AD=2m，BF=2.5m．
(1)白天时打开遮阳伞，若∠α=70°，求遮阳伞宽度CD(结果精确到0.1m)；
(2)傍晚时收拢遮阳伞，∠α从70°减少到45°，求点E下降的高度(结果精确到0.1m)．
(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， 2≈1.41)

25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=BC，BD=16 55，tan∠CBD=12，求⊙O的半径．

26. (本小题10.0分)
【操作发现】
如图1，点M是△ABC中AC边的中点．
(1)请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN，交AB于点N；
(2)在(1)的条件下，线段AB与AN的数量关系是______ ；
【类比探究】
如图2，线段AB与射线AC有公共端点A.请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N，使ANAB=23．
(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
27. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=(x−3)(x−2a)交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，OAOB=23．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=12∠PBA.求点P的坐标；
(3)如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN=2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

28. (本小题12.0分)
翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面.人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学.可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式.在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：
几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知△ABC≌△DEF，∠ABC=∠DEF=45°，BC⊥AC，EF⊥DF，AC=DF=8cm，线段AC在直线MN上，点F在线段AB上，点A与点D重合．
(1)∠CAE= ______ ，BF= ______ cm；
(2)将三角板DEF的直角顶点F沿FA方向滑动，同时顶点D沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段AB中点时，求∠AFD的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
(3)在(2)的条件下，过点D，F分别作AN，AB的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−12023的绝对值是12023．
故选：A．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．

2.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】C 
【解析】解：330100000=3.301×108．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】
解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：A．  
5.【答案】D 
【解析】解：∵每人出五元，还差九十元，
∴5x−y=−90；
∵每人出五十元，刚好够，
∴50x−y=0．
∴根据题意可列方程组5x−y=−9050x−y=0．
故选：D．
根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：如图，

∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC//AD，
∴∠ABC=180°−120°=60°，
故选：C．
先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．
本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD的度数是解题关键．

7.【答案】D 
【解析】解：直线y=−14x的图象如图所示：
直线y=−14x与直线y=kx+b(k>0)交于点A(−4,1)，
根据图象可知，kx+b>−14x时，x的取值范围是x>−4，
故选：D．
先画出直线y=−14x的图象，再结合图象即可确定x取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∵E是CD边的中点，
∴∠AED=∠GEH=90°，
∵将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，
∴∠G=∠ABC=60°，
∴∠CHF=∠GHE=30°，
∵∠BCD=180°−∠ABC=120°，
∴∠CFH=30°，故①正确；
∵∠AED=90°，∠D=60°，
∴DE=AEtan60∘= 33AE，故②正确；
设AC与FG交于M，
∵∠CHM=30°，∠HCM=60°，
∴∠CMH=90°，
∴AC⊥FG，
∴AM= 32AG，
∵AE= 32AD，
∴AM=AE，
∵AC=AB=AG，
∴CM=EG，
∴△CMH≌△GEH(AAS)，
∴CH=HG，故③正确；
过A作AN⊥BC于N，
∴∠ANF=∠AMF，
∵∠AFN=∠AFM，AF=AF，
∴△ANF≌△AMF(AAS)，
∴FN=FM，
∴FN=FM= 32CF，
∴CN=BN=(1+ 32)CF，
∴BC=2CN=(2+ 3)CF，BF=BN+FN=(1+ 32+ 32)CF，
∴S△ABF：S△ABC=1+ 32+ 3，S△ABF：S△ACF=1+ 31，
∴S△ABC=2+ 31+ 3S△ABF，S△ACF=11+ 3S△ABF，
∴S△ABF：S四边形AFCD= 33.故④错误，
故选：B．
连接AC，根据菱形的性质得到AB=BC=AD=CD，∠D=∠ABC=60°，推出△ABC和△ADC是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠GEH=90°，根据旋转的性质得到∠G=∠ABC=60°，求得∠CHF=∠GHE=30°，根据三角形的内角和定理得到∠CFH=30°，故①正确；根据三角函数的定义得到DE=AEtan60∘= 33AE，故②正确；设AC与FG交于M，得到AC⊥FG，根据全等三角形的性质得到CH=HG，故③正确；过A作AN⊥BC于N，求得∠ANF=∠AMF，根据全等三角形的性质得到FN=FM，求得FN=FM= 32CF，得到CN=BN=(1+ 32)CF，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

9.【答案】m+4m−4 
【解析】解：原式=m+4m−4，
故答案为：m+4m−4
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

10.【答案】(3,1) 
【解析】解：将点(1,1)向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为(3,1)．
故答案为：(3,1)．
根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．

11.【答案】73 
【解析】解：由题意得：
把x=3代入方程x2−mx−2=0中得：
32−3m−2=0，
解得：m=73，
故答案为：73．
根据题意可得：把x=3代入方程x2−mx−2=0中得：32−3m−2=0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．

12.【答案】8环 
【解析】解：将10个数据排序：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10．
8+82=8(环)．
故答案为：8环．
明确10个数据后，进行排序，再取中间的两个数据，计算其平均数即可．
本题不仅考查了中位数的求法，同时考查了学生的识图能力，获得数据并分析数据的能力．

13.【答案】x≤2023 
【解析】解：由题意可知： (x−2023)2=2023−x，
∴2023−x≥0，
∴x≤2023，
故答案为：x≤2023．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

14.【答案】 3 
【解析】解：如图，连接AB、BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB=BC=AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴tan∠ABE=tan60°= 3，
故答案为： 3．
由正六边形的性质得AB=BC=AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC=60°，即可得出结论．
本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．

15.【答案】4π−3 3−36 
【解析】解：∵△BDC为等腰直角三角形，BC=2，
∴BD=CD= 22BC= 2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴△ABD的面积=△ACD的面积，
∵△ABC的面积= 34BC2= 34×22= 3，△DBC的面积=12BD⋅DC=12×( 2)2=1，
∴△ABD的面积=12×(△ABC的面积−△DBC的面积)=12( 3−1)，
∵扇形BAC的面积=60π×223602π3，
∴阴影的面积=扇形BAC的面积−△DBC的面积−△ABD的面积=2π3−1−12( 3−1)=4π−3 3−36．
故答案为：4π−3 3−36．
由条件可以证明△ABD≌△ACD，由扇形面积计算公式，求出扇形BAC的面积，求出△ABC的面积，△DBC的面积，得到△ABD的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，等腰直角三角形，关键是求出△ABD的面积，并掌握扇形面积的计算公式．

16.【答案】(1,− 2) 
【解析】解：∵360°÷90°=4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4=505⋯⋯3.即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，

过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3，
由旋转得，△AOF≌△MF3O，
∵点B(1,0)，
∴OB=1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB=1，
∴AB= 2OA= 2，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF=AB= 2，
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3=OA=1，OM=AF= 2，
∴点F3的坐标为(1,− 2)，则点F2023的坐标为(1,− 2).
故答案为：(1,− 2).
先求出点F3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．

17.【答案】24 
【解析】解：连接OC，
∵OA=4OM，
∴S△ACM=4S△OCM，S△AMB=4S△OMB，
∴S△ACM+S△AMB=4(S△OCM+S△OMB)，
∴S△ABC=4S△OBC，
∵A是双曲线y=−12x(x<0)上的一点，BC⊥x轴，
∴S△OBC=12×12=6，
∴S△ABC=24，
故答案为：24．
根据OA=4OM，得到S△ACM=4S△OCM，S△AMB=4S△OMB，即可得到S△ABC=4S△OBC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．

18.【答案】8−3 3 
【解析】解：延长B′A交BC的延长线于点D，如图，

根据折叠的性质可得，BM=B′M，
∴∠B′BM=∠BB′M，
∵∠AB′B=90°，
∴∠BB′M+∠DB′M=90°，∠B′BM+∠D=90°，
∴∠DB′M=∠D，
B′M=DM=8，
∵B′M//AC，
∴∠DAC=∠DB′M，
∴∠D=∠DAC，
∴CD=AC=3 3，
∴CM=DM−CD=8−3 3．
故答案为：8−3 3．
延长B′A交BC的延长线于点D，根据折叠的性质可得BM=B′M，则∠B′BM=∠BB′M，由题意可得∠BB′M+∠DB′M=90°，由三角形内角和定理得∠B′BM+∠D=90°，进而得到∠DB′M=∠D，则B′M=DM=8，由平行线的性质得∠DAC=∠DB′M，则∠D=∠DAC，因此CD=AC，由CM=DM−CD即可求解．
本题主要考查折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，利用等边对等角来解决问题是解题关键．

19.【答案】解：(1)原式=3− 3−1+2× 32−1
=3− 3−1+ 3−1
=1；
(2)原式=a2−2a+1a⋅a(a+3)(a+1)(a−1)
=(a−1)2a⋅a(a+3)(a+1)(a−1)
=(a−1)(a+3)a+1． 
【解析】(1)分别根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值及零指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，熟知分式的混合运算及实数混合运算的法则是解题的关键．

20.【答案】解：4x≤2(x+1)①2+x>x2②，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x>−4，
∴不等式组的解集是：−4 ∴不等式组的非正整数解为0，−1，−2，−3
∴不等式组所有非正整数解的和为−3+(−2)+(−1)+0=−6． 
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非正整数解的和即可．
此题考查了一元一次方程组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

21.【答案】50  12  10  0.2 
【解析】解：(1)本次抽样调查的样本容量m=3÷0.06=50，
故答案为：50；
(2)a=50×0.24=12，b=50−(3+12+20+5)=10，
∴c=10÷50=0.2，
补全频数分布直方图：

故答案为：12，10，0.2；
(3)150×(55×3+65×12+75×20+85×10+95×5)=75.4(分)，
答：估计所有学生成绩的平均分为75.4分．
(1)用第1组的频数除以频率即可；
(2)根据频数=频率×总数及各组频数之和等于总数求解即可；
(3)利用加权平均数的定义及样本估计总体求解即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】14 
【解析】解：(1)恰好选中的画像是刘徽的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如图所示，

从三根细木棒中取两根细木棒的所有等可能情况共有6种．两根细木棒能与10cm的木棒构成直角三角形的情况数有2种，
所以P(能构成直角三角形)=26=13．
(1)利用概率公式求解即可；
(2)画树状图得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

23.【答案】解：(1)设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需(x+1.5)万元，根据题意得：18x+1.5=12x，
解得：x=3，
经检验：x=3是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需4.5万元，乙种农机具一件需3万元，
(2)设甲种农机具最多能购买a件，则：4.5a+3(20−a)≤72.6，
解得：a≤8.4，
因为a为正整数，
所以甲种农机具最多能购买8件． 
【解析】(1)设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需(x+1.5)万元，根据“用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；
(2)设甲种农机具最多能购买a件，根据题意，列出不等式，即可求解．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．

24.【答案】解：(1)在Rt△ADO中，∠OAD=70°，AD=2(m)，
∴sin70°=ODAD，
∴OD≈2×0.94≈1.9(m)，
∴CD=2OD≈3.8(m)．
答：遮阳伞宽度CD是3.8m．
(2)当∠BAE=α时，此时设EF=h(m)，
过点E作EG⊥AB于点G，
∴四边形GEFB是矩形，
∴GE=BF=2.5(m)，EF=GB=h(m)，
在Rt△AEG中，tanα=GEAG，
∴AG=2.5tanα，
∵AB=h+AG，
∴h=AB−AG=AB−2.5tanα，
∴∠α从70°减少到45°，点E下降的高度为(AB−2.5tan70∘)−(AB−2.5tan45∘)
=2.5tan45∘−2.5tan70∘
≈2.5−0.9
≈1.6(m)，
点E下降高度为1.6m． 
【解析】(1)先根据锐角三角函数的定义可求出OD的长度，然后根据对称性可求出CD的长度．
(2)当∠BAE=α时，此时设EF=h(m)，根据锐角三角函数的定义可求出h=AB−2.5tanα，分别代入α的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于基础题型．

25.【答案】(1)证明：连接OB，如图：

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠OBE+∠ABD=∠OEB+∠CBD，
∴∠OBA=∠OFB，
∵OF⊥BC，
∴∠OBA=∠OFB=∠EFB=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是半径，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠CBD=CDBD=12，
∵BD=16 55，
∴CD=8 55，
∵∠BDC=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BC=8，
∵OF⊥BC，
∴BF=CF=12BC=4，
∵∠EFB=90°，
∴tan∠CBD=EFBF=12，
∴EF=2，
令OB=OE=r，
∴OF=OE−EF=r−2，
∵∠OFB=90°，
∴OF2+BF2=OB2，
即(r−2)2+42=r2，
∴r=5，
∴⊙O的半径为5． 
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠OEB，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论；
(2)根据等腰三角形的性质可得∠BDC=90°，再根据解直角三角形及勾股定理可得BC的长，进而得到答案．
此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．

26.【答案】AB=2AN 
【解析】解：【操作发现】
(1)如图1，MN为所作；
(2)∵点M是△ABC中AC边的中点，
∴AC=2AM，
∵MN//BC，
∴AN：AB=AC：AM=2，
即AB=2AM；
故答案为：AB=2AM；
【类比探究】如图2，点N为所作．

【操作发现】
(1)作∠AMN=∠C交AB于N点，根据平行线的判定方法可得到MN//BC；
(2)根据平行线分线段成比例定理可得到AB=2AM；
【类比探究】在射线AC上依次截取AE=EF=DF，再连接BD，接着作∠AFN=∠ADB交AB于N点，则FN//BD，根据平行线分线段成比例定理得到AN：AB=AF：AD=2：3．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定和平行线分线段成比例定理．

27.【答案】解：(1)把y=0代入抛物线y=(x−3)(x−2a)，
得x=3或x=2a，
∵点A在点B的左侧，
∴A(2a,0)，B(3,0)，
∵OAOB=23
∴−2a3=23
∴a=−1
∴抛物线的函数表达式为：y=x2−x−6；
(2)如图①，作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC=DB

∵DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ODB=∠DCB+∠DBC=2∠BCO，
∵∠BCO=12∠PBA
∴∠PBA=2∠BCO，
∴∠ODB=∠PBA，
∴tan∠ODB=tan∠PBA，
设P(m,m2−m−6)，DC=DB=n，
∵C(0,−6)，B(3,0)，
∴OC=6，OB=3，
∴OD=6−n，
在Rt△BOD中，
(6−n)2+32=m2，
解得n=154，
∴OD=94，
∵tan∠ODB=tan∠PBA
∴PEBE=OBOD
即|m2−m−6|3−m=394=43，
解得m=−103或m=−23，
∴m2−m−6=769或−449
∴点P的坐标为(−103,769)或(−23,−449)；
(3)MN的为定值，定值为5
∵A(−2,0)，B(3,0)，点M到x轴的距离为2L
∴S△ABM=12×5×2L=5L，
∵S△AMN=5L
∴S△ABM=S△AMN
∵△ABM和△AMN同底AM，
∴点B、N到直线AM的距离相等，
∴AM//BN，
∴∠MAN=∠ANB，∠AMB=∠MBN，∠ABC=∠MAB
∴∠ANB=∠MBN
∴∠MAN=∠AMB
∵tan∠ABC=OCOB=63=2，tan∠AMN=2
∴△MAB≌△AMN(ASA)，
∴MN=AB=5
∴MN的为定值，定值为5． 
【解析】(1)把y=0代入抛物线解析式，得x=3或x=2a，所以A(2a,0)，B(3,0)，侧)，再根据OAOB=23，求出a，即得到函数解析式；
(2)作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC=DB，设P(m,m2−m−6)，DC=DB=n，根据tan∠ODB=tan∠PBA，得到关于m的方程，求出m，即得出P坐标；
(3)先求出S△ABM=12×5×2L=5L，可知S△ABM=S△AMN，再证明△MAB≌△AMN，得出MN=AB=5，所以MN的为定值，定值为5．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

28.【答案】90°  (8 2−8) 
【解析】解：(1)如图1中，∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC=8cm，∠CAB=∠EDF=45°，
∴∠CAE=∠CAB+∠EDF=90°，
∵AB= 2AC=8 2(cm)，AF=8cm，
∴BF=AB−AF=(8 2−8)cm．
故答案为：90°，(8 2−8)；

(2)①如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．

∵FH//BC，BF=FA，
∴CH=AH，
∴FH=12BC，
∵BC=DF，
∴FH=12DF，
∴∠FDH=30°，
∵∠FAH=∠AFD+∠ADF=45°，
∴∠AFD=45°−30°=15°；

②如图2−1中，作射线AE．

∵∠CAB=∠DEF=45°，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠EAD=∠EFD=90°，
∴AE⊥AC，
当点D′与A重合时，AE′= 2DF=8 2(cm)，
当点F与A重合时，AE″=8cm，
∴点E的运动路径的长=(8 2−8)cm；

(3)结论：AP=8 2，是定值．
理由：如图3中，连接AE．

∵PF⊥AB，PD⊥CD，
∴∠PFA=∠PDA=90°，
∴A，F，P，D四点共圆，
∵A，F，E，D四点共圆，
∴A，F，E，P，D五点共圆，
∵∠ADP=∠DFE=90°，
∴AP，AE都是直径，
∴AP=AE=8 2(cm)．
(1)利用等腰直角三角形的性质求解可得结论；
(2)①如图2中，过点F作FH⊥CD于点H.利用三角形中位线定理，证明FH=12DF，推出∠FDH=30°，可得结论；
②如图2−1中，作射线AE.证明AE⊥AC，求出AE′，AE″，可得结论；
(3)结论：AP=8 2，是定值．如图3中，连接AE.说明A，F，E，P，D五点共圆，由∠ADP=∠DFE=90°，推出AP，AE都是直径，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，特殊角三角函数值，圆内接四边形的判定和性质，垂径定理等，第(2)②关键是判断点E的运动路径，第(3)关键是利用辅助圆解题．