七年级数学下册 第四章 因式分解 单元测试题 浙教版（含解析）

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七年级数学下册 第四章 因式分解 单元测试题 浙教版 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A．−4x2+9y2 B．−4x2−9y2 C．4x2+9y2 D．4x2+4xy+y2 2． 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x(x−1)=x2−x B．x2−x=x(x−1) C．(x+y)(x−y)=x2−y2 D．x2−2x+2=(x−1)2+1 3．已知3a÷3b=9，a2+b2=6，则ab的值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．下列因式分解正确的是（　　） A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b） 5．已知2a+b=6，则代数式4a2−b2+12b的值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．48 6．下列各式中，为完全平方式的是（　　） A．x2−2x−1 B．x2−x+1 C．x2−x+14 D．x2−mx+m2 7．如果y2－ay＋81是一个完全平方式，那么a的值是（　　） A．18 B．－18 C．±18 D．以上选项都错 8．下列各式中，不能分解因式的有（　　） ①−9x2−y2；②b2−9a2；③a2+2ab−b2；④−x2+25y2；⑤7a2−7b2；⑥x2−x+14． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．用公式法分解因式：①x2+xy+y2=(x+y)2；②−x2+2xy−y2=−(x−y)2；③x2+6xy−9y2=(x−3y)2；④−x2+14=(12+x)(12−x)，其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（x>y），观察图案及以下关系式：①x−y=b；②x+y=a；③x2−y2=ab；④x2+y2=a2+b22；⑤xy=a2−b22；其中正确的关系式有 （　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 11．因式分解：4x−xy2=　 　． 12．已知关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−mx−2y=4m−1，给出以下结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，m=−2； ②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0； ③无论m取何值，y2+2xy=3m−1m+1恒成立； ④无论m取什么实数，x+2y始终为定值． 其中正确的是　 　（请填序号） 13．已知多项式x2+ax+81是一个完全平方式，则实数a的值是 　 　． 14．从m2、2mn、n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　 15． 若 a=2018x+2019，b=2018x+2020，c=2018x+2021， 则多项式 a2+b2+ c2−ab−ac−bc=　 　 16．已知关于x，y的方程组 x+2y=1−ax−y=2a ，现给出以下结论：①x=23y=0 是该方程组的一个解；②无论a取何值， x+y 的值始终是一个定值；③当 a=1 时，该方程组的解也是方程 x+y=a−13 的解；④若 x2−y2=4 ，则 a=−3 .其中正确的是　 　（填序号）. 三、解答题 17． 分解因式： （1）x4−x2． （2）3ax2−6axy+3ay2． （3）b−a+3(a−b)2． 18．分解因式： （1）a2−6ab+9b2； （2）a2b−16b； （3）x2y−2xy2+y3． 19．先化简，再求值：(a+2b)(a−2b)+(−a+2b)2，其中，a=−1,b=14. 20．给出三个多项式：①a2+3ab−2b2，②b2−3ab，③ab+6b2． （1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解： （2）当a=2，b=−3时，求第（1）问所得的代数式的值． 21． 仔细阅读下面的例题： 例题： 已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2， 求另一个因式及 m 的值． 解： 设另一个因式为 x+n， 得 x2+5x+m=(x+2)(x+n)， 则 x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n， ∴n+2=5，m=2n， 解得 n=3，m=6． ∴ 另一个因式为 x+3，m 的值为 6 ． 依照以上方法解答问题： 已知二次三项式 2x2+9x−k 有一个因式是 2x−1， 求另一个因式以及 k 的值． 22．问题： 把 x4+4 分解因式． 分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？ 19 世纪的法国数学家苏菲⋅热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 x22+22 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 4x2， 于是将此项 4x2 减去， 即可得 x4+4= x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−(2x)2=x2+2x+2x2−2x+2． 人们为了纪念苏菲⋅热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲⋅热门的解法， 将下列各式分解因式： （1） x4+4y4． （2） x2−2ax−2ab−b2． 23．小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下： (30x4y2+M+12x2y2)÷(−6x2y)=N+3xy−2y. （1）请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案； （2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ2ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 24．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝　 　 ． （2）【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）． 请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①x2﹣xy+6x﹣6y； ②m2﹣n2+6m+9． （3）【应用尝试】已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．  答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：对A选项，−4x2+9y2=9y2−4x2=(3y−2x)(3y+2x)，故A符合题意；对B选项，−4x2−9y2=−(4x2+9y2)，无法用平方差分解因式，故B不符合题意；对C选项，4x2+9y2，无法用平方差分解因式，故C不符合题意；对D选项，4x2+4xy+y2=(2x+y)2，为完全平方式分解因式，故D不符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据选项中的各式特点进行简单的变形，即可判断能否用平方差公式分解因式. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：x(x-1)=x2-x是乘法运算，则A不符合题意，x2-x=x(x-1)符合因式分解的定义，则B符合题意；(x+y)(x -y)=x2-y2是乘法运算，则C不符合题意；x2-2x+2=(x-1)2+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故答案为：B . 【分析】因式分解的定义是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，需满足左边是多项式，右边是整式的积，且不能包含加减运算. 3．【答案】C 【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，∴3a÷3b=3a-b=9=32，∴a-b=2，∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，∵a2+b2=6，∴6-2ab=4，解得：ab=1． 故答案为：C. 【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、2mn2-2m=2m(n2-1)=2m(n+1)(n-1)，故A不符合题意；B、4x2-4x+1=(2x-1)2，故B符合题意；C、4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2，故C不符合题意；D、a2+ab+a=a(a+b+1)，故D不符合题意， 故答案为：B. 【分析】先提公因式，然后运用公式法继续分解，逐一判断即可解答. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵2a+b=6 ∴4a2−b2+12b =2a+b2a−b+12b =62a−b+12b =12a−6b+12b =62a+b =36， 故答案为：B． 【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题． 6．【答案】C 【解析】【解答】A、∵x2−2x−1无法写成平方的形式，∴A不符合题意；B、∵x2−x+1无法写成平方的形式，∴B不符合题意；C、∵x2−x+14=x−122，∴C符合题意；D、∵x2−mx+m2无法写成平方的形式，∴D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用完全平方式的特征逐项分析判断即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】81=92，所以−ay=±2×9×y=±18y，所以a=±18.故答案为：C.【分析】根据完全平方公式，中间项是首尾底数的积的二倍，当完全平方式是两数和的平方，中间项是加上积的二倍，当完全平方式是两数差的平方，中间项是减去积的二倍，故有两个答案。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：①−9x2−y2=−(9x2+y2)，不能分解因式，故①符合题意； ②b2−9a2=(b−3a)(b+3a)，能分解因式，故②不符合题意； ③a2+2ab−b2不能分解因式，故③符合题意； ④−x2+25y2=25y2−x2=(5y−x)(5y+x)，能分解因式，故④不符合题意； ⑤7a2−7b2=7(a2−b2)=7(a−b)(a+b)，能分解因式，故⑤不符合题意； ⑥x2−x+14=(x−12)2，能分解因式，故⑥不符合题意； 所以不能分解因式的是①和③， 故答案为：B． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式即可求解．9．【答案】B 【解析】【解答】① 完全平方公式应用错误，应为x2+2xy+y2=（x+y）2 ② 完全平方公式应用正确 ③ 完全平方公式应用错误，x2 和y2这两项的符号应相同 ④ 前后项加法交换位置后是直观的平方差形式，平方差公式应用正确。【分析】正确理解、准确辨识完全平方公式和平方差公式。 10．【答案】A 【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；②x+y=a，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；③x2−y2=ab，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；④x2+y2=a2+b22，依据完全平方公式，a2+b22=a+b2−2ab2=2x2−2x2−y22=2x2+2y22=x2+y2，关系式正确；⑤ 依据平方差公式，a2−b22=a+ba−b2=2x2y2=2xy≠xy，关系式不正确； 故选：A 【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。 11．【答案】x(2+y)(2−y) 【解析】【解答】解：4x−xy2=x4−y2=x2+y2−y， 故答案为：x2+y2−y．【分析】先提公因式x，然后利用平方差公式分解因式解答即可． 12．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：∵x+3y=4−mx−2y=4m−1， ∴得x=1+2my=1−m， ①∵x，y的值互为相反数 ∴x+y=0，即1+2m+1−m=0， 解得m=−2，故①符合题意； ②∵方程组的解x=1+2my=1−m都为自然数， ∴m=0或m=1， 当m=0时，x=1y=1符合题意； 当m=1时，x=3y=0符合题意， 故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1， 故②不符合题意； ③2xy+y2 =2x+yy =21+2m+1−m1−m =3+3m1−m =31+m1−m， 故③符合题意； ④由x=1+2my=1−m得2y=2−2m ∴x+2y=1+2m+2−2m=3， 无论m取什么实数，x+2y始终为定值． 故④符合题意， 综上，结论正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【分析】先利用加减消元法求出方程组为x=1+2my=1−m ① 把解代入到x+y=0解关于m的一元一次方程即可；②若方程组的解都为自然数，则m=0或m=1；③把解代入到y2+2xy中分解因式得31+m1−m；④把解代入到x+2y得x+2y=3． 13．【答案】±18 【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+81是一个完全平方式，∴a=±2×1×9=±18.故答案为：±18.【分析】根据完全平方式的特点可得a=±2×1×9，计算即可. 14．【答案】m2+2mn+n2=m+n2（答案不唯一） 【解析】【解答】解：m2+2mn+n2=m+n2， 故答案为：m2+2mn+n2=m+n2（答案不唯一）． 【分析】 a2±2ab+b2=a±b2、a2−b2=a+ba−b． 15．【答案】3 【解析】【解答】解：a2+b2+c2−ab−ac−bc=a(a−b)+b(b−c)+c(c−a)结合条件，可进一步化简成2c-a-b=3.故答案为：3.【分析】按规律整理式子后对每一组进行因式分解，先代入条件算出每个括号，继续代入算出最终值. 16．【答案】①②③ 【解析】【解答】解：①将解x=23y=0 代入原方程组，可得第一个方程23=1−a，即a=13；第二个方程23=2a，即a=13.两个方程均有a=13，故 x=23y=0 是该方程组的一个解，故①正确；②设 x+2y=1−a①x−y=2a②，将①×2+①，得3x+3y=2，即x+y=23，无论a取何值，x+y的值始终为定值，故②正确；③当a=1 时，原方程组为x+2y=0x−y=2，解得x=43y=−23，方程 x+y=a−13 变为x+y=23.将x=43y=−23代入x+y=23，方程左边为43−23=23，右边为23，左边=右边，故 当 a=1 时，该方程组的解也是方程 x+y=a−13的解，故③正确；④若x2−y2=4，则有x+yx−y=4，由③可知，x+y=23，则有23x−y=4，即x−y=6，于是代入原方程组的第二个方程，有6=2a，即a=3，故④错误；故答案为：①②③ .【分析】根据不同选项代入验证即可. 17．【答案】（1）解：x4−x2=x2x2−1=x2x+1x−1 （2）解：3ax2−6axy+3ay2=3ax2−2xy+y2=3a x−y2 （3）解：b−a+3a−b2=b−a+3b−a2= b−a1+3b−3a 【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； (2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； (3)先变形，再提公因式即可. 18．【答案】（1）解：a2−6ab+9b2=a2−6ab+3b2 =a−3b2； （2）解：a2b−16b =ba2−16 =ba+4a−4； （3）解：x2y−2xy2+y3 =yx2−2xy+y2 =yx−y2． 【解析】【分析】（1）此题的三项式是一个完全平方式，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提各项的公因式b，然后利用平方差公式将商式继续分解即可； （3）先提各项的公因式，然后利用完全平方公式将商式继续分解即可． （1）a2−6ab+9b2=a−3b2； （2）a2b−16b=ba2−16 =ba+4a−4； （3）x2y−2xy2+y3=yx2−2xy+y2 =yx−y2． 19．【答案】解：原式=a2-4b2+a2-4ab+4b2=2a2-4ab，当a=-1，b=14时，原式=2×(−1)2−4×(−1)×14=2+1=3. 【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开表达式，合并同类项化简后，再代入数值计算. 20．【答案】（1）解：①+②得：a2+3ab−2b2+b2−3ab=a2−b2=(a+b)(a−b)； ①+③得：a2+3ab−2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2； ②+③得：b2−3ab+ab+6b2=7b2−2ab=b(7b−2a)． （2）解：当a=2，b=−3时， ①+②=(a+b)(a−b)=−5； ①+③=(a+2b)2=16； ②+③=b(7b−2a)=75． 【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则以及平方差公式、完全平方公式、提取公因式法进行分解即可； （2）将a=2、b=-3代入（1）的结果中进行计算即可. 21．【答案】解 ： 设另一个因式为 (x+n)， 得 2x2+9x−k=(2x−1)(x+n)， 则 2x2+9x−k=2x2+(2n−1)x−n， ∴2n−1=9，−k=−n， 解得 n=5，k=5， ∴ 另一个因式为 x+5．k 的值为 5 ． 【解析】【分析】设另一个因式为 (x+n)，得2x2+9x−k=2x2+(2n−1)x−n，对比等号两边的二次三项式系数，即可得解. 22．【答案】（1）解：原式=x4+4x2y2+4y4−4x2y2=x2+2y22−2xy2=x2+2y2+2xyx2+2y2−2xy. （2）解：原式=x2−2ax+a2−a2−2ab−b2=x2−2ax+a2−a2+2ab+b2=x−a2−a+b2=x+bx−2a−b. 【解析】【分析】（1）将原式改写为x4+4x2y2+4y4−4x2y2，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）将原式改写为x2−2ax+a2−a2−2ab−b2，利用完全平方公式和平方差公式即可求解， 23．【答案】（1）解：M=3xy·(−6x2y)=−18x3y2，N=30x4y2÷(−6x2y)=−5x2y，∴正确答案为−5x2y+3xy−2y. （2）解：由（1）可知正确答案为−5x2y+3xy−2y，∴两个代数式和=−5x2y+3xy−2y+x2y+xy+y=−4x2y+4xy−y； 能因式分解，分解如下： −4x2y+4xy−y=−y (4x2−4x+1) =−y(2x−1)2. 【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则，即多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加，得M=3xy·(−6x2y)=−18x3y2，N=30x4y2÷(−6x2y)=−5x2y，再把N的值代入结果，即可求解； （2）由（1）得正确答案为−5x2y+3xy−2y，再把两代数式相加求和，整理为−4x2y+4xy−y，再将结果提取公因式y，得−y（4x2−4x+1），再利用完全平方公式彻底分解为−y（2x−1）2，即可求解. 24．【答案】（1）3（x-1）2 （2）解：① x2-xy+6x-6y =x（x-y）+6（x-y）=（x+6）（x-y）； ② m2-n2+6m+9 =m2+6m+9-n2=（m+3）2-n2=（m+n+3）（m-n+3） （3）解：∵2a2-4a+4+2ab+b2＝0，即(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)＝0 ∴（a-2）2+（a+b）2＝0， ∴a=2，b=-2， 则a-b=2-（-2）=4. 【解析】【解答】解：（1） 3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2故答案为：（1）3（x-1）2。【分析】本题主要考查因式分解的步骤，需要利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式等知识。（1）利用提公因式法，先提取公因数3，然后利用完全平方公式将x2-2x+1变为（x-1）2即可；（2）①先提取公因数x和6，将原式变为x（x-y）+6（x-y），然后进一步计算即可；②先利用完全平方公式将m2+6m+9进行变形，然后再利用平方差公式进行分解即可；（3）先将2a2拆分，原式变为(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)=0，这样可以分别利用完全平方公式进行进一步因式分解，最后求出a和b的值之后，减法计算即可。