第4章 因式分解 综合测试（试卷）2024—2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

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第4章 综合测试限时：120分钟 满分：120分一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A. (x+3)(x−3)=x2−9B. x2−9+x=(x+3)(x−3)+xC. xy2−x2y=xy(y−x)D. x2+5x+4=x(x+5)+4【答案】C2．x2−4y2= （ ）A. (x+2y)(x−2y)B. (2x+y)(2x−y)C. (x+2y)(2x−y)D. (2x+y)(x−2y)【答案】A3．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 4x2−1B. 4x2+4x−1C. x2−xy+y2D. x2−x+14【答案】D4．计算：1252−50×125+252=（ ）A. 100B. 150C. 10 000D. 22 500【答案】C5．若a−b=3,ab=1,则a3b−2a2b2+ab3的值为（ ）A. 3B. 4C. 9D. 12【答案】C6．如图①,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）,并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图②所示的长方形.这两幅图能解释下列哪个等式?（ ）A. x2−2x+1=(x−1)2B. x2−1=(x+1)(x−1)C. x2+2x+1=(x+1)2D. x2−x=x(x−1)【答案】B7．把多项式x2+ax−2分解因式，结果是(x+1)(x+b),则a,b的值为（ ）A. 3,2B. −3,2C. 1,−2D. −1,−2【答案】D8．若n为任意正整数，(n+11)2−n2的值总可以被k整除，则k等于（ ）A. 11B. 22C. 11或22D. 11的倍数【答案】A9．不论x,y为何实数，x2+y2−4x−2y+8的值总是（ ）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数【答案】A10．若多项式x2+mx+12可分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．单项式8x2y3与4x3y4的公因式是____________________.【答案】4x2y3 12．分解因式x2y+2xy2+y3=____________________.【答案】y(x+y)2 13．多项式2x2−3x+k分解因式后有一个因式是x+1,则k=________.【答案】−5 14．在对二次三项式x2+px+q进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为(x−2)(x−8),乙同学因看错了常数项而将其分解为(x+2)(x−10),则此多项式进行因式分解的正确结果是______________.【答案】(x−4)2 【解析】(x−2)(x−8)=x2−10x+16,(x+2)(x−10)=x2−8x−20,所以p=−8,q=16,由题意可知：原二次三项式为x2−8x+16,所以x2−8x+16=(x−4)2.故答案为(x−4)2.15．若一个正整数x能表示成a2−b2(a,b是正整数，且a>b)的形式，则称这个数为“平方差数”,a与b是x的一个平方差分解.例如：因为5=32−22,所以5是“平方差数”,3与2是5的平方差分解；再如：M=x2+2xy=x2+2xy+y2−y2=(x+y2)−y2(x,y是正整数),所以M也是“平方差数”,(x+y)与y是M的一个平方差分解.若N=x2−y2+6x−4y+k(x,y是正整数，是常数，且x+1>y),要使N是“平方差数”,则k=______;若m=q(q+3)(q+2)为“平方差数”,且m能被17整除，则m的平方差分解为____________________________.【答案】5； 4 879与17（答案不唯一）【解析】因为x+1>y,所以x+3>y+2.因为N是“平方差数”,所以N=x2−y2+6x−4y+9−4=(x+3)2−(y+2)2.因为N=x2−y2+6x−4y+k=(x+3)2−(y+2)2,所以k=5.因为m=q(q+3)(q+2)=(q+3)(q2+2q)=(q+3)(q+1)2−(q+3),且m是“平方差数”,所以q+3是一个完全平方数.因为m能被17整除，所以q+3=172n(n为正整数.)所以此时可令q+3=172,则有q=286（答案不唯一）.所以m=(q+3)(q+1)2−(q+3)=(17×287)2−172=4 8792−172.所以m的一个平方差分解为4 879与17.16．观察下列各式：①(2+1)×(2+3)+1=16=42;②(3+1)×(3+3)+1=25=52;③(4+1)×(4+3)+1=36=62;④(5+1)×(5+3)+1=49=72；…请写出第n个式子：____________________________________________（用含n 的式子表示）.【答案】[(n+1)+1]⋅[(n+1)+3]+1=(n+3)2 三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）分解因式：（1） a2x2−ax；（2） 16m4−8m2n2+n4；（3） a2b−16b；（4） (3m−n)2−3m+n.【答案】（1） 【解】原式=ax(ax−1).（2） 原式=(4m2−n2)2=(2m+n)2(2m−n)2.（3） 原式=b(a+4)(a−4).（4） 原式=(3m−n)(3m−n−1).18．（6分）先分解因式，再求值：（1） 5m2(x+7)−4(x+7)，其中m=−2，x=4；（2） (3a−2b)2−(3a+2b)2，其中a=12，b=16.【答案】（1） 【解】原式=(x+7)(5m2−4).当m=−2，x=4时，原式=(4+7)×[5×(−2)2−4]=176.（2） 原式=[(3a−2b)−(3a+2b)][(3a−2b)+(3a+2b)]=−24ab.当a=12，b=16时，原式=−24×12×16=−2.19．（6分）在因式分解中有一类形如x2+(p+q)x+pq的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成(x+p)(x+q).例如，x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2),具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）,这种方法称为“十字相乘法”.这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)(x+2).【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：（1） x2+5x+6；（2） −2x2−2x+12.【答案】（1） 【解】x2+5x+6=(x+2)(x+3).（2） −2x2−2x+12=−2(x2+x−6) =−2(x−2)(x+3).20．（8分）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了x米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为a,乙区的工作量平均每月减少率为a.（1） 求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管（分别用含字母a,x的代数式表示）.（2） 如果x=300,且a=5%,那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管?【答案】（1） 【解】由题意得，十月份甲区铺设了x(1+a)2米的排污管，乙区铺设了x(1−a)2米的排污管.（2） x(1+a)2−x(1−a)2=x[(1+a)2−(1−a)2] =x(1+a+1−a)(1+a−1+a) =4ax.当x=300,a=5%时，原式=4×300×5%=60.所以十月份甲区比乙区多铺60米排污管.21．（8分）利用公式法可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题.比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例：x2+4x−5=x2+4x+(42)2−(42)2−5=x2+4x+4−9=(x+2)2−9=(x+2−3)(x+2+3)=(x−1)(x+5).根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题.（1） 分解因式：x2+2x−3;（2） 求多项式x2+6x−9的最小值；（3） 已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长.【答案】（1） 【解】x2+2x−3=x2+2x+1−1−3 =x2+2x+1−4 =(x+1)2−22 =(x+1+2)(x+1−2) =(x+3)(x−1).（2） x2+6x−9=x2+6x+(62)2−(62)2−9 =(x+3)2−9−9 =(x+3)2−18.因为(x+3)2≥0,所以(x+3)2−18≥−18.所以多项式x2+6x−9的最小值为−18.（3） a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为a2−6a+b2−8b+c2−10c+50=0，所以a2−6a+9−9+b2−8b+16−16+c2−10c+25−25+50=0.所以(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0.所以a=3,b=4,c=5.所以△ABC的周长=a+b+c=12.22．（10分）小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M 和N 表示）,污染后的习题如下：(30x4y2+M+12x2y2)÷(−6x2y)=N+3xy−2y.（1） 请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案;（2） 爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解?若能，请分解因式；若不能，请说明理由.【答案】（1） 【解】M=3xy⋅(−6x2y)=−18x3y2,N=30x4y2÷(−6x2y)=−5x2y,所以原题为(30x4y2−18x3y2+12x2y2)÷(−6x2y).所以练习题的正确答案为−5x2y+3xy−2y.（2） 两个代数式的和为−5x2y+3xy−2y+(x2y+xy+y)=−4x2y+4xy−y.能因式分解,分解如下:−4x2y+4xy−y=−y(4x2−4x+1)=−y(2x−1)2.23．（10分）【活动准备】在一次数学实践活动中，某兴趣小组准备了如图①所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片A是边长为a(a>0)的较小正方形，纸片B是长为b(b>a),宽为a的长方形，纸片C是边长为b的较大正方形.【操作发现】（1） 兴趣小组选用1张纸片A,2张纸片B和1张纸片C拼成一个更大的正方形（如图②所示）,并发现该图形的面积关系能够验证一个多项式乘法公式，这个乘法公式是______________________________________;【思考求解】（2） 已知纸片A与纸片C的面积之和为169,纸片B的周长为34,求纸片B的面积；【类比探究】（3） 兴趣小组选用了m张纸片A,n张纸片B和k张纸片C拼成一个较大长方形，并运用所得图形的面积关系将多项式2a2+3ab+b2进行了因式分解.① 写出m,n,k的值；② 画出所拼成的图形并给出因式分解2a2+3ab+b2的结果.【答案】（1） 【解】(a+b)2=a2+2ab+b2（2） 由题意可得a2+b2=169,2(a+b)=34,所以a+b=17.所以(a+b)2=a2+b2+2ab=289.所以2ab=289−169.所以ab=60,即纸片B的面积为60.（3） ① 由题意可得m=2,n=3,k=1.② 拼图如图所示：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b).24．（12分）先阅读下列材料，再解答下列问题：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.（1） 因式分解：1+2(2x−y)+(2x−y)2=________________________;（2） 因式分解：(a+b)(a+b−6)+9;（3） 试说明：若n为正整数，则(n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值一定是某一个整数的平方.【答案】（1） 【解】(1+2x−y)2（2） 原式=(a+b)2−6(a+b)+9=(a+b−3)2.（3） 原式=(n2+5n+4)(n2+5n)+4=(n2+5n)2+4(n2+5n)+4.将“n2+5n”看成整体，令n2+5n=A,则原式=A2+4A+4=(A+2)2.再将“A”还原，得原式=(n2+5n+2)2.因为n为正整数，所以n2+5n+2也为正整数.所以代数式(n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值一定是某一个整数的平方.