八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念结合选项解答即可．
【详解】、不是轴对称图形，故该选项错误；
、不轴对称图形，故该选项错误；
、是轴对称图形，故该选项正确；
、不是轴对称图形，故该选项错误．
故选：．
2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答．
【详解】解：，
故选：D．
3. 下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、合并同类项时，字母及指数不变，仅系数相加，∴，A不成立，不符合题意；
B、根据积的乘方法则，，∴，B一定成立，符合题意；
C、零指数幂成立的条件是，题目未说明不为，因此等式不一定成立，C不成立，不符合题意；
D、左边，右边，仅当时，，D不一定成立，不符合题意．
4. 如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（ ）
A. 角平分线B. 的中线
C. 的高D. 边的垂直平分线
【答案】A
【解析】
【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质．
【详解】解：∵折叠后点落在边上的处，
∴与关于折痕对称，
根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即，
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，
由于，即折痕把分成了两个相等的角，
所以折痕是的角平分线．
5. 如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ）
A. 以点为圆心，长为半径的弧B. 以点为圆心，长为半径的弧
C. 以点为圆心，长为半径的弧D. 以点为圆心，长为半径的弧
【答案】C
【解析】
【详解】解：要作，需要构造同位角相等，即，
如图，点在的边上，
首先以为圆心，任意长为半径画弧，交于，交于，
然后以为圆心，长为半径画弧，交于 ，
接下来需要以为圆心，长为半径画弧，交之前的弧于，连接即可得到，
∴图中弧是以点为圆心，长为半径的弧．
6. 在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵是过点且垂直于轴的直线，
∴ 直线的解析式为，
设点关于直线对称点的坐标为，
∵对称点纵坐标与点纵坐标相等，且与对称点横坐标的中点在直线上，
∴，，
解得，，
因此对称点坐标为．
7. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式．
【详解】解：图①中，图②中，
∴．
8. 若关于x的多项式含有因式，则另一个因数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法与因式分解，掌握好待定系数法是解题关键．
由于多项式含有因式，可设另一个因式为二次多项式，通过待定系数法比较系数求解．
【详解】解：设另一个因式为，
，
由题意可知，，
对比等式两边可得，
，
解得，，
∴另一个因式为．
故选：B．
9. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可．
【详解】解：连接，过D作于G，
∵平分，交的延长线于F，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A．
10. 贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角的排列规律，下列结论正确的是（ ）
①展开式的第三项的系数是15；
②；
③展开式中含项的系数是2026；
④展开式中各项系数之和为32．
A. ②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵的展开式的第三项的系数为1，
的展开式的第三项的系数为，
展开式的第三项的系数为，
的展开式的第三项的系数为，
的展开式的第三项的系数为，
∴正确；
∵
，
∴正确；
由贾宪三角的排列规律可知从第二行开始，第行的第二项的系数是，
∵展开式中含的项是第二项，展开式在第2027行，
∴展开式中含的项的系数是，
∴正确；
∵的展开式为，
∴其中各项系数之和为，
∴正确．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是_______
【答案】##230度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
13. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。
【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：．
故答案为：．
14. 若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘，得，
展开并整理，得，
当，即时，方程无解，
∴，
当时，，
又∵分母不为零，需且，
检验增根：若方程有增根，则或，
若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是，
若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解，
因此，分式方程有解的条件为且．
15. 如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先通过在上截取构造等边，结合已知的等边和，利用等边三角形的边与角的性质，证明与全等，得到，再结合是中点的条件，推导出，从而确定和的值并计算．
【详解】解：如图，在上截取，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∵是的中点，
∴
∴，
∴
∵为定值，
∴，，
∴．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算多项式除以单项式和多项式乘以多项式，再去括号、合并同类项即可；
（2）把当作一个整体，原式可化为，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根；
（2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根．
【小问1详解】
解：
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程无解；
【小问2详解】
解：
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
18. 先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解．
【详解】解：
，
∵分式有意义，
∴，，
∴，，
∵从0，1，2，3中选取一个合适的数
∴，
∴原式．
19. 如图，在中，，
（1）在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等；
（2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求，
【小问2详解】
解：如（1）图，过点D作，
由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等，
∵，，
∴，
∵，
∴
．
20. 人工智能机器人的兴起是近年来科技领域最引人注目的成果之一，小明在长为180米的跑道上训练机器人，若机器人从起点出发匀速行走1分钟后，将速度提升到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求机器人走完全程需要多少分钟？
【答案】机器人走完全程需要分钟．
【解析】
【分析】设机器人的原速为x米/分钟，根据速度提升到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设机器人的原速为x米/分钟，
根据题意得，，
解得，，
经检验，为原方程的解，
∴（分钟），
答：机器人走完全程需要分钟．
21. 如图，是的角平分线，点E在边上，满足．
（1）求证：与互补；
（2）点F是边上一点，满足，请猜想线段与线段、线段之间的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】（1）如图1中，在上截取．只要证明，即可解决问题；
（2）如图2中，只要证明即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图1中，在上截取．
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即：与互补；
【小问2详解】
解：．
理由：由（1）得，，
，，
，
，
．
22. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，．
解决下列问题：
【理解知识】
（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）；
【掌握知识】
（2）将下列假分式化为带分式：
①；②；
【运用知识】
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）真；（2）①，②；（3）
【解析】
分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断；
（2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答；
（3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值．
【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1，
∴是真分式．
（2）①；
②．
（3）原式
，
∵的值为整数，x为整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵在化简过程中，各分母均不能为0，
∴，，，，
解得，，，，
∴在中，应舍去，
∴．
∴x的整数值为．
【点睛】注意分式有意义的条件，分母不能为0．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且实数a，b满足，点B在x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且为等边三角形．
（1）如图1，直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；
（2）如图2，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点D，求证：；
（3）如图1，若Q为y轴上一动点，求周长的最小值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质和非负数的性质进行解答即可；
（2）易证得，得出，进而得到，从而得出结论；
（3）作点关于轴的对称点F，则，连接与轴的交点即为Q，此时的周长最小，易证得在中，，进而得到，从而得出周长的最小值．
【小问1详解】
解：，
，，
解得，，
点A的坐标为，
过点A作于点H，
为等边三角形，
，
点B坐标为；
【小问2详解】
证明：和均为等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：作点关于轴的对称点F，则，连接与轴的交点即为Q，
∴，
∴，此时的周长最小，
由（1）知，，，，
，
，
，
∵，
，
在中，，
，
周长最小值为：．