八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共20页。
温馨提示：
1．请将选择题答案填涂在答题纸上，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在试卷和答题纸上．
一、选择题（每小题3分，共36分．）
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 杨辉三角B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知，
A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意，
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意，
C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意，
D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C．
2. 要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A. B.
C. 且D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：A．
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A、=2，故本选项错误；
B、=3，故本选项错误；
C、=9，故本选项错误；
D、=13，故本选项正确．
故选D．
4. 如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：假设结论不成立，则成立．
5. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍B. 不变C. 缩小2倍D. 缩小4倍
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化．
【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===，
∴ 新分式的值是原分式值的2倍．
6. 点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A （－2，－1）B. （ 2，－1）C. （ 2，1）D. （1，－2）
【答案】A
【解析】
【详解】分析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
解答：解：∵点P（-2，1），
∴点P（-2，1）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-1），
故选A．
7. 下列判断正确的是（ ）
A. 是整数，是有理数B. 是无限小数，是无理数
C. 是分数，是有理数D. 3.1415926是小数，是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案．
【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数，
∴该判断正确．
B选项，∵是分数，分数属于有理数，
∴该判断错误．
C选项，∵是无理数，
∴仍是无理数，不是有理数，
∴该判断错误．
D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数，
∴该判断错误．
故选：A．
8. 如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短，根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
，
过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短，
平分交于D，
，即线段的最小值为
故选：B
9. 在中，，用尺规作图的方法在上确定一点，使，根据作图痕迹判断，符合要求的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得AD=BD，进而即可得到答案．
【详解】∵，
又∵，
∴AD=BD，
∴点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，
故选D．
【点睛】本题主要考查尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质定理，掌握尺规作垂直平分线是解题的关键．
10. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故选：B．
11. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容：
如图，已知，，，，求的度数．（ ）
解：在和中：（已知），（已知），，
，（全等三角形的___________◇___________相等）．
，，
．
．
A. ◇代表对应边B. ※代表C. @代表D. 代表
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出各符号分别表示的对象并判断，即可解题．
【详解】解：在和中：（已知），（已知），，
，（全等三角形的对应角相等）．
，，
．
．
故可得◇代表对应角，※代表，@代表，代表．
12. 如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. CF平分
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可．
【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，
∴，，
∵，
A．若，则，
∴，
∴，故A正确；
B．若，设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，故B正确；
C．∵，，
∴，
∵，
∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等，
∴平分；故C正确；
D．在上截取，连接，
由，，不能证明，故无法证得，
∴不能确定，故D错误；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分．）
13. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得．
【答案】（或）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
添加时，，
故答案为：．
14. 比较大小：______________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 关于x的方程有增根，则增根是___________，___________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值．
【详解】解：分式方程的最简公分母为，
令分母，
解得，因此增根为，
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：，
将增根代入整式方程得：，
解得．
16. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，，与的数量关系是__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作于H，设，，则，根据垂直平分得，再根据，得，证和全等得，进而得，，再根据得，即，则，据此可得出与的数量关系．
【详解】解：过点C作于H，如图所示：
设，，则，
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
三、解答题
17. （1）解分式方程：
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后检验即可得到结果；
（2）利用二次根式的乘法法则和乘法分配律进行计算化简即可．
【详解】解：（1） ，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，时，，
所以是该分式方程的解；
（2）
．
18. 先化简，再求值：，然后从中找出一个合适整数作为的值代入求值．
【答案】；时，值是
【解析】
【分析】利用分式的运算法则对所求的式子中括号里的式子通分，式子中的除以化为乘法，对进行化简，并根据分式有意义的条件判断的取值范围，从而入合适的值进行运算即可．
【详解】解：
由原式得，，，
∴，，
∴从中找出一个合适的整数得，
当时，．
故答案是：；时，值为．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式有意义的条件的理解以及分式运算法则的掌握．
19. 我们知道等腰三角形有“三线合一”的性质即底边上的高线，___________重合．在证明这一性质定理时，老师画出了图形，并写出已知、求证，请补全内容，并写出证明过程．
（1）已知：在中，，，垂足为D，求证：___________
（2）延伸：若点E、F分别为、的中点，连接、，求证．
【答案】（1），平分；证明见详解
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据证明证明即可求解．
【小问1详解】
求证：，平分．
证明：在中，
，
,
和中，
,
,
,
平分,
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，
点E、F分别为、的中点，
,,
,
在和中，
,
,
20. 已知的平方根是，的立方根是．
（1）求m，n的值．
（2）求的算术平方根．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先求出值，然后根据算术平方根的定义求解．
【小问1详解】
解：∵的平方根是，的立方根是，
∴，，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴的算术平方根为4．
【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
21. 骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是___________，因变量是___________；
（2）东东___________时到达离家最远的地方，此时离家___________；
（3）分别求出在第1小时小时和第2小时小时东东骑自行车的速度；
（4）骑行多长时间时，东东与家相距？
【答案】（1）骑行时间；离家的距离
（2）2；30 （3）；
（4）或
【解析】
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．
（1）在坐标系中，根据横坐标代表自变量，纵坐标代表因变量，即可求解；
（2）由图象信息，即可求解；
（3）由图象信息，可求出第1小时小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可， 求第2小时小时的速度，方法类似；
（4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可．
【小问1详解】
解：由题意知自变量是：骑行时间，因变量是：离家的距离．
【小问2详解】
由图可知，东东出发后到达离家最远的地方， 此时离家．
【小问3详解】
由图可知：
第1小时小时的速度：
第2小时小时的速度：
【小问4详解】
去时：
出发至返回途中：由图可知骑行时，东东与家相距也为
所以当骑行或时，东东与家相距．
22. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
【答案】（1）100米
（2）（元）
【解析】
【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【小问1详解】
解：设原计划每天绿化道路x米，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
【小问2详解】
解：（天），（天），
（元）．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．
①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ；
ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °；
②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程．
（2）如图2，若 ，求证：．
【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）先得出结论；
①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；
②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；
（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．
【详解】（1）
①如图1，在上取一点，使，
ⅰ）是的平分线，
，
在和中，，
；
ⅱ），是的两条角平分线，
，，
在中，，
，
，
，
；
故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；

②由①知，，，
，
∵，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，在中，，，
，
，是的两条角平分线，
，，
，，
，
在的边左侧作，交的延长线于，
．
，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出，（2）作出辅助线，判断出．