专题2.3 指数运算及指数函数（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析6
【课程标准】6
【考情分析】6
【2026考向预测】6
三、知识点•逐点夯实6
知识点1、指数及指数运算6
知识点2、指数函数7
【常用结论】7
四、重点难点•分类突破8
考点1 指数运算、指数方程与指数不等式8
考点2 指数函数的图像与性质9
考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值12
考点4 指数中的“恒成立问题”15
考点5 比较大小18
考点6 指数的实际应用19
考点7 综合应用22
五、必考题型•分层训练28
A、基础保分28
B、综合提升36
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由指数函数的单调性解不等式
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、根据函数图象选择解析式
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
7．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题.
三、知识点•逐点夯实
知识1、指数及指数运算
(1)、根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)、根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)、有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；
②零指数幂；
③负整数指数幂，；
④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)、有理数指数幂的性质
①，，；
②，，；
③，，；
④，，．
知识点2、指数函数
【常用结论】
1、指数函数常用技巧
(1)、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)、指数函数与的图象关于轴对称
重点难点•分类突破
考点1 指数运算、指数方程与指数不等式
例1、（2025·河南新乡·二模）（ ）
A．16B．C．32D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】应用指数幂运算的性质化简求值.
【详解】由.
故选：A
例2、（2023·四川宜宾·一模）计算: .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】对数的概念判断与求值、指数幂的化简、求值、根式的化简求值
【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：
，
即.
故答案为：.
【对点训练1】（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】指数幂的运算、由指数（型）的单调性求参数、比较指数幂的大小
【分析】将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解.
【详解】因为，故，即，
因为，所以；
又，结合，可得，
而，
即得，即，则必有，
则，即选项A中不等式成立，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解.
【对点训练2】（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】函数对称性的应用、指数幂的化简、求值
【分析】由题意可得对任意，恒有成立，进而求解即可.
【详解】由题意知，对任意，恒有成立，
即恒成立，化简得，
故只能，又，则．
故答案为：4.
考点2 指数函数的图像与性质
例3、（2025·河南·三模）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数奇偶性的应用
【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项.
【详解】的定义域为，排除D；
因为，所以为偶函数，
图象关于y轴对称，排除C；
当时，，排除A．
故选：B.
例4、（2024·安徽蚌埠·三模）函数的图象是
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断指数型函数的图象形状
【分析】通过，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．
【详解】，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，
故选A
【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．
【对点训练3】函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断指数型函数的图象形状、求指数函数在区间内的值域、函数图像的识别
【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．
【详解】由函数，
可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；
在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，
结合所给的选项，只有B项满足条件，
故选：B．
【对点训练4】（2023·湖北武汉·二模）（多选题）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、判断指数型函数的图象形状、利用导数研究函数图象及性质
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值
例5、（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值
【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.
【详解】是由与复合而成，
在中，，，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.
对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，
则对称轴需满足，解得.
故选：A.
例6、（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求指数函数在区间内的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
【分析】由函数的单调性即可求解.
【详解】因为与在上均为减函数，
且当时，，所以，
故的值域为.
故答案为：
【对点训练5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断指数型复合函数的单调性
【分析】根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性即可得解.
【详解】令，其减区间为，
而函数为增函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
【对点训练6】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复合函数的值域
【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.
故选：A
考点4 指数中的“恒成立问题”
例7、（2024高三上·河南周口·月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数
【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），
所以．
故选：A．
例8、（2024·贵州遵义·一模）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A．(−1,2)B．(−4,3)C．(−2,1)D．(−3,4)
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题
【分析】由题意可得m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜的最小值，然后解不等式可m的范围．
【详解】∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
∴m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减，
∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2，
∴﹣1＜m＜2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．
【对点训练7】（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题、根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案.
【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点，
而不等式恒成立，
若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立；
故，则有公共零点，设为，
则，即，
故，
令，则，
，由于在上均单调递增，
故在上单调递增，
则时，；时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即的最小值为1，
故选：C
【对点训练8】（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ．
【答案】 2（答案不唯一，即可） 4
【难度】0.65
【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值
【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值.
【详解】由题意知，原函数中为最小值，
①当时，令，则，函数变为，
求导得，令，则，
i）当，即时，最小值在处，
此时，因为的最小值为，
所以有，可得；
ii）当，即时，在上单调递增，
最小值.
②当时，，最小值在处，
此时，因为的最小值为，
所以有，可得；
综上所述， .
故答案为：2（答案不唯一，即可）；4
考点5 比较大小
例9、（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小
【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果.
【详解】因为，所以，
，，
所以.
故选：D.
例10、（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案.
【详解】因为，
，，且，
故.
故选：A.
【对点训练9】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为函数是减函数，所以，
同理，函数是增函数，所以.
综上，可得.
故选：B
【对点训练10】（2025·辽宁·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.
【详解】对于，由于在单调递增，所以，
对于，由于单调递减，故.
所以.
故选：D
考点6 指数的实际应用
例11、（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化
【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可.
【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为，
根据题意可得，即，解得.
因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时.
故选：B.
例12、（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】指数函数模型的应用（1）
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故选：B．
【对点训练11】．（2024·河南郑州·二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟．
【答案】120
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、解析法表示函数、指数函数模型的应用（1）
【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间.
【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，
∴，即①，
要使物体的温度变为，则，即②，
联立①②，，解得，
故还要经过分钟．
故答案为：120．
【对点训练12】．（2024·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前 分钟进行消毒工作.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】指数函数模型的应用（1）
【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解.
【详解】由于函数的图象过点，则，可得，
故当时，，由，可得，解得，此时.
故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.
故答案为：.
考点7 综合应用
例13、（2025·北京·模拟预测）已知函数，
①当，时，恰有1个零点；
②若，则对于任意的，都有零点；
③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一；
④当时，存在的取值，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是： .
【答案】①②
【难度】0.4
【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、对数函数图象的应用
【分析】利用函数零点问题转化为方程，然后再构造两个函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合来解决问题.
【详解】对于①，当，时，由，
分别作出函数与的图象，
由图像可得两函数必有一个交点，则有唯一零点，故①正确；
对于②，若，由，
分别作出函数与的图象，当时作图可得：
此时由图像可得两函数必有一个交点，但当时又作图可得：
此时由图像可得两函数也必有一个交点，则都有零点，故②正确；
对于③，若时，由，
分别作出函数与的图象，当时作图可得：
此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，都满足有一个零点，即满足条件的的取值并不唯一，故③错误；
对于④，若时，由，
分别作出函数与的图象，当时作图可得：
此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，不满足有三个零点，
所以当时，又分别作出函数与的图象，

此时由图像可得两函数可能没有交点，或只有一个交点，或有两个交点，但一定没有三个交点，所以不满足有三个零点，故④错误，
故答案为：①②.
例14、（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】函数不等式恒成立问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、指数函数最值与不等式的综合问题
【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解.
【详解】当时，恒成立，则，
因为定义域为的函数满足，
当时，，
当时，，
则
，
因为，此时；
当时，，
则，
因为，则，则，所以，
所以，函数在上的最小值为，
所以，，即，即，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【对点训练13】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、指数函数图像应用
【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围．
【详解】的图象如图所示：
∵方程有4个不相等的实数根，
设，结合图象可知有两个不等实根，
设此关于方程的解为、，其中均不为零且．
由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，，
故不能都大于2，不能都小于等于1，
故（舍）或或（舍）．
令，其开口向上，
需满足，即，解得．
故选：D．
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
【对点训练14】．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．当时，是增函数
B．当时，的值域为
C．当时，曲线关于点对称
D．当时，，则
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】判断或证明函数的对称性、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题
【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D.
【详解】对于A：因为定义域为，
当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，故A正确；
对于B：当时，但是，故B错误；
对于C：当时，，
则，所以曲线关于点对称，故C正确；
对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到，
所以的对称中心为，且在定义域上单调递增，
所以，可得，
即，从而得到，
即恒成立，所以，解得，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立.
五、分层训练
1．（2024·安徽淮南·二模）1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bdysizeandmetablicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（ ）（参考数据：）
A．5.4倍B．5.5倍C．5.6倍D．5.7倍
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】指数幂的运算
【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决.
【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则，则.
故选：C.
2．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得.
【详解】令，则，
则，
所以函数的图象一定过点.
故选：A.
3．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、已知角或角的范围确定三角函数式的符号
【分析】由指数函数的单调性和对数函数的单调性，且，即可比较大小.
【详解】由指数函数的单调性可知，
由对数函数的单调性可知．
又，所以，即．
故选:D．
4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可.
【详解】因为，则，，
，即，
，
接下来比较和的大小关系，因为，而，
则，根据幂函数在上单调递增得，
即.
故.
故选：D.
5．（2025·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断指数函数的单调性
【分析】由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性.
【详解】由可得，又由，可得，
又由不一定可得，
反例：当时，成立，但，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求已知指数型函数的最值、根据指数函数的最值求参数
【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解.
【详解】因为函数在上是增函数，
所以，
则，所以.
故选：C.
7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小
【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】根据题意，，
所以.
故选：C
8．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据指数函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题
【分析】根据指数函数的性质，参变分离可得恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，又恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
9．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（ ）月后“进步”的是“退步”的一万倍.
A．20B．21C．22D．23
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（1）
【分析】根据题意可列出方程，求解即可，
【详解】设经过个月“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则，
即，
,
故选：D．
10．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（2）、根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④.
【详解】由图象可知，函数过点，则，即.
对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确；
对于②，若函数与的图像关于直线对称，则，
则，要使其值域为，则函数的值域要包含，
因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误；
对于③，，设，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以，故③正确；
对于④，由题意知，，，，所以，，
则，故，故④正确.
故选：A.
11．（2025高三下·湖南长沙·月考）（多选题）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】比较正弦值的大小、由指数函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以.
A：在上是增函数，故，故本关系恒成立；
B：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立；
C: 因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立.
D：由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为上的单调递增函数，由可得，故，故本关系式恒成立；
故选：ACD
12．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】3
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算
【分析】利用指数的运算法则计算即可.
【详解】由题可知
故答案为：3
13．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】，
【难度】0.65
【知识点】判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用
【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解．
【详解】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．
故答案为：，．
14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在上单调递增，需要满足，
解得，所以.
故答案为：.
15．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（1）
【分析】先求出，再利用，即可得出结论．
【详解】解：由题意，，∴，
，∴，
故答案为8．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）
A．b