专题2.4 指数与指数函数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc18943" 【题型1 指数幂的运算】 PAGEREF _Tc18943 \h 2
\l "_Tc2197" 【题型2 指数方程与指数不等式】 PAGEREF _Tc2197 \h 3
\l "_Tc29843" 【题型3 指数函数的图象与性质】 PAGEREF _Tc29843 \h 4
\l "_Tc6020" 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc6020 \h 6
\l "_Tc8035" 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc8035 \h 7
\l "_Tc1380" 【题型6 指数函数的综合问题】 PAGEREF _Tc1380 \h 9
1、指数与指数函数
【知识点1 指数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简3(−5)232的结果为（ ）
A．5B．5C．−5D．−5
【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可.
【解答过程】3(−5)232=35232=52332=523×32=5，
故选：A.
【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A．12−34=4−3B．3x+y4=x+y34
C．3−8=−2D．nm2=n2m12
【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【解答过程】对于A，12−34=33，故A错误；
对于B，3x+y4=x+y43，故B错误；
对于C，3−8=−2，故C正确；
对于D，nm2=n2m−2，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则a12+a−12等于（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【解题思路】
给a12+a−12平方后再开方求解即可.
【解答过程】(a12+a−12)2=a+1a+2=2+2=4，所以a12+a−12=2.
故选：A.
【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=（ ）
A．−132B．−112C．−12D．12
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【解答过程】(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=(−43)13+(34)14−1+[(32)3]13=−4+3−1+32=−12.
故选：C.
【题型2 指数方程与指数不等式】
【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x的方程4x−2x=2的解为 x=1 ．
【解题思路】由4x−2x=2可得出2x+12x−2=0，结合2x>0可求得x的值.
【解答过程】由4x−2x=2可得2x2−2x−2=0，即2x+12x−2=0，
因为2x>0，可得2x=2，故x=1.
所以，方程关于x的方程4x−2x=2的解为x=1.
故答案为：x=1.
【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式123x−1≤2的解集为 x|x≥0 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为3x−1≥−1求解即可.
【解答过程】原不等式可化为123x−1≤12−1
因为函数y=12x单调递减，
∴3x−1≥−1，解得x≥0．
∴不等式123x−1≤2的解集是x|x≥0．
故答案为：x|x≥0.
【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式2x>12x−x2的解集是 0,2 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为x>x2−x求解即可.
【解答过程】由2x>12x−x2，得2x>2x2−x，
因为函数y=2x单调递增，
∴x>x2−x，即x2−2x<0，解得0∴不等式2x>12x−x2的解集是0,2．
故答案为：0,2.
【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知x1和x2是方程9x−3x+2+3=0的两根，则9x1+9x2x1+x2= 75 .
【解题思路】由题知3x1+3x2=9，3x1⋅3x2=3，进而得x1+x2=1，再结合9x1+9x2=3x1+3x22−2⋅3x1⋅3x2求解即可.
【解答过程】解：方程可化为3x2−9⋅3x+3=0，由韦达定理得3x1+3x2=9，3x1⋅3x2=3，
所以3x1+x2=3，得x1+x2=1.
又9x1+9x2=3x1+3x22−2⋅3x1⋅3x2=81−6=75，
所以9x1+9x2x1+x2=75.
故答案为：75.
【题型3 指数函数的图象与性质】
【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2x2x−1+1，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数fx单调递增B．函数fx值域为0,2
C．函数fx的图象关于0,1对称D．函数fx的图象关于1,1对称
【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，f2−x与fx的关系，即可判断CD.
【解答过程】fx=2x2x−1+1=2x+2−22x−1+1=2−22x−1+1，
函数y=2−2t，t=2x−1+1，则t>1，
又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−2t在1,+∞上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx单调递增，故A正确；
因为2x−1+1>1，所以0<22x−1+1<2，则0<2−22x−1+1<2，
所以函数fx的值域为0,2，故B正确；
f2−x=22−x21−x+1=42+2x=22x−1+1，f2−x+fx=2，
所以函数fx关于点1,1对称，故C错误，D正确.
故选：C.
【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数fx=3x2−2x的一个单调递减区间为（ ）
A．−∞,0B．−1,0C．0,1D．1,+∞
【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【解答过程】令t=x2−2x，则y=3t，
由复合函数的单调性可知：
fx的单调递减区间为函数t=x2−2x的单调递减区间，
又函数t(−x)=(−x)2−2−x=t(x)，
即函数t(x)为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数t=x2−2x的单调递减区间为−∞,−1和0,1，
即fx的单调递减区间为−∞,−1和0,1．
故选：C．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1ex+a的图象关于点1,f1对称，则a=（ ）
A．1B．2C．eD．e2
【解题思路】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得a=e.
【解答过程】由对称中心性质可知函数fx满足fx+f2−x=2f1，
即1ex+a+1e2−x+a=2e+a，
整理可得e3−x+ex+1+2ae=2e2+aex+ae2−x，即ee2−x+ex−2e=aex+e2−x−2e，
解得a=e.
故选：C.
【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数fx=3−2x2+ax在区间1,4内单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,4B．4,16C．16,+∞D．16,+∞
【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【解答过程】设fu=3u，u=−2x2+ax，则fu=3u在−∞,+∞上单调递增.
因为fx=3−2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，所以函数u=−2x2+ax在区间1,4内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：a4≤1，解得a≤4.
故选：A.
【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】
【例4】（2024·云南·二模）若a=2π−2,b=6−1,c=213，则（ ）
A．b>a>cB．c>a>bC．a>b>cD．a>c>b
【解题思路】根据中间数2比较a与c，根据中间数1比较b与c.
【解答过程】因为a=2π−2>21=2，c=213<2，
所以a>c，因为b=6−1=16<1，c=213>20=1，
所以c>b，所以a>c>b.
故选：D.
【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【解答过程】因为指数函数y=0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50=1，
又由幂函数y=x1.1在0,+∞上单调增函数，所以1=11.1>0.51.1>0.41.1，
又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10=1，
综上可得：b故选：D.
【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，b∈R，a>b，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2B．2a>2bC．a2>b2D．2a>2b
【解题思路】
根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【解答过程】对于A，B，a，b∈R，a>b，则a+2>b+2,2a>2b一定成立；
对于C，取a=−1,b=−2，满足a>b，则a2当a>b>0时，a2>b2，故C中不等式不一定成立；
对于D，由a>b，由于y=2x在R上单调递增，则2a>2b成立，
故选：C.
【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的大小关系为（ ）
A．a>bB．a=bC．a【解题思路】先假设a≥b，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【解答过程】假设a≥b，则1010a≥1010b，1014a≥1014b，
由1001a+1010b=2023a得1001a+1010a≥2023a⇒(10012023)a+(10102023)a≥1，
因函数f(x)=(10012023)x+(10102023)x在R上单调递减，又f(1)=10012023+10102023=20112023<1，则f(a)≥1>f(1)，所以a<1；
由1014a+1016b=2024b得1014b+1016b≤2024b⇒(10142024)b+(10162024)b≤1，
因函数g(x)=(10142024)x+(10162024)x在R上单调递减，又g(1)=10142024+10162024=20302024>1，则g(b)≤11；
即有a<1故选：C.
【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3x−2−32−x，则满足fx+f8−3x>0的x的取值范围是（ ）
A．−∞,4B．−∞,2C．2,+∞D．−2,2
【解题思路】设gx=3x−3−x，即可判断gx为奇函数，又fx=gx−2，可得fx图象的对称中心为2,0，则fx+f4−x=0，再判断fx的单调性，不等式fx+f8−3x>0，即f8−3x>f4−x，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】设gx=3x−3−x，x∈R，则g−x=3−x−3x=−gx，所以gx为奇函数．
又fx=3x−2−32−x=3x−2−3−x−2=gx−2，
则fx的图象是由gx的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以fx图象的对称中心为2,0，所以fx+f4−x=0．
因为y=3x在R上单调递增，y=3−x在R上单调递减，
所以gx在R上单调递增，则fx在R上单调递增，
因为fx+f8−3x>0=fx+f4−x，
所以f8−3x>f4−x，所以8−3x>4−x，解得x<2，
故满足fx+f8−3x>0的x的取值范围为−∞,2．
故选：B.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知fx=2x−a+1，且fx<6在区间1,2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,1B．−1,+∞C．−1,1D．−1,2
【解题思路】fx<6在区间1,2恒成立，只需要fxmax<6即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【解答过程】由解析式易知：fx单调递增，
当x∈1,2时，fx<6恒成立，则f2=5−a≤6，得a≥−1．
故选：B．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=12x，则使得f2aA．13,+∞B．0,13C．0,1D．1,+∞
【解题思路】根据奇偶性定义判断出fx为偶函数，再根据x>0上的单调性得到参数a的取值范围.
【解答过程】由题意可知fx的定义域为R，且f−x=12−x=12x=fx，所以fx为偶函数．
当x>0时，函数f(x)=12x，fx单调递减．
若f2aa−1，解得a<−1或a>13．
又a>0，所以正实数a的取值范围是13,+∞．
故选：A．
【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数fx=2x−3−x，则不等式fx2A．−1,3B．−∞,−1∪3,+∞C．−3,1D．−∞,−3∪1,+∞
【解题思路】解法一：判断函数f(x)的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【解答过程】解法一：函数f(x)的定义域为R，函数y=2x,y=3−x分别是R上的增函数和减函数，
因此函数f(x)是R上的增函数，由fx2所以原不等式的解集是−1,3.
故选：A.
解法二：特值当x=0时，f0对A：当x∈−1,3时，x2<2x+3，因为函数f(x)是R上的增函数，所以fx2故选A．
【题型6 指数函数的综合问题】
【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=a⋅2x−2−x，且f−1=32．
(1)求a的值，并求出fx的解析式；
(2)若mfx−4x−4−x≤0在0,+∞上恒成立，求m的取值范围．
【解题思路】（1）由f−1=32，求得a=1，再结合函数的奇偶性，求得x<0时，fx=2−x−2x，进而求得函数fx的解析式；
（2）由（1），把mfx−4x−4−x≤0在0,+∞上恒成立，转化为m≤4x+4−x2x−2−x，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为fx是偶函数，所以f−1=f1=2a−12=32，解得a=1，
当x<0时，可得−x>0，可得fx=f−x=2−x−2−−x=2−x−2x，
所以函数fx的解析式为fx=2x−2−x,x≥02−x−2x,x<0.
（2）解：由（1）知，当x>0时，fx=2x−2−x>0，
因为mfx−4x−4−x≤0在0,+∞上恒成立，
即m≤4x+4−x2x−2−x=2x−2−x2+22x−2−x=2x−2−x+22x−2−x，
又因为2x−2−x+22x−2−x≥22x−2−x⋅22x−2−x=22，
当且仅当2x−2−x=22x−2−x时，即x=lg21+3−12时等号成立，
所以m≤22，即m的取值范围是−∞,22．
【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数fx=2x．
(1)当x∈0,8时，不等式fx+1≥f(x+a)2总成立，求a的取值范围；
(2)试求函数Gx=fx+1+af2x（a∈R）在x∈−∞,0的最大值Ha．
【解题思路】（1）根据函数单调性得到∀x∈0,8，gx=x2+2a−1x+a2−1≤0恒成立，结合函数开口方向，得到不等式组，求出答案；
（2）换元后得到φt=at2+2t，t∈0,1，分a=0，−1a<0，0<−1a<1和−1a≥1分类讨论，得到函数最大值，求出Ha.
【解答过程】（1）函数fx=2x在定义域R上单调递增，
不等式fx+1≥fx+a2⇔x+1≥x+a2⇔x2+2a−1x+a2−1≤0，
依题意，∀x∈0,8，gx=x2+2a−1x+a2−1≤0恒成立，
由于gx开口向上，故只需g0=a2−1≤0g8=a2+16a+55≤0，无解，
所以a的取值集合是∅．
（2）函数Gx=2x+1+a⋅22x，x∈−∞,0，
令t=2x∈0,1，φt=at2+2t，t∈0,1，
当a=0时，函数φt在0,1上单调递增，φtmax=φ1=2；
当a≠0时，φt=at2+2t=at+1a2−1a，t∈0,1，
当−1a<0，即a>0时，开口向上，函数φt在0,1上单调递增，
所以φtmax=φ1=a+2；
当0<−1a<1即a<−1时，开口向下，φtmax=φ−1a=−1a；
当−1a≥1即−1≤a<0时，开口向下，函数φt在0,1上单调递增，
φtmax=φ1=2+a．
综上Ha=−1a,a<−1a+2,a≥−1.
【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数fx=a+b3x−1a,b∈R.
(1)判断函数fx在区间0,+∞和−∞,0上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数fx在其定义域内为奇函数，求a与b的关系式；
(3)在（2）的条件下，当a=1时，不等式fx≥k⋅3−x在x∈0,+∞恒成立，求k的取值范围.
【解题思路】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论；
（2）利用奇函数定义可求得b=2a，经验证满足题意；
（3）将不等式转化成k≤3x−1+23x−1+3在x∈0,+∞恒成立，再利用基本不等式即可得出k≤22+3.
【解答过程】（1）由指数函数单调性可知y=3x−1单调递增，
对b分类讨论如下：
①当b=0时，fx为常函数；
②当b>0时，fx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递减
③当b<0时，fx在区间−∞,0上单调递增，在区间0,+∞上单调递增
（2）易知函数fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，
∵fx是奇函数，∴fx+f−x=0，
即a+b3x−1+a+b3−x−1=0⇒2a−b3x+b−2a3x−1=0，
所以b=2a，
经验证b=2a时，满足f−x=−fx，
所以a与b的关系式为b=2a.
（3）由已知得fx=1+23x−1≥k⋅3−x，
整理可得：k≤3x+2⋅3x3x−1=3x+23x−1+23x−1=3x−1+23x−1+3在x∈0,+∞恒成立，
由基本不等式可得3x−1+23x−1+3≥22+3，
当且仅当3x−12=2时，即x=lg32+1时，等号成立，
所以k≤22+3.
【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x,−10,a≠1，且f1=e，其中e是自然对数的底，e=2.71828⋯．
(1)求a的值；
(2)当x≥0时，求函数fx的解析式；
(3)若存在x2>x1≥0，满足fx2=efx1，求x1⋅fx2的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数的定义f(−1)=−f(1)即可求得a的值；
（2）根据奇函数的定义求解析式；
（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出x1,x2的关系，把x1·fx2化为x1的函数，从而得其范围.
【解答过程】（1）∵f1=e，fx是奇函数，
∴f(−1)=−a=−e，则a=e；
（2）当0当x≥1时，−x≤−1，f−x=−ex，又fx是奇函数，则fx=ex，
因为fx是定义在R上的奇函数，则f0=0，
故fx=x,0≤x<1ex,x≥1；
（3）若0≤x1若0≤x1<1≤x2，则由efx2=efx1，有ex2=ex1，而ex2≥e,ex1若1≤x1综上：x1·fx2的取值范围为0,1e∪e2,+∞.
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）3392+3=（ ）
A．13B．33C．3D．3
【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【解答过程】3392+3=33−22+3=33−4=13．
故选：A．
2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知a>0且a≠1，下列等式正确的是（ ）
A．a−2⋅a3=a−6B．a6a3=a2
C．a6+a3=a9D．a−32=1a3
【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【解答过程】A选项，a>0且a≠1，故a−2⋅a3=a−2+3=a，A错误；
B选项，a>0且a≠1，故a6a3=a6−3=a3，B错误；
C选项，a6+a3≠a9，C错误；
D选项，a>0且a≠1，故a−32=1a32=1a3，D正确.
故选：D.
3．（2023·山东·模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】解：因为a−1−a1=4，
所以a−2+a2=(a−1−a1)2+2=42+2=18.
故选：D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）

A．fx=ex−e−x3x−2B．fx=ex−e−x2−3x
C．fx=ex+e−x3x−2D．fx=2xx−1
【解题思路】利用fx在23,+∞上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用fx在1,+∞上的单调性排除D，从而判断选项.
【解答过程】对于B，当x>23时，fx=ex−e−x2−3x，ex−e−x>0，2−3x<0，则fx<0，不满足图象，故B错误;
对于C，fx=ex+e−x3x−2，定义域为−∞,−23∪−23,23∪23,+∞，而f−x=e−x+ex3x−2=fx，关于y轴对称，故C错误;
对于D,当x>1时，fx=2xx−1=2+2x−1，由反比例函数的性质可知fx在1,+∞单调递减，故D错误;
利用排除法可以得到，fx=ex−e−x3x−2在满足题意，A正确.
故选：A.
5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数fx=ax+b⋅a−xa>0,a≠1在−1,1上的最大值为83，则a=（）
A．13或3B．12或2C．3D．2
【解题思路】根据奇偶性求得b，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【解答过程】因为fx是奇函数，所以f−x=−fx，所以f−x+fx=0．
即a−x+b⋅ax+ax+b⋅a−x=0，则b+1ax+a−x=0，解得b=−1，
经检验b=−1符合题意，所以fx=ax−a−x，
当a>1时，0<1a<1，
则函数y=ax在−1,1上单调递增，y=a−x=1ax在−1,1上单调递减，
所以fx=ax−a−x在−1,1上单调递增，
所以， f(x)max=f(1)=a−a−1=83，整理得3a2−8a−3=0，
解得a=3或a=−13(舍去)，所以a=3；
当01，
则函数y=ax在−1,1上单调递减，y=a−x=1ax在−1,1上单调递增，
所以fx=ax−a−x在−1,1上单调递减，
所以，f(x)max=f(−1)=a−1−a=83，整理得3a2+8a−3=0，
解得a=13或a=−3(舍去)，所以a=13，
综上，a=13或3．
故选：A．
6．（2023·吉林·一模）已知a=0.310.1，b=0.310.2，c=0.320.1，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【解答过程】由y=0.31x单调递减可知：0.310.1>0.310.2，即a>b；
由y=x0.1单调递增可知：0.320.1>0.310.1，即c>a
所以c>a>b.
故选：D.
7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a=b=2，使得ab为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数a=(2)2，b=2，此时ab=(2)22=(2)2⋅2=(2)2=2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．(2)2是有理数B．(2)2是无理数
C．存在无理数a，b，使得ab为有理数D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数
【解题思路】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【解答过程】这段文字中，没有证明(2)2是有理数条件，也没有证明(2)2是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
故选：C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x=2对称，且函数f(x)的最小值为1，则不等式f(x)≥2023的解集为（ ）
A．{x∣0C．{x∣0≤x≤4}D．{x∣x≥4或x≤0}
【解题思路】先通过f(2−x)=f(2+x)求出a,b的关系，再根据函数f(x)的最小值为1可求出a,b，代入fx，直接解不等f(x)≥2023即可.
【解答过程】因为函数f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x=2对称，
所以f(2−x)=f(2+x)，即2023a(2−x)2+b(2−x)+1=2023a(2+x)2+b(2+x)+1恒成立，
即a(2−x)2+ b(2−x)+1=a(2+x)2+b(2+x)+1恒成立，
即(4a+b)x=0恒成立，
所以b+4a=0，即b=−4a，
所以f(x)=2023ax2−4ax+1=2023ax−22+1−4a，
又因为函数fx有最小值为1，
所以a>0且f(2)=1，即20231−4a=1，
所以1−4a=0，即a=14，
所以f(x)=202314(x−2)2，所以不等式f(x)≥2023，
即202314(x−2)2≥2023，即14(x−2)2≥1，
解得x≥4或x≤0，
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（ ）
A．nm7=n7m17B．12(−3)4=33
C．4x3+y4=(x+y)34D．39=33
【解题思路】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案.
【解答过程】对于A，nm7=n7m−7，故A错误；
对于B，12−34=1234=33，故B正确；
对于C，当x=1,y=2时，413+23=49=914=312，(x+y)34=334，
所以4x3+y3≠x+y34，故C错误；
对于D，39=91312=321312=32×13×12=313=33，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数fx=2x2x−1+1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数fx单调递增
B．函数fx值域为0,2
C．函数fx的图象关于0,1对称
D．函数fx的图象关于1,1对称
【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，f2−x与fx的关系，即可判断CD.
【解答过程】fx=2x2x−1+1=2x+2−22x−1+1=2−22x−1+1，
函数y=2−2t，t=2x−1+1，则t>1，
又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−2t在1,+∞上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx单调递增，故A正确；
因为2x−1+1>1，所以0<22x−1+1<2，则0<2−22x−1+1<2，所以函数fx的值域为0,2，故B正确；
f2−x=22−x21−x+1=42+2x=22x−1+1，f2−x+fx=2，所以函数fx关于点1,1对称，故C错误，D正确.
故选：ABD.
11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数，gx是定义域为R的奇函数，且fx+gx=2ex.函数Fx=f2x−2mfx在0,+∞上的最小值为−11，则下列结论正确的是（ ）
A．fx=ex+e−xB．gx在实数集R单调递减
C．m=3D．m=−3.3或134
【解题思路】
根据函数的奇偶性可得出关于fx,gx的方程组，即可得fx,gx的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据fx的解析式，求出Fx的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得m=3，即可判断选项C与选项D.
【解答过程】A，因为fx为偶函数，所以f−x=fx，又gx为奇函数，所以g−x=−gx，
因为fx+gx=2ex①，所以f−x+g−x=2e−x，即fx−gx=2e−x②，
由①②得：fx=ex+e−x，gx=ex−e−x，所以选项A正确；
B，因为函数y=ex,y=−e−x在R上均为增函数，
故gx=ex−e−x在R上单调递增，所以选项B错误；
C、D，因为f2x=e2x+e−2x=ex+e−x2−2，
所以Fx=ex+e−x2−2mex+e−x−2，
又fx=ex+e−x≥2exe−x=2，当ex=e−x，即x=0时等号成立，t=ex+e−x∈2,+∞，
设ℎt=t2−2mt−2=(t−m)2−m2−2t≥2，对称轴t=m，
当m>2时，函数ℎt在2,m上为减函数，在m,+∞上为增函数，
则ℎ(t)min=ℎm=−m2−2=−11，解得m=3或m=−3（舍）；
当m≤2时，ℎt在2,+∞上单调递增，ℎ(t)min=ℎ2=2−4m=−11，解得：m=134>2，不符合题意.
综上m=3，所以选项C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（2024·上海宝山·二模）将a2a（其中a>0）化为有理数指数幂的形式为 a54 .
【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【解答过程】a2a=a2⋅a12=a52=a54
故答案为：a54.
13．（2024·上海·三模）设t∈R，若在区间1,2上，关于x的不等式2x>1x+t有意义且能恒成立，则t的取值范围为 −∞,−2∪−12,+∞ ．
【解题思路】根据x+t≠0在1,2上恒成立，故t=−x∈−∞,−2∪−1,+∞，分t∈−∞,−2时，满足要求，当t∈−1,+∞时，变形为t>12x−x在1,2上恒成立，构造gx=12x−x，x∈1,2，根据函数单调性得到gx∈−74,−12，从而得到t≥−12，得到答案.
【解答过程】由题意得2x>1x+t在1,2上有意义，故x+t≠0在1,2上恒成立，
故t=−x∈−∞,−2∪−1,+∞，
当t∈−∞,−2时，x+t<0，而2x>0，满足2x>1x+t，符合题意，
当t∈−1,+∞时，x+t>0，2x>1x+t⇒t>12x−x在1,2上恒成立，
令gx=12x−x，x∈1,2，
其中gx=12x−x在x∈1,2上单调递减，
故gx=12x−x∈−74,−12，
故t≥−12，
综上，t的取值范围是−∞,−2∪−12,+∞，
故答案为：−∞,−2∪−12,+∞.
14．（2023·四川成都·模拟预测）设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，则不等式fx≥f2x−1的解集为 23,2 .
【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在x<0时的解析式，即可得到fx=ex，则不等式fx≥f2x−1，即ex≥ex−12，再根据指数函数的性质得到x≥2x−1，解得即可.
【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，
设x<0，则−x>0，所以f−x=e−x，又f−x=fx，所以fx=e−x x<0，
所以fx=ex,x≥0e−x,x<0，则fx=ex，
所以不等式fx≥f2x−1，即ex≥ex−12，即ex≥e2x−1，即x≥2x−1，
即x2≥4x−12，解得23≤x≤2，
即不等式fx≥f2x−1的解集为23,2.
故答案为：23,2.
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）计算：
(1)(−π)0+(1.5)−2×32782−10.01+92；
(2)5a−3b2÷5a2÷5b3
【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【解答过程】（1）原式=1+32−2×27823−10.1+9=1+49×32323−10+9=1+49×94−10+9
=1+1−10+9=1
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
5a−3b2÷5a2÷5b3=a−35b25÷a25÷b35=a−35⋅a−25⋅b25⋅b−35=a−1b−15.
16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：9412−−9.60−278−23+32−2；
（2）已知a12+a−12=3，求a2+a−2+1a+a−1+2的值.
【解题思路】（1）利用指数的运算法则计算即可.
（2）根据完全平方式计算即可求出.
【解答过程】解：
（1）9412−−9.60−278−23+32−2
=32−1−49+49
=12；
（2）a12+a−12=3，所以a+a−1=a12+a−122−2=7
a2+a−2+1a+a−1+2=a+a−12−1a+a−1+2=489=163.
17．（2024·上海黄浦·二模）设a∈R，函数f(x)=2x+a2x−1.
(1)求a的值，使得y=f(x)为奇函数；
(2)若f(2)=a，求满足f(x)>a的实数x的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数的性质可得f(−1)=−f(1)，代入解方程即可得出答案；
（2）由f(2)=a，可得a=2，则2x+22x−1>2，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）由fx为奇函数，可知f(−1)=−f(1)，
即−(1+2a)=−(2+a)，解得a=1，
当a=1时，f(x)=2x+12x−1,f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−f(x)对一切非零实数x恒成立，
故a=1时，y=f(x)为奇函数.
（2）由f(2)=a，可得4+a3=a，解得a=2，
所以f(x)>a⇔2x+22x−1>2⇔2x−42x−1<0 ⇔1<2x<4
解得：0a的实数x的取值范围是(0,2).
18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数f(x)=a⋅8x+2xa⋅4x（a为常数，且a≠0，a∈R）．
(1)当a=−1时，若对任意的x∈[1,2]，都有f(2x)≥mf(x)成立，求实数m的取值范围；
(2)当f(x)为偶函数时，若关于x的方程f(2x)=mf(x)有实数解，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）先化简f(x)，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定m的取值范围；
（2）先利用函数的奇偶性得到a值，利用换元思想和基本不等式确定t=2x+12x的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
【解答过程】（1）当a=−1时，f(x)=2x−12x在[1,2]上单调递增，
∴当x∈[1,2]时，f(x)=2x−12x∈[32,154]，
对任意的x∈[1,2]都有f(2x)≥mf(x)成立，转化为22x−122x≥m(2x−12x)恒成立，即m≤2x+12x对x∈[1,2]恒成立，
令t=2x∈[2,4]，则m≤ℎ(t)=t+1t恒成立，即m≤ℎ(t)min，
由对勾函数的性质知：ℎ(t)=t+1t在[2,4]上单调递增，故ℎ(t)min=ℎ(2)=52，
∴m的取值范围是(−∞,52].
（2）当f(x)为偶函数时，对xR都有f(−x)−f(x)=0，即(2−x+1a⋅2−x)−(2x+1a⋅2x)=0恒成立，即(2x−12x)(1a−1)=0恒成立，
∴1a−1=0，解得a=1，则f(x)=2x+12x，
此时，由f(2x)=mf(x)可得：22x+122x=m(2x+12x)(*)有实数解
令t=2x+12x≥22x⋅12x=2（当x=0时取等号），则22x+122x=(2x+12x)2−2=t2−2，
∴方程(*)⇔t2−2=mt，即m=t−2t在t∈[2,+∞)上有实数解，而m=t−2t在t∈[2,+∞)上单调递增，
∴m≥1.
19．（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数f(x)=1−a−1ax+1(a>0且a≠1）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数f(x)在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式f(mx2−1)+f(2−mx)>0恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数g(x)=kf(x)−3x有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）先根据奇函数满足f0=0可得a=3，再设x2>x1，证明fx2−fx1>0即可；
（2）化简可得mx2−mx+1>0恒成立，再讨论m为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；
（3）将题意转化为方程x2+1−kx+k=0有两个不相等的正根，
【解答过程】（1）证明：由函数fx为奇函数，有f0=1−a−12=0，解得a=3，
当a=3时，fx=1−23x+1，f−x=1−213x+1=1−2×3x3x+1=1−2×3x+1−23x+1=−1+23x+1= −f−x，符合函数fx为奇函数，可知a=3符合题意．
设x2>x1，有fx2−fx1=1−23x2+1−1−23x1+1
=23x1+1−23x2+1=23x2−3x13x1+13x2+1，
由x2>x1，有3x2>3x1，有fx2>fx1，故函数fx在R上单调递增；
（2）由fmx2−1+f2−mx>0⇔fmx2−1>−f2−mx
⇔fmx2−1>fmx−2
⇔mx2−1>mx−2⇔mx2−mx+1>0．
（1）当m=0时，不等式为1>0恒成立，符合题意；
（2）当m>0时，有Δ=m2−4m<0，解得0由上知实数m的取值范围为0,4；
（3）由gx=k1−23x+1−3x，方程gx=0可化为32x+1−k3x+k=0，
若函数gx有且仅有两个零点，相当于方程x2+1−kx+k=0有两个不相等的正根，
故有x1+x2=k−1>0x1x2=k>0Δ=1−k2−4k>0，即k>1k2−6k+1>0解得k>3+22．
故实数k的取值范围为3+22,+∞．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质
(2)熟练掌握指数函数的图象与性质
2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分
2023年新课标I卷：第4题，5分
2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分
指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.