第二章 第6节 指数与指数函数（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版）

这是一份第二章 第6节 指数与指数函数（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版），文件包含第6节指数与指数函数原卷版docx、第6节指数与指数函数解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。

【知识梳理】
考点1 根式的概念及性质
(1)概念:式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0,记作n0=0.
③(na)n=a(n∈N*,且n>1).
④nan=a(n为大于1的奇数).
⑤nan=|a|=a,a≥0,−a,a0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a−mn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
考点3 实数指数幂的运算性质
aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.
考点4 指数函数的概念
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
考点5 指数函数的图象与性质
【名师点拨】
1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),−1,1a.
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与01>a>b>0.
【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=2x-1是指数函数.( )
(2)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(3)2-3>2-4.( )
(4)若am0,且a≠1),则m0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,(1)错误.
(2)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.
故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(2)错误.
(4)m与n的大小关系与a的取值有关,(4)错误.
2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为12,则实数a的值为( )
A.2B.23
C.32D.12
【答案】CD
【解析】当a>1时,y=ax在[0,1]上单调递增,
此时f(1)-f(0)=a-a0=a-1=12,
解得a=32;
当0cB.a>c>b
C.c>b>aD.c>a>b
【答案】C
【解析】因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.
4.(人教A必修一P110T8改编)已知a12+a−12=3,则a+a-1= ;a2+a-2= .
【答案】7 47
【解析】由a12+a−12=3,得a+a-1+2=9,
即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,
即a2+a-2=47.
【考向核心题型】
考点一 指数幂的运算
【典例】1.化简:
(1)a43−8a13b4b23+23ab+a23÷1−23ba×3a;
(2)(0.008 1)−14-3×780−1×[81-0.25+338−13] −12-10×0.02713.
【解析】
(1)原式=a13(a−8b)4b23+2a13b13+a23÷a13−2b13a13×a13
=a13(a13−2b13)(a23+2a13b13+4b23)4b23+2a13b13+a23×a13a13−2b13×a13=a13×a13×a13=a.
(2)原式=3104−14-(3×1)-1×[3-1+32−1] −12-10×[(0.3)3]13
=310−1-13×13+23−12-10×0.3
=103-13-3=0.
【思维建模】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练】1.(多选)已知a+a-1=3,则下列选项正确的是( )
A.a2+a-2=7B.a12-a−12=±1
C.a12+a−12=±5D.a32+a−32=25
【答案】ABD
【解析】将a+a-1=3两边平方,得
(a+a-1)2=a2+2+a-2=9,
所以a2+a-2=7,故A正确;
因为(a12-a−12)2=a-2+a-1=3-2=1,a12,a−12的大小不确定,
所以a12-a−12=±1,故B正确;
因为(a12+a−12)2=a+2+a-1=3+2=5,
又因为a12>0,a−12>0,所以a12+a−12=5,故C错误;
由立方和公式,可得a32+a−32=(a12)3+(a−12)3=(a12+a−12)(a-1+a-1)=5×(3-1)=25,故D正确.
【变式训练】2.8116−14+823(−3)2-2×(6-2) -1+330+3614= .
【答案】1
【解析】8116−14+823(−3)2-2×(6-2) -1+330+3614
=324−14+43-2×6+22+1+6
=23+43-(6+2)+1+6
=1.
考点二 指数函数的图象及应用
【典例】2.(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是( )
【答案】AD
【解析】当x=1时,f(1)=a-2a=-a