专题2.4 对数运算及对数函数（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析10
【课程标准】10
【考情分析】10
【2026考向预测】10
三、知识点•逐点夯实10
知识点1、对数式的运算10
知识点2、对数函数的图像与性质11
【常用结论】12
四、重点难点•分类突破12
考点1 指、对、幂的计算与化简12
考点2 指、对、幂的实际应用14
考点3 对数函数的图像与性质17
考点4 对数型复合函数（单调性与最值）20
考点5 对数函数的综合问题22
五、必考题型•分层训练27
A、基础保分27
B、综合提升36
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·天津·高考真题）化简（ ）
A．1B．C．2D．
7．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
10．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
11．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.
三、知识点•逐点夯实
知识1、对数式的运算
(1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的 ，其中叫做对数的 ，叫做 ．
(2)、常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为 ；
③自然对数：以为底，记为 ；
(3) 、对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
知识点2、对数函数的定义及图像
(1)、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
四、重点难点•分类突破
考点1 指、对、幂的计算及化简
例1、（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（ ）
A．15B．C．D．
例2、（2025·天津·二模）化简（ ）
A．B．C．D．
例3、（2025·江西萍乡·三模）已知，则 .
【变式训练1】、（2025·江西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【变式训练2】、（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ．
【变式训练3】、（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
考点2 指、对、幂的实际应用
例4、（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
例5、（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，）
【变式训练4】、（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：）
A．75B．77C．79D．81
【变式训练5】、（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（ ）（注：结果保留3位小数，其中）
A．0.026mB．0.027mC．0.028mD．0.029m
考点3 对数函数的图像与性质
例6、（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例7、已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6】、已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（ ）

A．B．
C．D．
【变式训练7】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点4 对数型复合函数（单调性与最值）
例8、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例9、（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例10、（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【变式训练8】、（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9】、（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10】、（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
考点5 对数函数的综合问题
例11、（2024·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
例12、（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 .
例13、（2021·陕西安康·三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11】、（2024·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练12】、（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【变式训练13】、已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ．
五、分层训练
1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（ ）（）
A．年B．年C．年D．年
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·天津南开·二模）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
8．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·安徽六安·模拟预测）（多选题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·湖北孝感·三模）（多选题）已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2025·江苏·三模）（多选题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025高三·全国·专题练习）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为 .（参考数据：）
15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
16．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是
17．（2025·广西南宁·模拟预测）设函数．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
19．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．
20．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2024年新I卷，第6题,5分
判断对数函数的单调性
一般
2024年新Ⅱ卷，第8题,5分
由对数函数的单调性解不等式
较难
2023年新I卷，第10题,5分
对数的运算性质的应用
很难
2021年新Ⅱ卷，第7题,5分
比较对数式的大小
较难
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，