专题2.2 函数的基本性质的灵活应用（练习+答案）（八类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析7
【课程标准】7
【考情分析】8
【2026考向预测】8
三、知识点•逐点夯实8
知识点1、函数的单调性8
知识点2、函数的奇偶性8
知识点3、函数的对称性8
知识点4、函数的周期性9
【常用结论】9
四、重点难点•分类突破12
考点1 函数的单调性及其应用12
考点2 利用函数的单调性，求参数范围15
考点3 函数的奇偶性及其应用16
考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围19
考点5 对称性与周期性21
考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减）23
考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性26
考点8 函数性质的综合应用32
五、必考题型•分层训练35
A、基础保分35
B、综合提升45
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
7．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）、借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
（2）、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
（3）、结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．
三、知识点•逐点夯实
知识点1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
知识2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
知识3、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于 对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于 对称．
(3)若，则函数关于 对称．
(4)若，则函数关于点 对称．
知识4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数为 ，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【常用结论】
1、单调性技巧
（1）、函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（2）、记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为 ；若是减函数，则为 ；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为 ，为 ；
④若且为减函数，则函数为 ，为 ．
2、奇偶性技巧
(1)、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 .
(2)、奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于 对称；
函数是奇函数函数的图象关于 中心对称.
(3)、若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)、常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）、若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且 ；
（2）、若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且 ；
（3）、若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且 .
5、对称性技巧
（1）、若函数关于直线对称，则．
（2）、若函数关于点对称，则．
（3）、函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
四、重点难点•分类突破
考点1 函数的单调性及其应用
例1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）（多选题）下列函数中，是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1】、（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2】、（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
考点2 利用函数的单调性，求参数范围
例3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4】、（2025高三·全国·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
考点3 函数的奇偶性及其应用
例5．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练5】、（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】、（2025·云南曲靖·二模）（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围
例7．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5B．4C．D．1
例8．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【变式训练7】、（2025·湖南永州·三模）已知函数是偶函数，则 .
【变式训练8】、（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ．
考点5 对称性与周期性
例9．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ．
例10．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【变式训练9】、（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
【变式训练10】、（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数B．为周期函数且周期为12
C．D．
考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减）
例11．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
例12．（2024高三下·辽宁沈阳·月考）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11】、定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练12】、（2025·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
例13．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为为奇函数，，则（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为4
D．的图象关于点对称
例14．（2025·山东·一模）（多选题）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．B．为周期函数
C．是奇函数D．若，则
【变式训练13】、（2025·四川·一模）（多选题）已知函数满足：，且，那么（ ）
A．B．
C．D．若，则
【变式训练14】、（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 .
①为奇函数；
②对定义域内任意，都有；
③对，都有；
④.
考点8 函数性质的综合应用
例15．（2023·吉林·模拟预测）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例16．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．D．
【变式训练15】、（2023·江西新余·二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．，为奇函数
B．，在上单调递增
C．，在上单调递增
D．，有最小值1
【变式训练16】、（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
五、分层训练
1．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A．2B．C．1D．
5．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
6．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ）
A．B．C．D．
7．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为2D．是曲线的一条对称轴
8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（2023·四川资阳·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·湖南邵阳·三模）（多选题）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
12．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．4为函数的一个周期
13．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 .
14．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ．
15．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A．都有
B．函数和均不存在最小正周期
C．函数和均为偶函数
D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
17．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，第5题,5分
根据周期性与奇偶性求值
一般
2025年新Ⅱ卷，第10题,6分
函数奇偶性的应用
函数极值与不等式
较难
2024年新I卷，第6题,5分
根据分段函数的单调性求参数
一般
2024年新I卷，第8题,5分
求函数值
抽象函数的关系
一般
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
一般
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
函数对称性的应用
较难
2023年新I卷，第4题,5分
复合函数的单调性
一般
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称