专题2.6 函数与方程（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析13
【课程标准】13
【考情分析】13
【2026考向预测】13
三、知识点•逐点夯实13
知识点一、函数的零点13
知识点二、方程的根和函数零点的关系13
知识点三、零点存在性定理14
知识点四、二分法14
知识点五、二分法求函数零点近似值的步骤14
四、重点难点•分类突破14
考点1 求函数的零点或零点所在区间14
考点2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题16
考点3 利用函数的零点求参数的取值范围20
考点4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题23
考点5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题28
考点6 唯一零点问题32
考点7 分段函数的零点问题36
考点8 等高线问题39
五、必考题型•分层训练43
A、基础保分43
B、综合提升55
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
9．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）、理解函数的零点与方程的解的联系.
（2）、理解函数零点存在定理，并能简单应用.
（3）、了解用二分法求方程的近似解．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．
三、知识点•逐点夯实
考点一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
考点二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
考点三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
考点四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
考点五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【常用结论】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
四、重点难点•分类突破
考点一 求函数的零点或零点所在区间（二分法）
例1．（2025·陕西·一模）函数的零点所在的大致区间的（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（ ）
A．1B．0C．eD．
【变式训练1】（2015·辽宁朝阳·一模） 方程的解所在的区间为
A．B．C．D．
【变式训练2】函数的零点为（ ）
A．B．2C．D．
考点二 求方程根的个数与函数零点的存在性问题
例3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
例4．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式训练4】．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知函数和的零点分别为，则 .
【变式训练5】（2025·安徽·三模）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点三 利用函数的零点求参数的取值范围
例6．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024高三上·天津和平·月考）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ．
【变式训练6】．函数在上存在零点，则整数t的值为 ．
【变式训练7】．（2024·河南·二模）已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为 ．
考点四 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
例8．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 .
例9．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 .
【变式训练8】．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9】．（2024·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点五 嵌套函数（与二次函数的嵌套）的零点问题
例10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
例11．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2B．3C．4D．5
【变式训练10】．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11】．（2025·湖南长沙·二模）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．2是的极大值点B．函数无零点
C．a的取值范围是D．，，使
考点六 唯一零点问题
例12．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例13．（24-25高三上·海南海口·月考）已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【变式训练12】．已知是定义在上周期为2的函数，当时，.若关于x的函数有唯一零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练13】．已知函数有唯一零点，则 ，的解集为 ．
考点七 分段函数的零点问题
例14．（2025高三下·内蒙·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练14】．已知函数若方程恰有5个实数根，则k的取值范围是 .
【变式训练15】．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ．
考点八 等高线问题
例16．（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2024·全国·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练16】．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ．
【变式训练17】．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
五、分层训练
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2B．C．-2D．2或-1
3．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
4．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（ ）
(参考数据：，，)
A．2.4B．2.5C．2.6D．2.56
5．已知函数，若，则方程在的根的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2025·全国·模拟预测）已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
7．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．在区间上有个零点D．的值域为
8．（多选题）已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．，的值域为
C．当时，有2个不相等的实数根，则
D．若在上单调递减，则的取值范围为
9．（多选题）函数与函数图象有且仅有一个交点，则实数可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．3
10．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 .
11．（2025·上海·三模）函数的零点个数为
12．（2024高三·全国·月考）函数的零点个数为 ．
13．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
14．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为
15．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是
16．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ．
17．若函数有唯一零点，则实数的值 .
18．（2024·山东泰安·三模）已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是 ．
19．（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
21．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2025·江苏扬州·三模）（多选题）著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C过点
B．曲线C关于对称
C．若，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3
D．若，曲线C上任一点均满足
23．（2023·北京海淀·三模）已知，给出以下命题：
①当时，存在，有两个不同的零点
②当时，存在，有三个不同的零点
③当时，对任意的，的图象关于直线对称
④当时，对任意的，有且只有两个零点
其中所有正确的命题序号是 .
24．（2025·湖北襄阳·模拟预测）设函数的零点为，若表示不超过的最大整数，则称为函数的“和谐整点”.现已知函数的“和谐整点”为，若，为的前项和，则 .
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年天津卷，第7题,5分
求零点所在区间
一般
2024年新I卷，第7题,5分
求函数零点或方程根的个数
一般
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
一般
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分
求函数零点或方程根的个数
较难
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
判断零点所在的区间
较难
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
较难
2024年新I卷，第7题,5分
求函数零点或方程根的个数
一般