专题04 二次根式【七大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子eq \r(a)（a≥0）叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含分数；分母不含根式；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）eq \r(a)（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是eq \r(a)≥0．
（2）（eq \r(a)）2＝a（a≥0）．
（3）a2=|a|={ a (a≥0) −a (a−2C．x≤−2D．x≥−2
【答案】B
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵y=32x+4，
∴2x+4>0，解得：x>−2．
故选：B．
【变式2】若3x+2+1x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥−23且x≠1
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：3x+2≥0，且x−1≠0，
解得：x≥−23且x≠1，
故答案为：x≥−23且x≠1．
【变式3】若60m是正整数，则整数m可取的最小值为 ．
【答案】15
【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式的性质，整理60m=215m，再结合“60m是正整数”以及“m是整数”，进行作答．
【详解】解：依题意，得60m=215m，
∵60m是正整数，且m是整数，
∴整数m可取的最小值为15，
故答案为：15．
【变式4】（1）当a为 时，2a+1＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时，4−(a+2)2的值最大，为 ．
【答案】 −12 1 −2 2
【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查二次根式的性质：
（1）根据2a+1≥0即可求出a的值，以及所求式子的最小值；
（2）根据a+22≥0即可求出a的值，以及所求式子的最大值．
【详解】解：（1）∵2a+1≥0，
∴2a+1+1≥1，
∴2a+1+1的最小值为1，
此时2a+1=0，解得a=−12．
所以，当a=−12时，2a+1+1的值最小，为1．
故答案为：−12；1；
（2）∵a+22≥0，
∴4−a+22≤2，
∴4−a+22的最大值为2．
此时a+22=0，解得a=−2．
所以，当a=−2时，4−a+22的值最大，为2．
故答案为：−2，2
【变式5】已知关于x的方程m+x−2=4有实数解，那么m的取值范围是 ．
【答案】m≤4/4≥m
【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵m+x−2=4
∴x−2=4−m
∴4−m≥0
∴m≤4
故答案为：m≤4
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
【变式6】下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．6B．52C．5D．25
【答案】A
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如aa≥0的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、6是二次根式，A符合题意；
B、52=25，不是二次根式，B不符合题意；
C、5不是二次根式，C不符合题意；
D、25不是二次根式，D不符合题意．
故选：A．
【变式7】若 31×53×75×⋯×2n+12n−1=11，则n的值为（ ）
A．40B．50C．60D．70
【答案】C
【知识点】求二次根式中的参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键．
先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：31×53×75×⋯×2n+12n−1=2n+1，
∵ 31×53×75×⋯×2n+12n−1=11，
∴2n+1=11，即2n+1=121，解得n=60，
故选：C．
考点2：二次根式的性质
典例2：将x−111−x根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A．1−xB．−1−xC．x−1D．−x−1
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出1−x>0．根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵11−x>0，
∴1−x>0，
∴x−111−x
=−1−x11−x
=−1−x211−x
=−1−x21−x
=−1−x；
故选：B．
【变式1】化简：12a2(a>0)= ．
【答案】23a
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握a2=a是解题的关键，根据a2=a进行化简即可．
【详解】解：12a2=4×3a2=23a，
由于a>0，
∴12a2(a>0)=23a，
故答案为：23a．
【变式2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:a2−b2+a−b2的结果是 ．
【答案】−2a
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出b>0,a−b