2026届山东省济南市中考模拟数学自编卷含答案（三）

这是一份2026届山东省济南市中考模拟数学自编卷含答案（三），文件包含2026届山东省济南市中考数学自编模拟卷-原卷版docx、2026届山东省济南市中考数学自编模拟卷-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1． 如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看底层是三个正方形，上层是左边一个正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图的定义是解决此题的关键．
2．2025年中央下达安徽省水利专项资金亿元．将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
将“亿”转换为数字形式，再根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：亿．
故选：B．
3．已知，则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正误即可．
【详解】解：A、若，则，故本选项正确，符合题意；
B、若，则，故本选项错误，不符合题意；
C、若，则，故本选项错误，不符合题意；
D、若，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，对四个式子逐一计算，再作判断．
【详解】解：中没有同类项，不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
5．如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值．
【详解】解：由图得，，，
，
是等边三角形，
，，
设菱形的边长为1，
则，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，，
，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
6．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：列表如下：
共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种，
∴，
故选B．
7．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为180°−360°n，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴∠A=90°，∠B=180°−360°6=120°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∠1=α，∠2=β，
∴∠1+∠2=360°−90°−120°=150°，
∴α+β=∠1+∠2=150°，
故选：B．
8．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
9．如图，在和中，，，点M为中点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，延长至，使，连接，证明，可得，，证明，，可得，，证明，，可得，再进一步利用中位线的性质求解即可.
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵，而，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，，
∴为的中位线，
∴；
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
10．定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离．有下列结论：①是以为圆心，半径为1的圆，则在y轴上到的距离为1的点有2个；②若点B到函数图象的距离为1，则所有符合要求的点B都在函数或的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到函数图象的距离的最小值为；④已知，点D到函数的图象距离的最小值为，则a的值为或．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到图形的距离的这一定义的理解，涉及点到圆的距离的定义及计算，两一次函数图象间的距离，一次函数图像上的点与二次函数图像的距离的定义，理解定义，数形结合是正确解答此题的关键．
根据点到图形的距离的这一定义的理解，可得在y轴上到的距离为1的点有；共3个点；可判断①；求得点B到函数图象的距离为1时，直线为，直线为，可判断②错误；结合图像，求得点C在函数的图象上，点C到函数图象的距离的最小距离为，可得③正确；分抛物线开口向上、向下两种情况分别求解即可判断④，本题得解．
【详解】解：①是以为圆心，半径为1的圆，
与轴的两个交点坐标分别为，，
在y轴上到的距离为1的点有；
共3个点；错误；
②B到函数图象的距离为1，如图所示：
当时，，
，
当时，，
，
，
，
与轴的相交形成角，
同理可得，
，
，
且为等腰直角三角形，，
，
， ，
直线为，直线为，错误；
③利用对称性和几何性质，如图所示，两个反比例函数的图象与直线相交于点，，此时最小；
解方程，得（取正），
，
解方程，
得 （取负），
，
，
最小距离为，正确；
④函数，
其图象的对称轴为．
点，
设，，
由得，
则，
所以点D在直线上．
设直线上一点到抛物线的最小距离为，
如图所示：

直线为，直线为，且，
对于直线，
当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
，
将代入，
，
，
，
当时，抛物线开口向下，
联立与，
得 ，
即，
因为相切，所以，
整理得，
解得或，
当时，抛物线开口向上，如图所示：
直线到抛物线的最小距离为0．
综上所述，点D到函数的图象距离的最小值为时，
a的值为或．
结论④不正确．
综上，正确结论的个数是1个．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。
11．已知，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．
将化为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
12．一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了概率公式的运用，准确计算是解题的关键．
用白球的个数除以总个数即可得解．
【详解】共有9个球在盒子中，其中4个白球，
从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是；
故答案是．
13．如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______．
【答案】30
【分析】先根据角平分线的定义求得，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
14．已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地 _____．
【答案】15
【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解决实际问题，关键在于理解题意，明白追击问题中追上就是路程相等，再利用待定系数法求出函数表达式，最后进行求解．
根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出，，，再根据追上时路程相等，求出答案．
【详解】解：设，将代入表达式，得：
，解得：，
则，
当时，求得，
设，
将，，代入表达式，得：，
得：，
∴，
∴，，
∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时，
∴当时，设，
将，代入表达式，得到：，
得：，
∴，
则当时，，
解得：，
∴，
∴当乙再次追上甲时距离A地
所以乙再次追上甲时距离地．
故答案为：15．
15．如图， 在正方形中， 对角线相交于点O， 过点O作射线、分别交边于点E、F， 且，连结． 给出下面四个结论：；；四边形的面积为正方形面积的 ；； ． 上述结论中，所有正确的序号是_________．
【答案】
【分析】由正方形的性质得，再由可得，从而得，即可判断①；当 时，有，否则，故可判断②；由得，从而易得四边形的面积为正方形面积的 ，即可判断③；由得，结合得，即可判断④；易得，在中，由勾股定理可得，即可判断⑤，最后确定答案．
【详解】解：在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即①正确；
当 时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，故②错误；
∵，
∴，
∴四边形的面积
，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即④正确；
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴
故⑤错误，
综上，正确的有①③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．计算：．
【答案】2
【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
17．解不等式组：，并写出它的所有的正整数解．
【答案】，不等式组的正整数解为1，2，3，4
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法．
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是，
不等式组的正整数解为1，2，3，4．
18．如图所示，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
连接，交于点O，由平行四边形的对角线互相平分可得，结合还可推出，由以上分析可知四边形的两组对角线互相平分，再结合平行四边形的判定定理证得结论．
【详解】证明：连接，交于点O，如图．
∵四边形是平行四边形，
∴（平行四边形的对角线互相平分）．
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
19．如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．）
(1)求坝面的长度；
(2)求坡脚向前推进的距离的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，勾股定理，列一元一次方程解几何图形，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握三角函数比解直角三角形．
（1）过点作交于，作交于，得出四边形为矩形，分别利用三角函数比表示出和，根据线段的和差列出方程求解即可；
（2）利用勾股定理分别求出和，利用面积相等列出方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点分别作交于，作交于，
，
又 在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
∵，
∴．
解得 ；
（2）解：由（1）可知，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
同理，由勾股定理得，，
由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，
， ，
解得 ，
．
20．已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接、．若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）根据证明，则，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：为的切线，是半径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
同理得：，
，
中，，
设，则，
由勾股定理得：，
（负值舍），
．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．某校对七、八、九年级的学生进行体育综合素质测评，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等次．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取160名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图表如下：
各年级学生成绩统计表
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为_______，b的值为_______；
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为_______；
(3)若该校三个年级共有1600名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩优秀的人数；
(4)若该校已选定优秀代表甲、乙两位同学去参加区里面开展的跳绳、跑步、引体向上、掷实心球四项体育活动比赛，每人任选一项参加，请直接写出甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的概率．
【答案】(1)10；22
(2)144
(3)470人
(4)
【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，树状图法或列表法求解概率，用样本估计整体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键．
（1）根据扇形统计图可求出七年级和九年级的人数，再根据各个年级各个等次的频数即可求出a、b的值；
（2）用360度乘以八年级的人数占比即可得到答案；
（3）用1600乘以样本中三个年级优秀人数的占比和即可得到答案；
（4）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：，
∴在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为；
（3）解：人，
∴估计该校学生体育成绩优秀的人数为470人；
（4）解：设分别用A、B、C、D表示跳绳、跑步、引体向上、掷实心球四项体育活动比赛，列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的结果数有4种，
∴甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的概率为．
22．郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多元，用元购进足球和元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为元，每个排球售价定为元．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过元的资金购进足球和排球共个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？
【答案】(1)每个足球的进价分别是元，每个排球的进价分别是元
(2)该商店有种进货方案
【详解】（1）解：（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，
根据题意得：
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
∴x+40=60+40=100（元），
答：每个足球的进价分别是100元，每个排球的进价分别是60元；
（2）解：设商店购买足球个，则购买排球个，
根据题意得：，
解得：，
是正整数，
的取值为，，，，，，
该商店有种进货方案．
23．综合应用
如图，反比例函数的图象过点和两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点．
①若，求点的坐标和直线的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点的坐标为，；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点和两点代入，即可求解；
（2）设直线的解析式为，将点代入可求解析式，①设点的坐标为，过点作轴，与交于点，可得，由三角形的面积得，求得点的坐标为，由两条平行直线相等可设直线的解析式为，从而可求解析式；②在直线中，可求得点，，设点的坐标为，（ⅰ）当时，，由相似的性质得，即可求解；（ⅱ）当时，，由相似的性质得，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和两点，
，
解得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：由（1）知，点的坐标为，设直线的解析式为，
则，
．
直线的解析式为．
①设点的坐标为，如图1，过点作轴，与交于点．
则点的坐标为，
，
，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
直线，
设直线的解析式为．
把点代入直线中，
得，
解得，
直线的解析式为．
②在直线中，
令，得，
令，得，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，
由题意可知，，
（ⅰ）如图2，当时，．
，，，
，
即，
，
点的坐标为．
（ⅱ）如图3，当时，．
，
即，
，
．
点的坐标为；
综上所述，在轴上存在一点的坐标为或，使以C，E，P为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定及性质，掌握解法及性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键．
24．如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
求四边形的面积；
(2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、．
当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标．
如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点横坐标；为定值，定值为
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积；
（2）①设点D的坐标为（），根据两点间的距离公式得到，，，分三种情况讨论：若，若，
若，根据勾股定理构造方程求解即可；
②设，结合一次函数图象的性质分析求解
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，
∴，解得
∴该抛物线的函数表达式为：；
②∵，
∴顶点，
∵，，
∴，且∥x轴，
∵，
∴；
（2）解：①∵点P在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点，
∴设点D的坐标为（），
∵，，
∴，
，
，
当是直角三角形时，
若，则，
∴，
整理得，
解得或（均不合题意，舍去）；
若，则，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去）或；
当时，，与点Q重合，不合题意，舍去；
若，则，
∴，
整理得，
因式分解，得
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或，
∵当时，，
∴不合题意，舍去
∵当时，，
∴D点横坐标为，
综上可知：D点横坐标．
②设，
由A、D的坐标得，直线的表达式为：，
当时，；
由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则是为定值，定值为8．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
25．（1）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，．
【初步感知】
（1）如图1，若，在纸片绕点旋转过程中，直线与分别交于点，点，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，在纸片绕点旋转过程中，若，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）2 （3）16或64或48 或．
【分析】（1）证明即可．
（2）根据平行线证明，利用勾股定理解答即可．
（3）根据旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解方程，分类的思想解答即可．
本题考查了旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质，得，
∵
∴．
∴．
（2）解：根据题意，得，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当，且点D在上时，是直角三角形，
根据题意，得，，
此时；
当，且点D在的延长线上时，是直角三角形，
根据题意，得，，
此时；
当时，是直角三角形，
过点A作于点Q，
则四边形是矩形，
故，，
由，
，
故，
此时；
当时，是直角三角形，
过点A作于点M，设的交点为N，
由，
，
故，
∵，，
∴，
∴
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，
故，
∴，
∴，
此时．
综上所述，的面积为16或64或48 或．，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
优秀
良好
合格
不合格
七年级
10
a
12
8
八年级
15
15
24
10
九年级
b
17
13
4
甲乙