2025年山东省济南市长清区中考模拟数学自编卷含答案

这是一份2025年山东省济南市长清区中考模拟数学自编卷含答案，共27页。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在实数、3、0、中，最小的数是（ ）
A．B．3C．0D．
2．[教材习题9变式]从正面、左面、上面观察一个由大小相同的小立方块构成的几何体依次得到以下的形状图，那么构成这个几何体的小立方块有（ ）

A．4个B．5个C．6个D．7个
3．2025年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力，数字7600用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ ）

A．2B．3C．4D．5
5．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）

A．B．C．D．
7．已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．D．
8．若，则m2−n2的值是（ ）
A．4B．0C．−4D．-8
9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．5
10．如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（ ）

A．1B．2C．D．
第II卷（非选择题共110分）
注意事项：
1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
12．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
13．如图，将一个长方形ABCD沿着AE折叠使点D落在BC边上的点F处．如果∠EFC＝50°，则∠DAE的度数是 ．
14．某汽车的油缸能盛油100升，汽车每行驶50千耗油6升，加满油后，油缸中的剩油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式是 ．
15．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
16．计算：．
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解.
18．如图，在中，，，，分别是，，，上的点，且，，且和的延长线相交于点M．求证：．
19．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下：如图，两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内．测得，，米，请帮助该小组根据测量数据，求斜拉索顶端点到的距离．（参考数据：，，，，，．）
20．中国是世界上机械发展最早的国家之一，如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包镶式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性．如图2是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，．

(1)求证：．
(2)图2，若测得，，求车轮的半径长．
21．北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极组织了志愿者选拔测试活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，90，91，93．
b．乙校20名志愿者的成绩是：80，81，85，87，88，89，89，91，92，93，93，94，96，96，96，96，97，98，99，100．
c．甲校扇形统计图如下：
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)由上表填空： ， ．
(2)∠ °．
(3)若甲校有100名志愿者，乙校有200名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在95分及其以上的志愿者有多少？
22．泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
23．在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，EF．
（1）若tan∠BOF=，求F点的坐标；
（2）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由．
24．【操作】
将一副三角板如图1放置，固定含角的三角板，并过直角顶点作，垂足为，，将另一个三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与重合．将直角三角板绕点顺时针旋转，如图2，在旋转过程中，三角板的直角边、始终与、相交，分别交于点、．在活动中三个数学兴趣小组分别提出了以下问题：
【发现】用数学的眼光观察
（1）“卓越”小组提出问题：当旋转角_____时，四边形为矩形，则_____．
【探索】用数学的思维思考
（2）“启梦”小组提出问题：在旋转过程中的值是否发生变化．如不变，请求比值．
【应用】用数学的语言表达
（3）“博越”小组提出问题：连接，在上述旋转过程中，设，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最值．
25．【问题探究】
如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE交于点F，试猜想BD与CE的大小关系及位置关系，并说明理由；
【拓展应用】
（1）在【问题探究】的条件下，连接DE，若AE=5，AD=3，则=______；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝，BC＝3，则CD长为_______；
（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为_______．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
36.6
乙
92
93
b
30.9
品牌
A
B
进货（元/袋）
x
销售（元/袋）
80
100
《2025年初中数学山东省济南市长清区一模平行卷》参考答案
1．A
【分析】根据数的大小比较方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小的数是：，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2．B
【分析】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可．
【详解】解：由从上面看到的图形得最底层有4个正方体，从左面和正面看到的图形得第二层有1个正方体，
那么共有（个）正方体．
故选：B．
3．B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
4．B
【分析】根据△ABE≌△ACF，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE即可求得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，
∴AB＝AC＝5，
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．C
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，，，，
∴甲、乙两人相对而坐的概率为，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，满足题意；
当时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：．
综上可知，．
故选C．
8．B
【分析】根据分式的加减运算法则通分，进而得出关于m，n的等式，因式分解m2−n2，整体代入进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则4x=（m-n）x-2（m+n），
故m-n=4，m+n=0，
解得：m=2，n=-2．
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算及因式分解和整体计算，正确得出关于m，n等式是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可．
【详解】解：由作图可得，平分，
，
，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
故选：C．
10．C
【分析】证明，，求出，然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
由作图可知垂直平分线段，∴，又，
∴，，
∴，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．40°
【分析】根据题意可知,小林每次走的角度为α,即走的是正多边形,可根据已知条件求出边数,然后再利用外角和等于360°,除以边数即可求出α的值．
【详解】解：设边数为n,根据题意,
n=72÷8=9,
则α=360°÷9=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于360°,根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．
12．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
13．20°/20度
【分析】根据折叠可以得到∠ADE=∠AFE=90°，又∠EFC=50°，由此可以求出∠AFB，接着利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°，
又∵长方形ABCD沿着AE折叠使点D落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠AFE=90°，
又∵∠EFC=50°，
∴∠AFB=40°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB=40°，
根据折叠知道：∠DAE=∠FAE=∠DAF=20°．
故答案为：20°．
【点睛】此题主要考查了折叠问题，同时也利用了平行线的性质，有一定的综合性，同时也注意利用折叠得到的隐含条件解决问题．
14．y=﹣x+100
【详解】试题解析：由汽车每行驶50千耗油6升，得
单位耗油量6÷50=，
油缸中的剩油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式是y=﹣x+100．
考点：函数关系式．
15．
【分析】先证明，得到，再由，设，则，，从而推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，，
设，
∴由勾股定理得，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，求正切值，证明，得到是解题的关键．
16．5-
【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
【详解】解：
=1+4-2×
=5-．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则．
17．.
【分析】分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出整数解即可.
【详解】解：由原不等式组，得，
即，
所以不等式组的解集是：；
∵为整数，
∴.
【点睛】此题主要考查不等式组的解法，解题的关键是熟知不等式的性质进行求解.
18．详见解析
【分析】本题 考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
由平行四边形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，．
，
．
即．
在和中，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
．
．
19．斜拉索顶端点到的距离为72米
【分析】过点作于点，设米．在中，利用已知三角函数表示出AD，在中，利用已知三角函数表示出BD，根据，可求得x，即为斜拉索顶端点到的距离．
【详解】如图，过点作于点，设米．
在中，，，
∴．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
解得．
斜拉索顶端点到的距离为72米．
故答案为：斜拉索顶端点到的距离为72米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，在直角三角形中利用锐角三角函数求边长．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，切线的性质和圆周角定理证得，再证明，通过角的和差即可求出．
（2）等边对等角，同角的余角相等，推出，得到，证明，得到，求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示．

∵是的切线，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键．
21．(1)92，96
(2)90
(3)125人
【分析】（1）根据中位数、众数的意义分别求出a、b的值；
（2）先求出甲校C组人数，然后用C组人数所占的百分比乘以即可解答；
（3）先求出成绩在95分及其以上的志愿者的百分比，然后运用样本估计整体即可解答．
【详解】（1）解：甲校在E组人数为： (人)，则第10、11个数据分别为91、93，
则， 故
乙校：96出现4次最多，则96，
故答案为：92，96
（2）解：甲校C组：（人），则，
故答案为： 90；
（3）解：乙校成绩在95分及其以上的志愿者共8人，
根据题意得： （人），
答：成绩在95分及其以上的志愿者有125人．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体等知识点，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22．(1)60
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用；
（1）根据用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可；
（2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出m范围，设总利润为w元，根据总利润=A的单件利润×数量+B的单件利润×数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为60．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元．
23．（1）. F（6，）；（2）当k=12时，S最大为6；（3）F（6，）.
【分析】（1）由tan∠BOF的值求出线段BF的长度，进而得出点F的坐标；（2）设B（6，），分别表示出AE、CE、BF、CF的长度，进而表示出△OEF与△ECF的面积，最后表示出S即可；（3）分类讨论，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可；
【详解】（1）tan∠BOF==，
∴BF=，
∴F（6，）；
（2）设B（6，），
令y=4，x=，
∴E（，4），
∴AE=，CE=6﹣，BF=，CF=4﹣，
∴S△OEF=4×6﹣﹣﹣×（6﹣）×（4﹣）=﹣k2﹣2k+12，
S△ECF=×（6﹣）×（4﹣）=k2﹣k+12，
∴S△OEF﹣S△ECF=﹣（k﹣12）2+6.
当k=12时，S最大为6；
（3）①当∠OEF=90°时，
∠AEO+∠CEF=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AEO=∠CFE，
∵∠EAO=∠C=90°，
∴△EAO∽△FCE，
∴=，即=，
解得k=24或，
∴F（4，6）（舍去）或（6，），
∴F（6，）；
②当∠EFO=90°时，
同理可证△ECF∽△FBO，
∴=，即=，
解得k=54或24，
∴F（4，6）或（6，9），都不符合题意，
∴F（6，）.
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质、二次函数求最值、割补法求三角形的面积以及相似三角形的判定与性质.
24．（1），；（2）不变，；（3），最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）根据矩形的性质可得，旋转角；在中，根据锐角三角函数解答即可；
（2）根据，可得到，可证明，可得，即可求解；
（3）由（2）得，在中，，从而得到，然后三角形的面积公式可得到y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角；
在中，，
，
即
故答案为：； ；
（2）解：不变，
如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
；
（3）如图，
，
由（2）得，
，
在中，，
∴，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
25．[问题探究]：BD＝CE，BDCE，理由见详解；[拓展应用]：（1）68；（2）；（3）6
【分析】[问题探究]首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明BD＝CE．再由直角三角形中两锐角和等于90度，结合∠AEF=∠ABD通过等量代换得出BDCE．
[拓展应用]（1）图中一共有6个直角三角形，多次通过勾股定理找出两直角边的平方和等于斜边的平方．通过等量代换得出BC2+DE2=BE2+CD2=AE2+AB2+AC2+AD2，把AE=5，AD=3代入计算即可．
（2）构造如[问题探究]的图形，得出CD=BE，再在Rt△BCE中求出BE即可．
（3）如图，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作点D关于直线l的对称点D′，连接BD′先证，再通过等量代换得AC+CP的最小值为，然后通过勾股定理求出的值即可．
【详解】[问题探究]解：结论：BD＝CE，BDCE
理由如下：如图1中，
∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴（SAS），
∴BD=CE．∠AEF=∠ABD
∵∠BAE＝90°
∴∠AEF+∠BEF+∠ABE=90°
∴∠BEF+∠ABD+∠ABE=90°
即∠BEF+∠FBE=90°
∴∠BFE=90°
∴BDCE
∴BD与CE的大小关系及位置关为：BD＝CE，BDCE．
[拓展应用]（1）解：如图，连接DE，由[问题探究]知，BD＝CE，BDCE
∴在RtBCF中，BF2+CF2=BC2，
在RtDEF中，EF2+DF2=DE2
∴BF2+CF2+EF2+DF2=BC2+DE2
∵在RtBEF中，BF2+EF2+=BE2
在RtCDF中，CF2+DF2=CD2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2
在RtABE中，AE=AB=5，
∴BE2=AE2+AB2=52+52=50，
在RtCAD中，AC=AD=3，
∴CD2=AC2+AD2=32+32=18
∴BC2+DE2=BE2+CD2
=50+18
=68．
故答案为：68．
（2）如图，在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE=90°，AC=AE，连接BE．
∵∠ACB=45°，∠ACE=45°
∴∠BCE=90°
∵AC=，
∴AE=，EC=2，
在Rt△BCE中，BE===．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AB=AD，AE=AC，
∴（SAS），
∴BE=CD，
∴CD=．
故答案为：．
（3）解：如图，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作点D关于直线l的对称点D′，连接BD′
∵∠CAP=∠BAD，CA=AB，AP=AD，
∴（SAS），
∴PC=BD=DB′，
∴AC+CP的最小值=AB+DB′=，
∵A（0，3）、P（3，0），
∴AD=AP
=
=6
在Rt中，
=
=
=6，
∴AC+CP的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是判断出∠EAC=∠BAD，解决[拓展应用]的关键是构造全等三角形，利用轴对称解决最短问题，这是一道压轴题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
B
C
C
C
B
C
C