初中人教版（2024）不等式的性质练习题

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考点一：不等式的性质
考点二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示）
考点三：一元一次不等式的整数解问题
考点四：一元一次不等式解的最值
考点五：解含绝对值的不等式
考点六;列不等式（组）问题
考点七：一元一次不等式组整数解问题
考点八：由一元一次不等式组的解求参数问题
考点九：不等式组和方程组的结合问题
考点十：不等式（组）的实际应用问题
考点十一：不等式组与几何交汇问题
【题型通过】
题型一：不等式的性质
1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示）
4．（24-25七年级下·四川内江·期中）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列不等式（组），并将解集表示在数轴上．
(1)；
(2)
6．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题
(1)解不等式；
(2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
题型三：一元一次不等式的整数解问题
7．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24七年级下·山东威海·期末）不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：一元一次不等式解的最值
10．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（ ）
11．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：解含绝对值的不等式
13．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为______，的解集为______；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
题型六;列不等式（组）问题
16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了，从B地匀速返回A地用了不到，这段江水流速为，轮船在静水里的往返速度v不变，根据题意可以列出不等式（ ）
A．B．
C．D．
17．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
18．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C．D．
题型七：一元一次不等式组整数解问题
19．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33B．28C．27D．22
题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题
22．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
23．（23-24七年级下·山东济宁·期末）已知关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型九：不等式组和方程组的结合问题
25．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1B． C． D．
26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
27．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10B．8C．6D．4
题型十：不等式（组）的实际应用问题
28．（24-25七年级下·安徽蚌埠）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元．
(1)求A，B两种型号电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
29．（2025七年级下·全国）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元．
(1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？
(2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案．
30．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题．
小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元．
(1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？
(2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案．
题型十一：不等式组与几何交汇问题
31．（23-24七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，a是36的算术平方根，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段，连接，．
(1)求A、B、C的坐标；
(2)如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线上方，当时，求此时的度数．
(3)如图2，点M，N分别是x轴和线段上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点匀速运动．设运动时间为t秒（），在运动过程中，记三角形的面积为，记三角形的面积为，是否存在一段时间，使得，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
32．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
33．（23-24七年级上·山西大同·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容．
(1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ；
(2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________；
(3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”．
①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________；
②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________；
(4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________；
②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”．
【专题训练】
一、单选题
1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（ ）
A．七折B．八折C．八五折D．九折
3．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或 D．或
5．（23-24七年级下·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·全国·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24七年级下·四川资阳·期末）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．0B．C．D．1
8．（23-24七年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ．
11．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人．
12．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
13．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
14．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
三、解答题
15．（24-25七年级下·重庆·期中）解不等式或不等式组：
(1)．
(2)．
16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表：
(1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）；
(2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
18．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为解决山区复杂地形中的旅游垃圾问题，某无人机设计改造团队用万元购进两种原型无人机进行升级改造为“擒龙手”新型无人机捡拾垃圾，已知两种原型无人机的进价分别为万元/台和万元/台，且种原型机比种原型机少台．
(1)求该团队分别购进两种原型无人机的台数
(2)该团队的每台无人机经升级改造后均在其原价的基础上提价进行销售．黄山景区某物业管理公司准备从该团队购进两种型号的升级无人机共台（每种型号至少一台），为景区卫生“保驾护航”．该团队给出了以下两种优惠方案，并规定购买时只能选择其中一种：
方案一：全部打八折：
方案二：按标价购买，赠送每种型号的升级无人机各台．
①设方案一、二的最终花费分别为元、元，购买种型号升级无人机台，求、与的关系式．
②若采用方案一购买时花费较少，则最多购买种升级无人机多少台？
19．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
(1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合）
(2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
20．（24-25七年级上·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和．
(1)若．请回答以下两个问题：
①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号）
① ②3 ③5
②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______．
(2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______．
21．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
22．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
型
型
价格（万元/台）
24
20
产量（吨/月）
720
540