人教版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式组习题

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式组习题，文件包含专题113一元一次不等式组原卷版docx、专题113一元一次不等式组解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
考点一：解不等式组的解集
考点二：不等式组的整数解问题
考点三：由一元一次不等式组的解求参数问题
考点四：由不等式组的解集情况求参数
考点五：不等式组和方程组结合的问题
考点六：列不等式方程组题
考点七：不等式组的经济问题
考点八：不等式组的分配问题
考点九：一元一次不等式组的综合问题
【知识梳理】
知识点一、一元一次不等式组：
概念：几个一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。 一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。
2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 如果没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解（或叫空集）。 而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。
知识点二、一元一次不等式组的解法：
步骤：⑴、分别求出不等式组中各个不等式的解集；
⑵、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。
技巧归纳：
口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。
注：要将一元一次不等式组的解法与前面学过的二元一次方程组的解法加以区别：在解方程组时，两个方程不是独立存在的（由代入法、加减法本身就说明了这点），而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，在解答时先要独立解不同的不等式，再找出它们的解集的公共解集，即解一元一次不等式组时，不能用加减消元法。另外，组成不等式组的不等式的个数可以是2个以上。
知识点三、列不等式组解实际应用题：
一般步骤：审题→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验、作答 。
注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。
【题型归纳】
题型一：解不等式组的解集
1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）解下列一元一次不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)无解集
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解集．
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
则原不等式组的解集为．
2．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示：
∴不等式组的解集为：．
3．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即为不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示如图：
题型二：不等式组的整数解问题
4．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组的所有整数解的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定对应的整数解，再把所有的整数解求和即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解有，
∴不等式组的所有整数解的和是，
故选：A．
5．（2025七年级下·安徽·专题练习）关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有3个，
整数解为2，3，4，
则的范围是．
故选：C．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a可取的整数值的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据不等式组解的情况求参数，主要考查学生对不等式组知识点的掌握，先求出不等式组范围，再根据具体解逆推出a的取值范围．再根据a可取的整数值求解即可．
【详解】解：
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
∴3个整数解为：2，1，0
∴
解得：，
a可取的整数值为
故选：C．
题型三：由一元一次不等式组的解求参数问题
7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握不等式解集的取法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先分别解出两个不等式，再根据不等式组的解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：，
解①得
解②得
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
故选B．
9．（23-24七年级下·辽宁·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解可得答案．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
故选：D．
题型四：由不等式组的解集情况求参数
10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是，
不等式组的解集为．
关于的不等式组的整数解共有个，
∴．
故选：A．
11．（24-25七年级下·山西晋城·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
【详解】解：∵
由得，，
由得，，
故原不等式组的解集为：，
∵不等式组的正整数解有3个，
∴其整数解应为： 4、5、6，
的取值范围是．
故选：D．
12．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解集情况求参数成为解题的关键．
先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可．
【详解】
解：∵，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵若它的解集是，
∴ ，解得：，
故①正确，
当时，，则该不等式组无解；
故②错误；
∵若它的整数解仅有3个，即，
∴a的取值范围是，
故③错误；
∵解不等式可得：，且不等式的最大整数解为1，
∴，
解得：．
故④正确．
综上，正确的有2个．
故选：B．
题型五：不等式组和方程组结合的问题
13．（23-24七年级下·河南南阳）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确求出方程组的解进而得到关于a的不等式是解题的关键．
先利用加减消元法求出方程的解，再根据方程的解满足得到关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】①②
得，
解得：，
把代入②得，
，
解得：，
方程组的解为，
方程组的解满足，
，
解不等式得：．
14．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
∵，
∴，
解得，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：，
得：，
则，
根据题意得：，
解得．
故选：A．
题型六：列不等式方程组题
16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可．
【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人，
由题意得，，
故选：A．
17．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键．
设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可．
【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书，
若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
则．
故选：C．
18．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可．
【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克，
调整后咖啡浓度为，
根据题意得，
故答案为：．
题型七：不等式组的经济问题
19．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人．
(1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围．
【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元
(2)该公司可以采购A种机器人数量的范围
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可；
（2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；
（2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，
根据题意得，
解得，
∴该公司可以采购A种机器人数量的范围．
20．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围．
【答案】，．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．
【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得：
，
解得：，
∴的取值范围为．
21．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克．
(1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？
(2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？
【答案】(1)甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元
(2)共有11种方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
（1）设甲单价x元，乙单价y元，根据题意列出方程组计算即可；
（2）设购进甲m千克，则购进乙千克，根据题意列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）设甲单价x元，乙单价y元，
根据题意，得，
解得，
∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元；
（2）设购进甲m千克，则购进乙千克，
由题意得：，
解得：，
∵是整数
∴的值可以为50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11种方案．
题型八：不等式组的分配问题
22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元
(2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可；
（2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元；
（2）解：能；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，
，
解得：，
∵a为整数，
或．
方案有两种：
方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；
方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台．
23．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元．
(1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？
(2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？
【答案】(1)每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元．
(2)该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键．
（1）设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元，然后根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买诗词手册m套，则购买书签套．再根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而完成解答．
【详解】（1）解：设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元，
由题意可得：，解得：．
答：每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元．
（2）解：设购买诗词手册m套，则购买书签套．
由题意可得：，解得：，
∴该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套．
24．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道．
截法一：
截法二：
某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根．
(1)根据题意，完成以下表格：
(2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？
【答案】(1)，
(2)共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道
【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）；
（2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
（2）解：由题意，得，
由①得：
由②得：．
∴
∵x取整数，
∴，40
答：共有两种截取方案：
方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；
方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道；
【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可．
题型九：一元一次不等式组的综合问题
25．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程是该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②，③中，是不等式组的关联方程有_______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且此关联方程是，求常数m的值；
(3)是否存在实数a，使得方程和都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②
(2)或3
(3)存在，
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据方程和都是关于x的不等式组的关联方程，得出，解不等式组即可．
【详解】（1）解：解不等式组得，
解得：，不在内，故①是不等式组的关联方程；
解得：，在内，故②是不等式组的关联方程；
解得：，在内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：②；
（2）解：解不等式组得：，
因此不等式组的整数解可以为，，
把代入得：，解得：，
把代入得：，解得：，
综上分析可知：或．
（3）解：解方程得，，
解方程得，，
解不等式组得：，
∵方程和都是关于x的不等式组的关联方程，
∴，
解得：，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
26．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元
(2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11或12，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为3辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元．
27．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
【双基达标】
一、单选题
1．（2025七年级下·全国）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示如下图：
，
故选：A．
2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．有3个解B．有2个解
C．无解D．有无数个解
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
先求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集判断即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为；，
在这个范围内，有无数个数满足该不等式组．
故选：D．
3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式组的解集为，则为（ ）
A．1B．C．2D．0
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、求代数式的值，先分别求出每个不等式得解集，再根据题意得出，，从而求出，，代入代数式即可得解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
4．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴解①得，，解②得，，
∵不等式组无解，
∴，
解得，
故选：C．
5．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】A
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可．
【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得：
，
解得：
又∵为整数，
∴，，，
故购买方案有种．
故选：A．
6．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据不等式组的整数解的情况求参数，熟知解不等式组的方法是解题的关键：先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的情况得到不等式组的整数解可以为、或、、、、、0、1、2、3，据此求解即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式有解，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的所有整数解的和为，
∴不等式组的整数解可以为、或、、、、、0、1、2、3，
∴或，
∴或，
故选：D．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
【详解】解：由方程，得，
∵关于的方程的解为非负整数，
∴，得，
，
由①，得，
由②，得，
∵关于的不等式组有解，
∴，得，
由上可得，，
∴符合条件的整数的值为：，0，1，2，3，
∴符合条件的整数的值的和为：．
故选：C．
8．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式组的解集以后，还应根据题目中的已知条件求出其整数解．
先根据题意得到，解一元一次方程得到，再由一元一次方程的解为整数，得到或，即可求解．
【详解】解：关于的不等式组有且只有三个整数解，
∴，
解得：，
，
解得：，且解为整数，
∴或，
∴符合条件的所有整数的和为，
故选：C．
10．（24-25八年级下·重庆）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和．
【详解】解：由，可得．
关于的方程的解为非负数，
，解得．
解不等式组，
解得：．
一元一次不等式组至少有3个整数解，
．
综上可得．
可取的整数为：．
所有符合条件的整数的和为．
故选∶ D．
二、填空题
11．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键．
根据题中的不等关系列出不等式组即可．
【详解】解：根据题意得，．
故答案为：．
12.（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）运行某个程序如图所示，若规定从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查程序流程图与一元一次不等式组，根据流程图结合程序操作进行了两次才停止列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
13．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解问题，根据关于x的不等式组无解，则，即可作答．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
∴，
故答案为：．
14．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有两个整数解，
∴这两个整数解为，，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
（1）将n的值代入，解不等式即可；
（2）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有2个，即可得到关于n的不等式，然后求解即可．
【详解】解：（1）当时，
，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
故答案为：；
（2）由不等式，可得：，
∵该不等式的负整数解有且只有2个，
∴这3个整数解为，，
，
解得，
故答案为：．
三、解答题
16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】，作图见解析
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，即可求解．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
17．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组的解中，x为非正数，y为正数．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为何整数时，不等式的解集为？
【答案】(1)
(2)当m为整数时，不等式的解集为．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握加减消元法和解不等式组的方法是解题的关键．
（1）解方程组得出x、y，由x为非正数，y为正数列出不等式组求解即可；
（2）由不等式的性质求出m的范围，结合（1）中所求范围解答即可．
【详解】（1）解：，
①+②可得：，即，
①-②可得：，即，
∵x为非正数，y为正数，
∴，解得：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
∵，
∴．
∴当m为整数时，不等式的解集为．
18．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若关于x和y的二元一次方程组的解满足，．
(1)求a的取值范围；
(2)是否存在一个整数a使不等式的解集为．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，1，2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围；
（2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答.
【详解】（1）解：，
，得
．
，得
．
，
解得：．
（2）解：存在．理由如下：
∵
则
∴．
原不等式的解集为，
．
由（1）得
．
为整数，
的值为1，2．
19．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，如：，即若，则（n为非负整数）．根据以上材料，解决下列问题：
(1) ， ；
(2)若，求x的取值范围；
(3)求满足的所有非负数x的值．
【答案】(1)2；2
(2)
(3)或2或
【分析】本题主要考查了新定义，求一元一次不等式组的解集，正确理解新定义是解题的关键．
（1）直接根据新定义可得答案；
（2）根据新定义可得，解不等式组即可得到答案；
（3）设（m为整数），则，根据新定义可得，解不等式组求出m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，；
（2）解：∵，
∴，
解得；
（3）解：设（m为整数），
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵m为整数，
∴或或，
∴或2或．
20．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
(2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元．
【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．
21．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号）
(2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．
（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可；
（2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：①，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
（2）解：
解得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得；
（3）解：，
去分母得，
移项合并同类项得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
2台
3台
900元
第二周
3台
5台
1430元
标准管道截法一
标准管道截法二
x（根）
_________（根）
A型管道（根）
x
B型管道（根）
_________
标准管道截法一
标准管道截法二
x（根）
（根）
A型管道（根）
x
B型管道（根）