初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）不等式的性质优质第1课时学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）不等式的性质优质第1课时学案设计，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第1课时 不等式的性质
【学习目标】
1. 通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的性质，培养自主学习的习惯和观察推理能力.
2. 会用不等式的基本性质解简单的不等式，培养学生的应用意识；在解题的过程中发展数感和运算能力，渗透数形结合思想.
【学习重点】不等式的性质，
【学习难点】会复习铺垫，导入新课（5分钟）
1. 师生互动：教师提问“我们之前学过等式，谁能说出等式的定义？”，引导学生回忆——用等号“=”连接两个代数式，表示相等关系的式子叫做等式，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=4，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“等式的核心是‘相等关系’”。2. 情境导入：展示实际问题：“某班同学去公园春游，门票每人8元，现有50元，最多能买几张门票？”，引导学生思考：设能买x张门票，可列出关系式8x≤50，提问“这个式子和我们之前学的等式有什么不同？”，进而引出课题——不等式及其解集，明确本节课学习任务：理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集。
二、探究新知，突破核心（15分钟）
本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究不等式及其解集的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。
1. 不等式的定义：结合导入环节的8x≤50，以及补充例题：3x+2>5、2y-3、50，所以x=7不是它的解。强调“不等式的解可以有多个”，与等式只有一个（或几个）解区分开，引导学生尝试说出8x≤50的几个解，加深对解的概念的理解。
3. 不等式的解集与数轴表示：讲解“一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，强调“解集是所有解的集合，是一个范围，而不是单个解”。结合8x≤50，讲解其解集是x≤6.25（因为x表示门票张数，实际中x应为非负整数，即0≤x≤6）；重点讲解用数轴表示不等式解集的方法，分步骤演示：① 画数轴：标出原点、正方向和单位长度；② 定边界：解集是x≤6.25，边界点是6.25，因为包含6.25，所以用实心圆点表示；③ 定方向：不等号是“≤”，表示不大于6.25，所以数轴上从6.25向左的部分（包括6.25），用射线表示。补充说明：x>3的解集，边界点3用空心圆圈（不包含3），方向向右；x≥2用实心圆点，方向向右；x0的解，x=1不是它的解，求a的取值范围；③ 用数轴表示不等式-23的整数解，让学生进一步区分“解集”和“特殊解”。
3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和数轴表示，要求规范书写、标注清晰，师生共同评价，肯定优点，指出数轴表示和概念理解中的错误和不足，对思路清晰、表述规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。
五、总结提升，梳理收获（5分钟）
1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了哪些核心概念？如何用数轴表示不等式的解集？”，让学生自主发言，梳理不等式、不等式的解与解集的定义，强调解与解集的区别，回顾数轴表示解集的关键（边界点虚实、方向）。
2. 梳理收获：教师补充总结，强调“不等式的核心是‘不等关系’，解集是所有解的集合，数轴是表示解集的重要工具”，提醒学生注意区分解与解集，规范数轴表示的步骤，避免常见易错点，同时说明不等式是后续学习一元一次不等式（组）的基础，鼓励学生课后多练习，熟练掌握概念和操作方法。
3. 布置作业：让学生课后巩固不等式及其解集的概念，完成基础判断题、解集书写题和数轴表示题，结合生活实际列出一个简单的不等式，并写出它的解集、用数轴表示出来，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对概念的理解。
整个教学过程注重直观性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集，同时培养学生的数感、逻辑推理能力和规范书写习惯。
用不等式的基本性质解简单的不等式
【自主学习】
1. 直接说出下列不等式的解集：
(1) x＋4＞10； (2) 2x＜6.
2. 如何解下列不等式的解集呢？
5x+16 − 2＞x−54
问题：小明和小丽在学习不等式之后对不等式提出了一些问题：
(1) 若 a＞b，则有 b＜a.
(2) 若 a＞b，b＞c，则有 a＞b＞c.
请同学举例说明他们的说法是否正确?
要点归纳：交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a＞b，那么 b＜a.
不等关系可以传递：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞b＞c.
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1：用不等号填空：
(1) 5 > 3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2，② 5 + 0______ 3 + 0，③ 5 + (－2)_____ 3 + (－2)；
(2) －1 < 3，
① －1 + 4 ______ 3 + 4，② －1 + 0______ 3 + 0，③ －1 +(－7)______3 + (－7).
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向 .
[归纳总结]
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立.
一般地，不等式有如下性质：不等式的性质1 当不等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，不等号的方向不变.
数学语言：如果 a > b，那么 a ± c > b±c .
例1 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＞b，则 a＋7 b＋7；
(2) 已知 3＜7，则3－x_____7－x.
练一练
1. 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的 哪一条性质：
(1) 若 x＋3＞6，则 x______3，根据______________；
(2) 若 a－2＜3，则 a______5，根据______________．
活动 2：用不等号填空：
(1) 6 > 2，
① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5.
(2) －2 < 3，①－2×4 ______ 3×4. ② －2÷4 ______ 3÷4.
根据发现的规律填空：
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 .
不等式的性质 2
当不等式两边乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.即：如果 a＞b，
c＞0，那么 ac＞bc (或 ac ＞ bc).
例2 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＜b，则 aπ_____bπ；
(2)已知 a＞b，则 a3 b3
2. 利用 5＞2，比较 5−12 与 12 的大小.
活动 3：用不等号填空：
(1) 6 > 2，
③ 6×(－5) ____2×(－5). ④ 6÷(－5) ____2÷(－5).
(2) －2 < 3，
③ －2×(－0.5) ___3×(－0.5). ④－2÷(－0.5) ___3÷(－0.5).
根据发现的规律填空：
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 .
不等式的性质 3
当不等式两边乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.即：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或 ac ＜ bc).
[典型例题]
例3 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＜b，则 －a3 －b3
(2) 已知 a＞b，则 －2a3 －2b3
例4 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1) a + 3 与 b + 3 ； (2) －2a 与 －2b.
思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
[练一练]
3. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性质。
(1) a－3 ____ b－3；
(2) a÷3 ____ b÷3；
(3) 0.1a ____ 0.1b；
(4) －4a ____ －4b；
(5) 2a + 3 ____ 2b + 3；
(6) (m2 + 1)a ____ (m2 + 1)b (m 为常数)
不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点：
课堂检测
1.如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是( )
A.a＋c＜b＋cB.ac2＞bc2C.ac＞bcD.ac＋1＞bc＋1
2.[教材变式]若x＞－2，则下列各式中错误的是( )
A.3x＞－6B.x＋9＞7
C.x4＞－12D.－7x＞14
3.已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x －2y；
(2)2x 2y；
(3)23x＋1 23y＋1.
4.由ac＞bc得到a＜b的条件是：c 0(填“＞”“＜”或“＝”).
参考答案
【自主学习】
问题：(1) x＞6 (2) x＜3
例：5＞3，3＜5 成立， (1) 正确；
6＞4，4＞2，且 6＞4＞2， (2) 正确
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜
不变
例1 解：(1) 因为a＞b，根据不等式的基本性质1 得，
a＋7＞b＋7.
(2) 因为 3＜7，根据不等式的基本性质1 得，
3－x＜7－x.
练一练
1. (1) ＞ 不等式性质1
(2) ＜ 不等式性质1
活动2 (1) ＞ ＞ (2) ＜ ＜ 不变
例2 解：(1) 因为 a＜b，π＞0，根据不等式的基本性质2 得， aπ＜bπ.
(2) 因为 a＞b，13＞0，根据不等式的基本性质2 得，a3 ＞ b3
2. 解：因为 5＞2，根据不等式的基本性质1得，
5−1＞2－1，即 5−1＞1.
又因为 12 ＞0，根据不等式的基本性质2 得，
5−12 ＞ 12
活动3 (1) ＞ ＞ (2) ＜ ＜ 改变
例3 (1)＞ (2)＜
例4解：(1) 因为 a＞b，所以 a + 3＞b + 3.
(2) 因为 a＞b，所以 －2a＜－2b.
3. (1) ＞ 不等式的性质 1 (2) ＞ 不等式的性质 2
(3) ＞ 不等式的性质 2 (4) ＜ 不等式的性质 3
(5) ＞ 不等式的性质 1，2 (6) ＞ 不等式的性质 2
课堂检测
1.B 2. D 3. ＜ ＞ ＞ 4. ＜
类别
不同点
相同点
不等式
等式