人教版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组的解法综合训练题

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考点一：三元一次方程组的解方法
考点二：三元一次方程组的解
考点三：解三元一次方程组
考点四：三元一次方程组的应用
考点五：三元一次方程组的实际问题
考点六：三元一次方程综合问题
【知识梳理】
知识点一、三元一次方程概念
方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。
知识点二：解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。
【题型探究】
题型一：三元一次方程组的概念
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【来源】27三元一次方程组的解法
【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确；
故选：D．
2．下列是三元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【来源】10.4 三元一次方程组的解法
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组．
根据三元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意；
B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选A．
3．下列是三元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】6.3三元一次方程组及其解法
【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．
【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；
B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误；
C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误；
D、不是整式方程，故D选项错误；
故选：A．
题型二：三元一次方程组的解法
4．(23-24七下·山东烟台牟平区·期中)三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】山东省烟台市牟平区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案．
【详解】解：，
②③得：即，
③①得：，
∴，
故选A
5．(23-24七下·福建泉州南安·期中)解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去B．先消去C．先消去D．先消去常数
【答案】B
【来源】福建省泉州市南安市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小，
本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组．
【详解】解：，
②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组，
故选：．
6．(20-21七·湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校·期中)观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（ ）
A．先消去xB．先消去yC．先消去zD．以上说法都不对
【答案】B
【来源】湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年七年级下期中考试数学试卷
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
题型三：解三元一次方程组
7．解下列三元一次方程组：
(1)(2)
【答案】(1)(2)
【来源】10.4 三元一次方程组的解法
【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键．
利用加减消元法解方程即可得答案．
【详解】（1）解：
③-①，得④，
②+④，得，
，
把代入④，得，
，
把代入①，得．
原方程组的解为．
（2）解：原方程组可化为
②-③，得④，
④-①，得，
，
把代入④，得，
把代入③，得．
原方程组的解为．
8．解下列方程组：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【来源】10.4 三元一次方程组的解法
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键；
（1）利用加减消元法即可解答；
（2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值．
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
9．解方程组：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【来源】创优作业（17） 二元一次方程组-【金牌题库】2023七年级数学暑假作业（人教版）
【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可；
（1）加减消元法解方程组即可
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得：；
，得：；
，得：，解得：，
把代入⑤，得：，解得：，
把，代入③，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）
，得：，
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解集为：．
题型四：三元一次方程组的应用
10．购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】6.3三元一次方程组及其解法
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
11．(23-24七下·辽宁抚顺新抚区·期末)利用两块完全相同长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【来源】辽宁省抚顺市新抚区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出方程组是解答的关键．设木块的长为，宽为，桌子的高度为，根据题意列方程组求得即可求解．
【详解】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度是，
根据题意，得，
则，
解得，
∴桌子的高度是，
故选：B．
12．(23-24七下·山东日照岚山区·期末)某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元B．30元C．40元D．50元
【答案】B
【来源】山东省日照市岚山区2023-2024学年七年级下学期7月期末考试数学试题
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．”可得出关于的三元一次方程组，得，，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【详解】解：设一等奖奖品的单价是元，二等奖奖品的单价是元，三等奖奖品的单价是元，根据题意得，
得，
解得：
故选：B．
题型五：三元一次方程组的实际问题
13．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
【答案】原来的三位数为287．
【来源】10.4 三元一次方程组的解法
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，
先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可.
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
由题意，得，
解得，
答：原来的三位数为287．
14．(24-25七·期中综合测试卷-【千里马�单元测试卷】·期中)如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等．
(1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______；
(2)请你求出第2023个整数是多少；
(3)请你求出前2024个整数的和．
【答案】(1)5，，
(2)
(3)1352
【来源】期中综合测试卷 -【千里马�单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024 黑龙江专版）
【分析】本题主要考查了三元一次方程组及数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可列方程组，，求方程组的解即可得出答案；
（2）根据题意可得格子中的整数以""为周期循环，则，即可得出答案．
（3）由每三个相邻格子中的整数的和为2，，可得前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，再求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
解得
故答案为∶；
（2）解：由（1）可知从左往右格子中的整数以，5，三个数字依次循环．
因为，
所以第2023个整数是．
（3）解：因为每三个相邻格子中的整数的和为2，，
所以前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，
所以前2024个整数的和为．
15．(24-25七·3.6三元一次方程组及其解法（2种题型基础练能力提升练）-【上好课】·)某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？
【答案】20张
【来源】3.6 三元一次方程组及其解法（2种题型基础练 能力提升练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，难度较大，对于本题的解答，列示比较简单，难点在与通过加减消元法得到与，与的关系，根据、判定的最小值．首先假设、、三种贺卡售出的张数分别为，，．根据题意列方程组得：然后通过加减消元法得到，根据的取值判定的最小值．
【详解】解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，，
则由题意得组得：，
由①②得，，即，
②①得，，即，
由，得，
由，得，
，
答：该商店3月份出售种贺卡至少20张．
题型六：三元一次方程综合问题
16．[阅读感悟]
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
[解决问题]
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________．
(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)，4
(2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元
(3)1
【来源】人教版2023-024学年七年级数学下册期末模拟试题（六）
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识，
（1）由得，则，再由得，则；
（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解；
（3）由定义新运算：得，，求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
得：，
∴，
得：，
∴，
故答案为：，4；
（2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元，
由题意得：，
得：，
∴，
即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元；
（3）解：∵，
∴，
得：，
∴，
∴，
∴．
17．(23-24七下·重庆黔江区·期末)数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值．
(1)小川的方法：，整理可得： ；
，整理可得： ；．
小渝的方法：： ；．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？
【答案】(1)；；
(2)3
(3)元
【来源】重庆市黔江区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键．
（1）根据等式的性质求解即可得；
（2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得；
（3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得．
【详解】（1）解：小川的方法：，得：，
整理得：，
，得：，
整理得：，
．
小渝的方法：，得：，
，
故答案为：；；．
（2）解：，
由①②得：，
整理得：，
由①②得：，
整理得：，
则．
（3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，
由题意得：，
∴②①得，，
∴．
将代入①整理得，．
∴．
∴．
答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元．
18．(23-24七下·江苏苏州吴中区、吴江区、相城区·期末)阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)，．
(2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
(3)该值为．
【来源】江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法．
（1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解；
（2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解；
（3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：依题得，
则可得即，
可得即．
故答案为：，．
（2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，
则依题得，
可得，
即，
．
答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
（3）解：依题得，由
可得，
即，
．
【高分达标】
一、单选题
1．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【来源】079三元一次方程组的解法
【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可．
【详解】解：，
得④，
得，
解得：，
∴，
∴将，代入，
得，
解得：，
故选：B．
2．解方程组若要使运算简便，可先消未知数（ ）
A．B．C．D．以上说法都不对
【答案】C
【来源】6.3三元一次方程组及其解法
【分析】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．观察观察未知数x，y，z的系数的绝对值最小公倍数，从而可确定先消去系数的绝对值最小公倍数最小的未知数．
【详解】解：观察未知数x的系数的绝对值分别是5，2，7，其最小公倍数为70，
观察未知数y的系数的绝对值分别是7，，，其最小公倍数为105，
观察未知数z的系数的绝对值分别是6，3，2，其最小公倍数为6，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去z，
故选：C．
3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【答案】C
【来源】第十章 基础测试卷
【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数，
根据题意得，，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
②当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：C．
4．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（ ）
A．65B．70C．72D．75
【答案】D
【来源】安徽省滁州市凤阳县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得．
【详解】解：由图可知，，
①②得：，
则，
解得，
故选：D．
5．(23-24七下·湖北武汉洪山区·期末)用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【来源】湖北省武汉市洪山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．
根据矩阵定义列方程组求解即可．
【详解】解：由题意得：，
①×2+②得：，
∵为定值，
∴．
故选：D．
6．(24-25八上·四川绵阳梓潼县五校联考·开学考)如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【来源】四川省绵阳市梓潼县五校联考2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
7．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237B．350C．425D．901
【答案】A
【来源】重庆市外国语中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元；
乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
根据题意得
整理，得
由②得：，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
，
，
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
∴当时，（不符合题意），
当时，（符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
把代入②得：，
甲艺术中心采购总费用为元，
故选：A．
8．(23-24七上·浙江舟山·期末)已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表：
则值为（ ）
A．15B．19C．21D．23
【答案】D
【来源】浙江省舟山市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题
【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案．
【详解】解：当时，①，
当时，②，
当时，③，
当时，④，
③①得：，即，
④②得：，
∴，
∴，
∴；
故选D
9．张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（ ）（绳子结头处长度忽略不计）
A．308厘米B．318厘米C．328厘米D．338厘米
【答案】C
【来源】第12届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级（B卷）
【分析】本题考查列方程组解决实际问题，由题意列出方程组是解题的关键．由题意列方程组即可求解．
【详解】解：设绳长为厘米，由题意得
又因为，方程组整理为
解得
绳子长为厘米．
故选：．
二、填空题
10．(24-25七下·福建泉州安溪铭选中学·月考)如果 ，那么的值为
【答案】
【来源】福建省泉州市安溪铭选中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题
【分析】此题考查了加减法解三元一次方程组，①＋②＋③得到，即可得到答案．
【详解】解：
①＋②＋③得到，
，
∴，
故答案为：
11．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ．
【答案】287
【来源】第十章 二元一次方程组 能力提优测试卷
【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
根据题意，得，
解得，
故原来的三位数是287．
故答案为：287．
12．已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【来源】6.3 三元一次方程组及其解法
【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意得，解得，
故．
故答案为：．
13．(24-25八上·四川成都天府新区·期末)信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ．
【答案】
【来源】四川省成都市天府新区2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：或，且明文互为相反数，
∴，，即，
∴，
解得，
故答案为：．
14．已知，则的值为 ．
【答案】2023
【来源】13巅峰训练9 二元一次方程的概念 二元一次方程组的概念 解二元一次方程组 三元一次方程组（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解．
【详解】解：把代入原方程组，得：
，
化简，得，
，得．
故答案为：2023．
三、解答题
15．解下列方程组：
(1)(2)
【答案】(1)(2)
【来源】62周周练八 10.3~10.4
【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可．
【详解】（1）解：
，得．④
，得，解得．
把代入③，得，解得．
把代入①，得．
故原方程组的解是；
（2）解：
把①代入②，得，
即．④
，得，解得．
把代入①，得．
把代入③，得，解得．
故原方程组的解为．
16．如图，每条边上两端◯里的两个数的和都等于中间◯里的数，请你通过计算确定三个◯里应填入的数．
【答案】
【来源】第十章情境测试卷
【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确列出方程组．根据题意列出三元一次方程组即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
17．(24-25八上·山东济南历城区·期中)【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：得：③
得：，所以，的值为．
【类比迁移】（1）已知求的值；
【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？
【答案】（1）6；（2）450元．
【来源】山东省济南市历城区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱．
【详解】解：（1）依题意，，
∴得：，
∴；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，
根据题意得：，
∴得，
∴（元），
∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元．
18．(23-24七下·内蒙古鄂尔多斯东胜区东胜区实验中学·期中)先阅读下列材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
【答案】(1)，5
(2)；
(3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
【来源】内蒙古自治区鄂尔多斯市东胜区东胜区实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，三元一次方程组的应用．
（1）利用加减法和即可得出结论；
（2）先将方程组中的两个方程相加化简可得，再代入可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得；
（3）根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组．
【详解】（1）解：，
由可得，
由可得，
∴．
故答案为：，5；
（2）解：，
两个方程相加得：，即，
由题意得：，
解得，
故答案为：；
（3）解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，
由题意得：，
得：，
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
19．(23-24七下·四川乐山夹江县·期末)【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
(1)如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组______．
(2)求解出上述、、的值．
【答案】(1)
(2)
【来源】 四川省乐山市夹江县2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
【分析】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组；
（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）
由①得，
将②和④代入③得，
解得，
将代入①、②得：，，
∴，，
．
5
…
1
2
7
例1：解方程组
解：由①得③
将③代入②得
解得
将代入③，得
所以