初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）消元—解二元一次方程组课后复习题

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题型一：二元一次方程的概念
题型二：二元一次方程组的定义
题型三：解二元一次方程组（代入与消元）
题型四：二元一次方程组的特别解法
题型五：二元一次方程组的错解问题
题型六：已知二元一次方程组的解求参数
题型七：构造二元一次方程组求解
题型八：列二元一次方程组
题型九：三元一次方程组
题型十：二元一次方程组的实际应用
题型十一：二元一次方程组综合问题
【题型探究】
题型一：二元一次方程的概念
1．(23-24七下·云南曲靖沾益区·期中)下列是二元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(24-25七·期末测试卷（二）·期末)如果是关于的二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
3．(23-24七下·湖南娄底第一中学·期中)已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ）
A．3B．1C．D．
题型二：二元一次方程组的定义
4．(24-25七上·广西贵港·期末)下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
5．(23-24七下·华东师大版·期中)已知是方程组的解，则的值是（ ）
A． B．8C．2D．
6．(23-24七下·河北石家庄第三十八中学·期中)在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型三：解二元一次方程组（代入与消元）
7．解下列方程组：
(1)(2)
8．(23-24七下·辽宁大连经济技术开发区第六中学·期中)解下列方程组：
(1)；(2)．
9．(23-24七下·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)解方程组：
(1)．(2)．
题型四：二元一次方程组的特别解法
10．(23-24七下·浙江宁波镇海区镇海区尚志中学·期末)已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
11．(23-24七下·四川内江·期末)已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（ ）
A．B．C．D．
12．(23-24七下·湖北武汉青山区·期末)“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
题型五：二元一次方程组的错解问题
13．(23-24七上·山东滨州邹平梁邹实验初级中学·期末)在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
14．(23-24七下·华东师大版·期中)两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（ ）
A．B．
C．D．
15．(22-23七·（培优特训）专项2.2含字母参数的二元一次方程（组）问题（四大类型）-·)两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型六：已知二元一次方程组的解求参数
16．(23-24七下·黑龙江大庆龙凤区·期末)如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（ ）
A．15B．C．14D．
17．(23-24七下·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿荣中学·期中)若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
18．(23-24七下·山东德州禹城·期末)若二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型七：构造二元一次方程组求解
19．(23-24七下·广东东莞虎外、丰泰、嘉外·期中)对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
20．(22-23七下·七年级下册期末模拟测试预测题03（考察内容：七年级下册）-·期末)已知：，则和的值为（ ）
A．B．C．D．
21．(22-23七下·河北保定雄县·月考)幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m的值为（ ）
A．0B．1C．3D．6
题型八：列二元一次方程组
22．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重，两袋的质量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计）．问黄金，白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
23．(24-25七上·广西贵港平南县·期末)为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
24．(23-24九上·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A．B．C．D．
题型九：三元一次方程组
25．(23-24七下·湖南娄底·月考)下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
26．(23-24七下·福建泉州第九中学·期中)某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（ ）分
A．5B．6C．7D．8
27．(23-24七下·重庆黔江区·期末)数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值．
(1)小川的方法：，整理可得： ；
，整理可得： ；．
小渝的方法：： ；．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？
题型十：二元一次方程组的实际应用
28．某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）
(1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件．
(2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？
29．(24-25七上·安徽六安舒城县·期末)某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
30．(23-24七下·华东师大版·期末)为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了、两种型号家用净水器共台，型号家用净水器进价是元台，型号家用净水器进价是元台，购进两种型号的家用净水器共用去万元．
(1)求、两种型号家用净水器各购进了多少台；
(2)为使每台型号家用净水器的毛利润是型号的倍，且保证售完这台家用净水器的毛利润不低于万元，求每台型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润售价进价）
题型十一：二元一次方程组综合问题
31．(23-24七下·北京中国人民大学附属中学·期末)已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
(1)二元一次方程组是______系方程组．
(2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
(3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
32．(23-24七下·河北邯郸汉光中学·期末)定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
(1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号）
(2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积．
(3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论．
33．(23-24七下·江苏宿迁泗阳县·期末)【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
【专题强化】
一、单选题
1．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
2．“珍爱生命，拒绝毒品”．学校举行的禁毒知识竞赛共60道题，曾浩同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．B．4C．D．8
4．(23-24七下·点福建福州第十六中学·期中)《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．B．C．D．
5．(23-24七下·湖南怀化沅陵县思源实验学校·期中)已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．B．3C．4D．6
6．(23-24七下·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)在求二元一次方程组的解时，首先是消去一个未知数，在这过程中，下列方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．(23-24七下·重庆黔江区育才初级中学校·期中)甲、乙、丙、丁四位同学对关于x，y的二元一次方程组（其中a，b均为非零常数）进行探究后有以下描述：
甲：若，则；
乙：当时，方程组中的x与y互为相反数；
丙：若是方程组的解，则方程组的解为．
则所有正确的描述有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
8．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ．
9．如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 ．
10．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ．
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12．(23-24七下·湖南娄底第一中学·期中)解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ．
13．(23-24七下·重庆酉阳县·期末)关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
三、解答题
14．(24-25七上·四川眉山东坡区苏祠共同体·期末)已知关于的方程满足方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
15．(24-25七上·安徽淮北部分学校·期末)我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
16．(23-24七下·辽宁大连经济技术开发区第六中学·期中)定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
(1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案）
(2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值；
(3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
17．(24-25七下·山东/潍坊安丘·期末)每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：
经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多花12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多花6万元．
(1)求，的值；
(2)若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？
18．例：若方程组的解满足．求m的值
小明的解法是：得：．
然后解
小晨的解法是：得：
∵
∴
请选用小晨的方法解下题：若方程组的解满足．求k的值．
19．(23-24七下·湖南娄底第一中学·期中)阅读材料，回答问题．
解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法．
(1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组；
(3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解．
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型
B型
第一次
10
20
3000
第二次
15
10
4500
甲型机器
乙型机器
价格/（万元/台）


产量/（吨/月）
240
180