初中北师大版（2024）第一章 三角形的证明4 线段的垂直平分线第1课时教学设计

这是一份初中北师大版（2024）第一章 三角形的证明4 线段的垂直平分线第1课时教学设计，共10页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第一章“三角形的证明及其应用”，重点介绍“1.4 线段的垂直平分线”。核心知识点包括线段垂直平分线的性质定理和判定定理。通过问题情境“在河岸边建码头”的现实案例引入，引导学生体会几何知识解决实际问题的价值。本课在前期掌握三角形全等及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的基础上，进一步运用全等思想解决“垂直平分线”相关证明，为后续学习三角形及其他几何图形的综合题奠定坚实基础。
2.内容解析
本节通过折纸、作图、命题及逆命题的分析，帮助学生建立线段垂直平分线概念，理解“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的原理；反向引出“到线段两端点距离相等的点必在其垂直平分线上”。教学重点在于运用综合法依托三角形全等思想对性质定理和判定定理进行严谨推理，同时在规范的几何语言和书写中，培养学生思维的条理性与严谨性。
1.教学目标
•学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
•通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明能力、规范证明的书写格式。
2.目标解析
• 学会综合法证明，要求学生在已知线段中恰当地构造全等三角形，通过对照对应边、角，完成性质与判定定理的论证。
•在探索与合作交流过程中，经历完整的几何推理过程，形成逻辑思维与推理表达意识，体会几何问题的思维价值。
3.重点难点
• 教学重点：运用三角形全等方法证明垂直平分线的性质与判定定理。
• 教学难点：在几何推理过程中，准确把握作辅助线和运用全等条件的规范性，体现严谨的数学表达。
学生已初步掌握三角形全等的判定方法，具备一定的几何作图和推理经验。但由于几何思维的过渡性特点，一部分学生容易忽视作图要点和判定定理的逆用。通过动手折纸、操作探究，可直观感知“距离相等”与“垂直平分”之间的关系，激发学习动力，为本节定理的证明提供良好支撑。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
(1)全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤HL.
(2)下列判断一定正确的是（ ）
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
解：A
2.情景引入
问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
解：应建在C处.
你能说说你的理由吗？
【设计意图】通过回顾全等三角形判定方法，帮助学生快速精准地回忆已学知识，为后面的推理论证奠定基础。生活场景（仓库与河岸码头）创设现实问题，激发学生兴趣，让他们体验到几何知识在实际工程中的应用价值。
探究点1：线段垂直平分线的性质定理
1.问题引入：
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
2.知识归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等.
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
注意：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
3.练一练
如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA.
∵PA=5,
∴PB=5.故选B.
【设计意图】通过直观的几何图形和全等三角形判定方法，让学生体会“垂直平分线”这一性质的来龙去脉，凸显几何思维中的“分解—组合—对比”过程，培养学生空间想象和逻辑推理的能力。
探究点2：线段垂直平分线的判定定理
1.议一议
(1)教师提问：你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？
学生思考:逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
教师总结：当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
2.新知探究
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
3.知识归纳
线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
4.练一练
如图所示，AC=AD，BC=BD，则( )
A.CD垂直平分线段AB
B.AB垂直平分线段CD
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
解：∵AC=AD,
∴点A在线段CD的垂直平分线上.
∵BC=BD,
∴点B在线段CD的垂直平分线上,
∴AB垂直平分线段CD.故选B.
5.典例分析
例1 已知：如图 ，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB ＝ AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
方法2：
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴∠BAO＝∠CAO，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°.
即直线 AO 垂直平分线段 BC.
例2 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
解:（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
【设计意图】通过探究定理逆命题，从“若P在垂直平分线上则PA=PB”升华到“若PA=PB则P在垂直平分线上”，构建完整的逻辑体系。引导学生充分讨论，理解几何命题的“正、逆”关系，学会在不同方向上运用同一结论，提升几何判断与推理的综合能力。
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．11 C．14 D．18
解：C．
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：A．
3.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
解：C.
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝72°，则∠CED的度数为（ ）
A．72° B．64° C．54° D．36°
解：C
5. 有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的是________.(填序号)
解：①②③
6.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为______ .
解：26°
7.如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为______．
解：18
8.如图，AB=AC,AB 的垂直平分线MN交 AC于点 D,若∠C=65°则∠DBC的度数是______.
解：15°
9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
证明: ∵E是BD的垂直平分线上一点,
∴EB=ED,∴∠B=∠D.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,
∴∠CFD=∠A.
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AFE=∠A,
∴EF=EA,
∴点E在AF的垂直平分线上.
10.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
【设计意图】本环节提供多层次的练习题目，既有基础的概念辨析与应用，又有连续多步推演的综合题，让学生在反复运用“线段垂直平分线”性质与判定的过程中巩固知识、形成解题习惯，并在不断的思考与验证中提升几何推理能力及规范化书写水平。

1.必做题：习题1.4第3，5题。
2.探究性作业：习题1.4第6题。
主板书
1.4 线段的垂直平分线 （第1课时）
探究点1 线段垂直平分线的性质定理
探究点 2 线段垂直平分线的判定定理
课堂小结
副板书
例题
学生练习板演