初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线表格教案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线表格教案，共10页。教案主要包含了温故，探究，变式，尝试，提升等内容，欢迎下载使用。

学科
数学
年级
八
课型
新授课
单元
一
课题
线段的垂直平分线性质与判断
课时
1
课标要求
理解线段垂直平分线的概念；探索并证明垂直平分线的性质定理；理解并 掌握线段的垂直平分线的判断方法。培养学生的推理能力、几何直观和模型观念。
教材分析
“线段的垂直平分线第一课时”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第四节。本节课主要研究线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其应用。线段的垂直平分线是几何中的重要概念，求作已知线段的垂直平分线是几何中的基本作图。在几何证明、计算中，线段垂直平分线的性质也有着重要的地位。它是在认识了轴对称的基础上进行学习的，是之后证明线段相等、直线垂直的依据。因此，本节课具有承上启下的作用。
学情
分析
八年级学生已经具备了一定的独立思考能力和探究问题的能力，并能在探究问题的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐步完善自己的想法。学生在之前学习了轴对称的性质，对线段的垂直平分线有了初步的认识，这为顺利完成本节课的任务打下了基础。且学生已经基本掌握了运用全等三角形的知识证明线段相等、角相等，为证明线段垂直平分线的性质做好了知识准备。但学生基础差、底子薄、努力程度不够，对于线段垂直平分线性质定理的掌握存在较大困难。
在心理上，八年级学生独立性和表现欲较强，希望得到老师和同伴的认可和肯定，体现自身价值，教师可以抓住这一心理特征，积极鼓励，增强学生学习主动性。
核心素养目标
1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。
2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
教学重点
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其判断定理。
教学难点
运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点。
教学
准备
课件、导学案
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、温故
复习提问，温故孕新
1、线段的垂直平分线是指：
垂直且平分一条线段的直线
2、线段的垂直平分线性质定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
3、线段的垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
4、线段的垂直平分线性质定理和判定定理之间的关系是：互逆定理
回归知识
温故知新，导入新课
二、探究
合作探究，活动领悟
探究1证明线段的垂直平分线性质定理：
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点.求证: PA=PB.
分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌△BPC.
而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
几何语言描述
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
探究2：证明线段的垂直平分线性质判断定理：
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确.
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC和△BPC都是Rt△
∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌Rt△BPC (HL)
∴AC=BC (全等三角形的对应边相等)
∴ P在AB的垂直平分线上
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴PC⊥AB
即P在AB的垂直平分线上
证法三：
过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证明线段的垂直平分线性质定理。
用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理
证明线段的垂直平分线性质定理比较简单，分析后让学生独立完成证明过程。
证明线段的垂直平分线判断定理，需要具备2个条件，垂直和平分。
由于PA=PB,构成等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”设计作高、作中线、作角平分线三种方法来证明，发散了学生思维，增强逻辑推理能力。
三、变式
例题1、已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
D
证法一：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
证法二：∵AB=AC,OB=OC,AO=AO
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO, 而AB=AC,AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD,∠ADB=∠ACD=90°
AD是线段BC的垂直平分线
O在AD上
∴直线 AO 垂直平分线段BC
例题2：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
分析：连接AB作AB的垂直平分线交河岸边于点C,
C点就是码头的位置
自学例题1、2
通过此环节对垂直平分线判定定理进行应用，也是下节课尺规作线段垂直平分线奠定基础。
四、尝试
基础达标：
1.在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为 40°.
2. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=60°, 那么∠EDC= 60 ° .
3. 如图，因为AB 是线段CD 的垂直平分线（已知），所以 AB⊥CD,CD = DO
4．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（ D ）
A．AO=BO B．PO⊥AB
C．PO是AB的垂直平分线
D．P点在AB的垂直平分线上
5．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为 8 cm．
6.如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
解：∵DE为AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长等于50
∴BE+EC+BC=50
即：AE+EC+BC=50
∴AC+BC=50
∵AC=27
∴BC=23
7.如图，在四边形ABCD 中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P，且PA=PD ．求证：点P 一定在BC的垂直平分线上．
解：如图，连接PB、PC
因为点P是AB，CD的垂直平分线的交点，
所以PA=PB，PD=PC
又因为PA=PD
所以PB=PC，
所以点P一定在BC的垂直平分线上
能力提升：
8.如图，已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长度
解：BC的垂直平分线交AB于D
∴BD=DC
△ACD的周长是14cm
∴AD+AC+CD=14,即AC+AB=14
AC+AB=14
AB-AC=2
解得AB=8cm,AC=6cm
拓展迁移
9.如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G． 求证：
（1）BF=CG；
（2）AF=（AB+AC）．
解：（1）连接BE，CE．
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG（HL），
∴BF=CG．
（2）AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠FAE=∠GAE
AE=AE
Rt△AEF≌Rt△AEG(SAS)，
∴AF=AG，
∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，
∴AB+AC=AF+AG=2AF，
∴AF= （AB+AC）
学生完成课堂练习
引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升
线段的垂直平分线性质定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
引导学生进行课堂总结
引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
互逆
线段的垂直平分线
判断定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计
（课外练习）
基础达标：
1. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ A ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
2.如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（ C ）
A.100° B.105° C.115° D120°
第2题 第3题 第4题
3.如图，BC=10,BD=6,AD=4，则点D在线段 AC 垂直平分线上．
4.如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为 60°．
5.下列条件中，不能判定MN是线段AB（M、N不在AB上）的垂直平分线。（ C ）
A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB D.MA=MB,MN平分AB
6.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC
证明：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，求BE的长
解：∵ DE垂直平分AB，∴∠BDF=90°
∴∠ABC+∠F=90°，∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠F=30°
∴E在线段AB的垂直平分线上∵BE=AE
∠A=∠ABE=30°
∴BE=2DE=2
能力提升：
8.如图，三角形ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线BD上的一点，PE⊥AB于E，线段BP的垂直平分线交BCy于F,垂足为点Q,若BF=2,则PE为 。
第8题 第9题
如图所示，在△ABC中AB=AC= ,BD，CE为△ABC的两条中线相交于N,且BD⊥CE,M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值是
解答提示：作点A关于BD的对称点H,连接EH 交BD于M,AM=MH,根据两点之间距离最短，所以AM+EM的最小值等于HM+EM=EH。
根据ED∥BD,BC=2ED,证△BNC∽△CDN,得到CN=2EN,=2DN,
在Rt△ATH中用勾股定理求出EN=ND=5, BN=CN=10
AJ∥EN,AJ=2EN=10,AH=20,BJ=2BN=20,作AT⊥AB交AB于T
根据
在Rt△ATH中用勾股定理求出，AT=4 ET=
在Rt△ETH中用勾股定理求出，EH=
拓展迁移：
10.如图所示AC=AD,BC=BD
(1)请探究AB与CD的关系，并说明理由。
（2）要想AB与CD互相垂直平分，你认为除原有条件外，还需要添加什么条件
(1)解：AB垂直平分CD,理由如下：
∵AC=AD
∴点A在CD的垂直平分线上，
∵BC=BD
∴点B在CD的垂直平分线上
∴AB垂直平分CD
(2)添加条件：
∠ACD= ∠BCD或 ∠BAC= ∠ ABC 或∠ADC= ∠BDC
或 ∠BAD= ∠ ABD,或AC=AB或AD=BD
教学反思