初中北师大版（2024）4 线段的垂直平分线第2课时教学设计

这是一份初中北师大版（2024）4 线段的垂直平分线第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能.
2.掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
3.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.
4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.

二、教学重难点
重点：能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能；掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
难点：会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题．

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题1：线段垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？
预设答案：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.
应用：证明两条线段相等.
问题2：线段垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？
预设答案：定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．
应用：证明点在直线上或直线经过某一点.
问题3：如何作已知线段的垂直平分线？
预设答案：已知：线段AB，如图.
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.
2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
设计意图：通过复习前面学习过的线段垂直平分线的相关知识，为新课的探究学习打下基础.
探究新知
尝试·思考：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
预设答案：能作出无数个，所作出的三角形不都全等.
设计意图：这里设置的三个问题，为学生进行尺规作图的探索提供了思考空间，同时也为下面的学习奠定基础.
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流.
分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形.
预设答案：
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.
作法：
(1)作线段BC=a.
(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.
(3)在l上截取DA= h.
(4)连接AB，AC.
△ABC就是所求作的等腰三角形.这样的三角形有两个.
设计意图：教学时让学生先回忆基本的作图方法，并引导学生体会每一步作图的作用和理论依据.
思考·交流：(1)已知直线l和l上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P .
预设答案：
作法：(1)以点P为圆心，适当长为半径向点P两侧的直线l上作弧，交直线l于A，B两点.
(2)分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径向直线l的两侧作弧，分别交于点M，N.
(3)连接MN.MN就是要作的垂线.
教师活动：这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
设计意图：在前面探究的基础上，完成尺规作图.因为用尺规作线段的垂直平分线是七年级上册学习过的内容，因此教学时要让学生先回忆这些基本尺规作图的具体作法.
(2)如果点P在直线l外呢？此时，还能运用这种转化方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流.
分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线 l 的另一侧取点 Q，过 P 点以 PQ 长为半径作弧，与直线 l 相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决.
预设答案：
已知：直线l及l外一点P.
求作：直线m垂直于直线l，且经过点P.
作法：(1)任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
(2)以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B.
(3)作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线.
教师活动：进行总结说明，给出简要证明，因为PA=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得.
设计意图：综合考察学生的作图能力和作图方法的掌握情况.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵点P在边AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.
设计意图：通过解决例题，让学生理解线段垂直平分线性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意.
思考：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.
① 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；
② 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.
③ 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.
设计意图：引导学生通过作图，发现不同形状的三角形的三条垂直平分线的交点位置的不同，为后续研究交点的位置作铺垫.
总结：三角形三边垂直平分线的特点：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
三角形三边垂直平分线交点的位置：
(1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；
(2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处；
(3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.
设计意图：总结介绍三角形三条垂直平分线交点位置的特点，为后续学习三角形的外接圆作铺垫.
课堂练习
【自选练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.三角形三边的垂直平分线的交点( )
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
答案：B
2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
答案：A
3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO+BO+CO= cm.
答案：15
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．
答案：38°
5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G，
那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)，
BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
同理AF＝CF.
∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝2.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.