初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线一等奖课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线一等奖课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了你能证明这一结论吗，知识要点，∵PAPB，∵DE⊥AB，∴DE＝CE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. (重点)2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. (难点)
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么?
我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗? 改变点 P 的位置，结论还成立吗?
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
探究点1：线段垂直平分线的性质
【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，AC = BC，P 是 MN 上的任意一点.求证：PA = PB．
证明：∵ MN⊥AB，
∴ PA = PB (全等三角形的对应边相等)．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = BC，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB = 90°．
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为(　　)A．3 B．4 C．6 D．7
2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　　)A．21 B．14 C．13 D．9
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。
练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
它是真命题吗？你能证明吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
探究点2：线段垂直平分线的判定
5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)A．4 B．5 C．2 D．6
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO (SSS).∴∠BAO ＝ ∠CAO.∵ AB＝AC，∴ AO⊥BC.∵ OB＝OC，OD＝OD，∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).∴ BD＝CD.∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”)
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
线段的垂直平分线的性质和判定
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
1. 已知PA＝6，当PB＝ 时，点P在线段AB 的垂直平分线上.2. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN 上.若∠ACB＝80°，则∠A的度数为 .
3. 如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE，AB＋AC＝15，则△ABD的周长为(　A　)
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分 ∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB于D. 求证：BE＋DE＝AC.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE.
∴∠EDB＝90°＝∠C.
∴△DEB≌△CEB(AAS).
∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。
10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　)A．BO＝DO，AC⊥BDB．∠DAC＝∠BAC，AD＝ABC．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCAD．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　　)A．1 B．2 C．4 D．5
12．[西安铁一中期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，交AC于点G，连接CF，∠DCF＝20°，则∠BAC的大小为(　　)A．60° B．70° C．80° D．90°
13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________。
14．(8分)[西安高新一中期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE2－DC2＝AD2。判断BE与AC的数量关系，并说明理由。