初中数学北师大版（2024）八年级下册线段的垂直平分线课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册线段的垂直平分线课时练习，文件包含13线段垂直平分线5大题型提分练原卷版同步精品课堂练习docx、13线段垂直平分线5大题型提分练解析版同步精品课堂练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。

类型一、线段垂直平分线的性质
1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）

A．的三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点
2．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（ ）
A．5B．8C．9D．10
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
5．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A．6B．4C．3D．2
6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，边AB、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（ ）
A．60°B．C．D．
8．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ．
10．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ．
11．如图，，在内有一点，，垂直于点，垂直于点，且，，连接，，则 ．
12．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
13．如图，在中，，直线，分别是AB、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ．
14．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求的度数；
(2)若，的周长为19，求的长．
15．如图，是等边三角形，在直线的下方有一点D，且，连接交于点E．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点D作，交于点F，若，，求的长．
16．阅读与理解
下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
巧用正方形网格和无刻度直尺作图
正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线．
构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下：
∵，，
在和中，，
（依据1）
（依据2），
即点是的中点．
构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：…
任务：
(1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________．
(2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整．
(3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得．
类型二、最小值问题
17．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．6
18．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F，若D，M分别为线段，上的动点，则的最小值为 ．
19．如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为 ．
20．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ．
21．如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ．
22．如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
24．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ．
类型三、线段垂直平分线的判定
25．如图，已知，与交于点F，连接．下列结论：
①；②；③直线垂直平分；④图中有5对三角形全等．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
26．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
27．如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ．
28．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想；
(2)过点D作交于点E，若，，求的长．
29．已知，是从点D出发的三条线段，且．
(1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长．
30．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，．
(1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由：
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
31．如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
32．如图，在中，边AB，的垂直平分线，相交于点P．
(1)求证：；
(2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
33．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点

(1)求证：
(2)证明：为的平分线．
(3)求证：
34．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)求证：
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
35．如图，已知是等腰三角形，，．
问题初探

（1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______．
引导发现
（2）如图②，连接并延长，交于点，求证：．
拓展延伸
（3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数．
类型四、线段垂直平分线的尺规作图
36．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
37．如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A．B．C．D．
38．如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
39．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ．
40．如图，、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置 （不写作法，保留作图痕迹）

41．如图，现要求找一点，使其到三个顶点的距离相等．
(1)该点是三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”）
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
42．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)如图1，在中，，点、分别是边、上的两点，且，请作出线段的垂直平分线．
(2)如图2，和都是等边三角形且边长相等，点是边上的点，请在边上找出点，使得．
43．如图中，，．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：平分．
44．已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E．
(1)根据作图过程判断：直线是线段的_______；
(2)当时，求的度数；
(3)若，，求的周长．
45．如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．

(1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）；
(2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小．
①在图2中作出点 ；
②该垃圾中转站建成后， ．
46．如图，在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．
小文解决这一问题的思路如下：
根据“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，可分别作，的垂直平分线交于点；连接，，．沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形小纸片．
任务：
(1)请根据小文的思路作，的垂直平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，，直接写出得到的三个等腰三角形相应顶角的度数．
47．如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）．
48．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、CE，交于，为上一点，连接；在下列结论中：
①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则；
其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号）
49．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米．
(1)求小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
50．如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于
(1)如图1，若垂直平分，
①求证：；
②判断与的关系，并说明理由；
(2)如图2，M是线段CE上一点，若，求证：
51．如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接．
(1)若，解决下列问题：
①当点E落在边上时，与的位置关系是__________；
②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)如图2，
①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值；
②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________．
52．如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点．
(1)求证：；
(2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形；
(3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由．
53．如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）．
54．在长方形中，，，分别是AD，AB边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为．
(1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式；
(2)当点的位置如图②所示时，点在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(3)当点，分别在AD，AB边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着AB的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，AB的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围．
55．如图，在中，，作的中点，过作，分别交AB、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，．
(1)如图①，当时，若a=2，时，求内接直角三角形的斜边的长；
(2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足： ；（用含a，b的式子表示）
(3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论．
56．如图，是等边三角形，且边长为，点是边上一点，连接．
(1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：；
(2)如图2，，为中点，是在上一点，且，连接，连接并延长交于，求的度数．
(3)如图3，当点与点不重合，点在CB上，且CE，以为边向左作等边，连接，求线段的最小值．
57．如图1，是等腰直角三角形，D是中点，交于点G．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：；
(3)如图2，若F是中点，且，请直接写出k值．
58．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点．
(1)如图（），求线段的长；
(2)如图（），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为，线段的长为，用含的式子表示；
(3)如图（），在（）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标．