数学选择性必修 第三册二项式定理教案设计

这是一份数学选择性必修 第三册二项式定理教案设计，共7页。
二项式定理
教学目标
1.利用多项式运算法则和计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明.
2.经历二项式定理的探究过程，体会“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.
3.会应用二项式定理求解二项展开式，能解决与二项式定理有关的其他简单问题.通过二项式定理的学习，感受其对称美、简洁美以及概括性.
4.在解决问题的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养.通过了解相关数学史内容，感受数学的价值及魅力.
教学重点：
1. 利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理.
2. 能利用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.
教学难点：
用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理.
解决措施：
在教学过程中，特别注重了提升学生的学习积极性，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起分析并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新的问题，构建对比鲜明的表格，得到新知识；学习过程的推进也是由浅入深，循序渐进，逐步实现，环环相扣.
本节知识结构框图
教学过程
教学环 节
教 学 内 容
学 生 活 动
媒体作用及设计意图
（一）创设情境，提出问题
教师：
教师大致介绍二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历史，尤其是古代中国做出的贡献，初步体验数学家是如何发现问题，解决问题的.
问题1是教材第11页练习1，乘积展开后共有多少项？你是如何解决这一问题的？多项式展开有哪些项？试举例说明。除了计算项数还可以解决什么问题？
学生：
了解相应的数学文化，感受到数学文化的熏陶，启迪思维，培育数学素养.
将多项式相乘转化为计数问题，运用计数原理——分步乘法计数原理确定项数，用组合知识确定展开式每一项的形式和系数.
设计意图：
遵循“历史发生原理”,将二项式定理的历史融入教学，以此激发学生的学习兴趣，启迪思维，同时让学生受到数学文化的熏陶,培育数学素养.
这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．
创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．
（二）新知探究，检验猜想
教师：
创设了以上情境后，学生学习的积极性会被调动起来，接着话锋一转：牛顿是怎样从完全平方公式和完全立方公式中发现二项式定理的呢？今天，我们也像科学家牛顿一样，开启探秘之旅，从两个具体的展开式着手，分析其结构，从中发现一般的二项展开式的规律。
我们知道：
你能写出
的展开式吗？
问题2：观察
的展开式，分析其运算过程你能发现什么规律？（此处教师可提供参考思路）利用颜色标记第一个括号和第二个括号，跟踪各项的形成过程，对合并前的项数和合并后的项的系数的规律有了初步认识.引导学生顺利用已有知识解决问题.列表格的方式使得结果一目了然.
问题3：分析
的展开式，推理项数和系数的方法得到了进一步认识.继续完善表格.
问题4：类比问题2和3,分析展开式.运用计数原理的推理项数和系数的方法得到训练，为后续运用计数原理说明
展开式铺垫.完成表格，使结果一目了然.
问题5：引导学生通过类比分析表格归纳合并前后项的特点，猜想的展开式.
学生：
师生共同探究的展开式，利用分步乘法计数原理确定展开式项数，用组合知识确定展开式每一项的形式和系数.完成追问1：用计数原理和组合知识对其正确性进行说明.最后完成任务单（一）表格第一行的填写.
问题3：观察第二个展开式，类比问题2分析其运算过程，发现规律，以小组为单位组织讨论，用计数原理和组合知识对其正确性进行说明.并完成任务单（一）表格第二行.
问题4：类比问题2和3,分析展开式的运算过程，你能发现什么规律？并填写任务单（一）第三行.
问题5：观察各展开式的特点，类比问题2-4，分析运算过程，猜想其展开式？小组讨论统一答案.完成任务单二.
引导学生用计数原理推导二项式展开式并自主讲评.
问题6：学生进行说理论证.
媒体作用：
投屏讲评：展示学生的推导成果和任务单（一）的填写情况.通过ggb演示二项式系数，更加形象
直观.
设计意图：
从特殊到一般，符合学生认知规律.从熟悉的多项式乘法入手，问题层层递进．提出一个指数较大的问题，用多项式乘法原理难以解决新问题，制造认知冲突，激发学生探索新知的欲望，调动学生参与课堂的积极性．
利用直观的标记颜色，将多项式乘法法则与计数原理建立联系，进而突破难点；用计数原理推导二项式定理，其中尤为难的是使用组合数表达二项展开式中各项的系数.让学生类比抽象概括出二项式定理的表达式，不仅有利于学生二项式定理概念的意义建构，从特殊到一般的探求法，提出的研究必要性，提高学生的数学抽象素养.
引导学生通过类比分析表格归纳合并前后的项的特点，表格方式使得结果一目了然，也为后续通过类比分析，猜想、论证
的展开式埋下伏笔.
完成从特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．
本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析，难点在于跨领域知识的运用．建立不同领域知识之间的联系、灵活运用数学知识能潜移默化地让学生看到数学的“整体性”.
（三）形成概念，知识建构
教师：
给出二项式定理，二项展开式，二项式系数，二项展开式的通项.
引导学生总结二项式定理的特点，二项展开式通项的特点.教师展现思维导图系统二项式定理的结构特点
问题6以及追问7，运用了赋值法，引导学生正确的认识的符号性质.
学生：
总结二项式定理的结构特点和二项展开式通项的特点.
回答问题6以及追问7，运用了赋值法解决问题.
设计意图：
进一步认识二项式定理的结构特点，强化记忆，也为运用二项式定理做好准备．通过两次赋值体会赋值法的思想,认识字母 是一种符号，它们可以是数或代数式，体会公式中字母的可变性和结构的不变性，学会运用数的眼光看待式子.
运用新知，内化巩固
教师：
通过例题和追问，再次强化二项式定理及其简单运用，强调规范作答步骤引导学生独立完成例题。
学生：
例1求的展开式．追问8和变式.
例2（1）求的展开式的第4项的二项式系数；进一步追问展开式的第4项是什么？第4项的二项式系数是多少？第4项的系数是多少？
（2）求的展开式中的系数．
独立在练习本上规范作答.
媒体作用：
学生板演并讲解，培养学生的思维与语言表达能力。
利用展台或拍照，直观的看到学生的作答情况，并能及时发现问题直接处理.
设计意图：
例1为课本例题，及时补充追问8、变式，一是为了让学生熟悉二项式展开式，二是培养学生看待公式的眼光.
例2为课本例题，一是区分二项式系数和系数是两个不同的概念，巩固公式的应用，二是强化通项公式的简洁性. 三是非标准化形式进行标准化，减去一个数也就是相当于加上它的相反数，因此，此题的就是要学会运用数的眼光看待式子.
二项式定理简单应用，在于使学生熟悉二项式定理，深化对二项式定理的理解，从“一般到特殊”的运用，也体现知识的多样性、严谨性，提高学生的运算能力.
（四）回顾反思，拓展问题
教师：
引导学生总结本节学习的知识和数学方法，情感、态度、价值观构建思维导图.
学生：
多名学生总结（尽量多的角度）.
设计意图：
梳理本节课的学习脉络，引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养，锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握研究一般数学问题的方法和基本数学思维方法，感受数学美．渗透数学史,与创设情景进行了前后呼应，强调了二项式定理数学价值，也进行了二项式定理到广义二项式定理的简单介绍，体现了定理的广泛应用性，以及它对科学界的重大贡献，倡导同学们的探索之旅不止步于课堂能够在课后有更多的探索和学习．
（五）当堂检测，查缺补漏
教师：
引导学生自主完成当堂检测.深化对定理的理解,检测定理掌握情况,查缺补漏.
学生：
完成当堂检测，将答案上传.
媒体作用：
全班做答、PK作答：借助智慧课堂,提升学生的作答兴趣，反馈正答情况提高课堂效率.
设计意图：
通过问题检测学生的知识掌握情况，让学生熟悉二项展开式及其通项，巩固所学知识．
（六）分层作业，巩固延伸
教师：
分层次布置作业，引导学生进行思维延展.
学生：
课后完成必做，选做，思想延展.
设计意图：
学生对本节课重点知识的进行巩固训练，提升运用所学知识解决问题的能力,为有自主学习能力的学生课后继续探究埋下伏笔．