人教版（2024）五年级下册最大公因数练习

这是一份人教版（2024）五年级下册最大公因数练习，共11页。试卷主要包含了只有公因数1，直接写出各组数的最大公因数等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•相城区）如果a是一个不为0的自然数，那么a和（a+1）的最小公倍数是它们最大公因数的（ ）倍。
A．aB．a+1C．a（a+1）D．1
2．（2025春•浏阳市期末）下面各组数中，（ ）只有公因数1。
A．12和15B．8和9C．21和35
3．（2025春•黔南州期末）48和60的最大公因数是（ ）
A．4B．6C．12D．36
二．填空题（共3小题）
4．（2025•芙蓉区）有一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米．现在要在四边种上树，如果四边上每两棵树的间隔距离都相等，至少要种 棵树。
5．（2025•岳麓区）（最大公因数）将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，那么剩余部分的管子最少是 厘米。
6．（2025春•巨鹿县期末）把3045化成最简分数，可以用短除法（如图）：45和30的最大公因数是（ ），3045化成最简分数是（ ）。
三．判断题（共3小题）
7．（2025•庆城县）一个质数和一个合数的最大公因数是1。
8．（2025春•莱西市期末）a和b为非零自然数，a+b＝12，a和b的最大公因数是12。
9．（2025•五莲县）A＝2×5×2×3，B＝2×3×3×7，A和B的最大公因数是6。
四．计算题（共1小题）
10．（2025春•大兴区期中）直接写出各组数的最大公因数。
（4，5）＝
（9，45）＝
（12，18）＝
（21，35）＝
（尖子生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业4.4.1最大公因数
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
一．选择题（共3小题）
1．（2025•相城区）如果a是一个不为0的自然数，那么a和（a+1）的最小公倍数是它们最大公因数的（ ）倍。
A．aB．a+1C．a（a+1）D．1
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】数的整除；运算能力．
【答案】C
【分析】求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。
【解答】解：因为a是一个不为0的自然数，所以a和a+1是相邻的正整数，它们是互质数，所以a和a+1的最小公倍数是a（a+1），最大公因数是1。
a（a+1）÷1＝a（a+1）
所以a和a+1的最小公倍数是它们最大公因数的a（a+1）倍。
故选：C。
【点评】明确互质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积是解题的关键。
2．（2025春•浏阳市期末）下面各组数中，（ ）只有公因数1。
A．12和15B．8和9C．21和35
【考点】因数、公因数和最大公因数．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】依次分析每个选项中两个数的公因数，判断是否只有公因数1。
【解答】解：选项 A：12的因数有1、2、3、4、6、12，15的因数有1、3、5、15，它们的公因数有1、3，不是只有公因数1。
选项 B：8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，它们的公因数只有1。
选项 C：21的因数有1、3、7、21，35的因数有1、5、7、35，它们的公因数有1、7，不是只有公因数1。
答：只有公因数1的是8和9.
故选：B。
【点评】本题考查公因数的概念。
3．（2025春•黔南州期末）48和60的最大公因数是（ ）
A．4B．6C．12D．36
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。
【解答】解：48＝2×2×2×2×3
60＝2×2×3×5
48和60的最大公因数是：2×2×3＝12
故选：C。
【点评】本题主要考查了最大公因数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
二．填空题（共3小题）
4．（2025•芙蓉区）有一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米．现在要在四边种上树，如果四边上每两棵树的间隔距离都相等，至少要种 26 棵树。
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【答案】26。
【分析】先求出60、72、96、84四个数的最大公因数，先把这四个数进行分解质因数，这四个数的公有质因数的连乘积是这四个数的最大公约数；由此解答求出每两棵树的间隔距离，进而根据栽树的棵数与四边分成的段数相等，进而解答即可。
【解答】解：60＝2×2×3×5
72＝2×2×2×3×3
96＝2×2×2×2×2×3
84＝2×2×3×7
则60、72、96、84四个数的最大公因数是2×2×3＝12，
即每两棵树的间隔是12米，所栽树的棵数最少，即：
60÷12+72÷12+96÷12+84÷12
＝5+6+8+7
＝26（棵）
答：至少要种26棵树；
故答案为：26。
【点评】此题主要考查求几个数的最大公约数的方法：几个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除解答。
5．（2025•岳麓区）（最大公因数）将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，那么剩余部分的管子最少是 8 厘米。
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先截36厘米的9根，再截24厘米的2根，这样剩余部分的管子最少，据此解答
【解答】解：380﹣36×9﹣24×2
＝380﹣324﹣48
＝56﹣48
＝8（厘米）
答：剩余部分的管子最少是8厘米。
故答案为：8。
【点评】此题考查的目的是理解掌握“包含”除法的意义及应用，有余数除法的计算法则及应用。
6．（2025春•巨鹿县期末）把3045化成最简分数，可以用短除法（如图）：45和30的最大公因数是（ 15 ），3045化成最简分数是（ 23 ）。
【考点】求几个数的最大公因数的方法；最简分数．
【专题】推理能力．
【答案】15； 23。
【分析】题干中是用短除法求两个数的最大公因数，要将短除法中最左边一列的数相乘即为这两个数的最大公因数，3乘5得15，由此可知30与45的最大公因数是15，给题干中分数的分母与分子同时除以15，即可将这个分数化为最简分数。
【解答】解：把3045化成最简分数，可以用短除法（如图）：45和30的最大公因数是15，3045化成最简分数是23。
故答案为：15；23。
【点评】本题主要考查了最大公因数与最简分数的灵活运用。
三．判断题（共3小题）
7．（2025•庆城县）一个质数和一个合数的最大公因数是1。 ×
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】数感．
【答案】×
【分析】质数2和合数6的最大公因数是2，据此判断即可。
【解答】解：质数2和合数6的最大公因数是2，不是1；所以原说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了求最大公因数的方法，运用具体数据解答。
8．（2025春•莱西市期末）a和b为非零自然数，a+b＝12，a和b的最大公因数是12。 ×
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】×。
【分析】a和b为非零自然数且a+b＝12，它们的最大公因数是否为12需验证。通过举例不同组合，发现最大公因数可能为1、2、3、4、6等，因此不一定为12。
【解答】解：假设a＝11，b＝1，
则最大公因数为1；
若a＝6，b＝6，
最大公因数为6；
若a＝9，b＝3，最大公因数为3。
因此，a和b的最大公因数不一定是12。
即a和b为非零自然数，a+b＝12，a和b的最大公因数是12。该说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了求两个数最大公因数问题的应用。
9．（2025•五莲县）A＝2×5×2×3，B＝2×3×3×7，A和B的最大公因数是6。 √
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】运算能力．
【答案】√。
【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。据此解答。
【解答】解：A＝2×5×2×3，B＝2×3×3×7，所以A和B的最大公因数是2×3＝6。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数是解题的关键。
四．计算题（共1小题）
10．（2025春•大兴区期中）直接写出各组数的最大公因数。
（4，5）＝
（9，45）＝
（12，18）＝
（21，35）＝
【考点】求几个数的最大公因数的方法．
【专题】运算能力．
【答案】1；9；6；7。
【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。
【解答】解：4和5是互质数，最大公因数是1。
（4，5）＝1
9和45是倍数关系，最大公因数是9。
（9，45）＝9
12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最大公因数是2×3＝6。
（12，18）＝6
21＝3×7
35＝5×7
21和35的最大公因数是7。
（21，35）＝7
【点评】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法及应用。
考点卡片
1．因数、公因数和最大公因数
【知识点解释】
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：互质的两个数没有公约数． × ．
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12． √ ．
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
2．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果A是B的15，A和B的最小公倍数是B ，它们的最大公因数是A ．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的15，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例2：甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12 ，最小公倍数 120 ．
分析：根据甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲＝2×2×2×3；
乙＝2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3＝12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5＝120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
3．最简分数
【知识点归纳】
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数．如：23，89，38等．
【命题方向】
常考题型：
例1：分数单位是16的最简真分数的和是 1 ．
分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数，据此找出分数单位是16的最简真分数，把它们求和即可．
解：分数单位是16的最简真分数有：16、56，
它们的和是：16+56=1；
故答案为：1．
本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是16的最简真分数，再求和．
例2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数． √ ．
分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断．
解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数的说法是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数．

题号
1
2
3
答案
C
B
C