初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.6 菱形精品课时作业

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一、夯实基础
1．（2024八下·祁东期末）下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（ ）
A．AB⊥ADB．AB=BCC．∠BAD=∠ABCD．AD=BC
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A.当AB⊥AD时，▱ABCD不是菱形，故选项A不符合题意；
B. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意；
C.当∠BAD=∠ABC时，▱ABCD不是菱形，故选项C不符合题意；
D. 当AD=BC时，▱ABCD不是菱形，故选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·惠阳期中）连接对角线相等四边形各边的中点得到的是什么四边形？（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，
∵点E、F、G、H是AD、CD、BC、AB的中点，
∴EF、FG、HG、EH分别是△ACD、△BCD、△ABC、ABD的中位线，
∴EF=12AC，FG=12BD，HG=12AC，EH=12BD，
∴EF=FG=HG=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理，得到EF=FG=HG=EH，根据四边相等的四边形是菱形即可得解.
3．（2024八下·乌鲁木齐期末）如图，在作线段AB的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，
∴AD=DB=BC=CA，
∴四边形ADBC是菱形．
故选：B．
【分析】根据基本作图，得到AD=DB=BC=CA，因为四边相等的四边形是菱形，可以判定四边形ADBC是菱形．
4．（2024八下·定兴期末）下列命题中，为真命题的是( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线相等的平行四边形是菱形； ④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A．①②B．①④C．②④D．③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】
①、 对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题，故①正确
②、 对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故②错误
③、 对角线相等的平行四边形是菱形是假命题，故③错误
④ 、有一个角是直角的平行四边形是矩形是真命题，故④正确
故选B.
【分析】
①、 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理
②、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③、 对角线相等的平行四边形是矩形
④ 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义.
5．（2024八下·台安期中）如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（ ）
A．20B．24C．40D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于O，
在▱ABCD中，AB=BC=5，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵对角线BD=8，
∴BO=4，
在Rt△AOB中，AO=AB2−BO2=52−42=3，
∴AC=2AO=6，
∴菱形ABCD的面积为12BD×AC=12×8×6=24．
故答案为：B．
【分析】连接AC交BD于O，根据菱形判定定理可得四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，BO=4，再根据勾股定理可得AO，则AC=2AO=6，再根据菱形面积即可求出答案.
6．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （ ）
A．①B．①③C．②④D．①③④
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
7．（2023八下·蒙城期末）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么这个四边形的邻边 ．（填“相等”或“不相等”）．
【答案】相等
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形为菱形
则这个四边形为菱形，邻边相等。
故答案为：相等
【分析】根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
8．（2024八下·龙沙期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ．
【答案】AB=AD（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形；
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【分析】根据菱形的判定定理即可求出答案.
9．（2024八下·罗定期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若OA=2，则四边形CODE的周长为 ．
【答案】8
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，OA=2，
∴OC=OD=OA=OB=2，
∵CE∥BD,DE∥AC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
又∵OD=OC，
∴四边形DOCE是菱形，
∴四边形CODE的周长=2×4=8，
故答案为：8．
【分析】由矩形的性质可得OC=OD=OA=OB=2，通过证明四边形DOCE是菱形，可求解．
10．（2023八下·抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F．求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠1=∠2
∵O为BD的中点
∴BO=DO
∵∠BOE=∠DOF
∴△OBE≌△ODF（ASA）
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵EF⊥BD
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠1=∠2，再根据线段中点可得BO=DO，由全等三角形判定定理可得△OBE≌△ODF（ASA），则BE=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
11．（2024八下·赤坎期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．求证：四边形ADEF是菱形．
【答案】解：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，
∴DE∥AF,∠AED=∠FAE，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠EAD=∠FAE，
∴∠EAD=∠AED，
∴AD=DE，
∴四边形ADEF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质及已知条件可得四边形ADEF是平行四边形，再证明AD=DE即可证明结论．
二、能力提升
12．（2025八下·路桥期中）下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的两条对角线互相垂直
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．平行四边形的四条边相等
D．四个角相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两条对角线互相平分，而菱形的对角线才互相垂直，故结论错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故结论错误；
C、平等四边形的对边相等，而菱形的四条边才相等，故结论错误；
D、由于四边形的内角和是360度，当四个角相等时每一个角都是90度，则四边形肯定是矩形，故结论正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等、邻角互补；菱形、矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，但区别在于菱形的四条边相等，对角线互相垂直；而矩形的四个角都是直角，对角线相等，注意区别.
13．（2024八下·旅顺口期中）如图，将一张矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得AF=DF=12AD，BH=CH=12BC，AG=BG=12AB，DE=CE=12DC，
∴AF=DF=BH=CH，AG=BG=DE=CE，
∴△AFG≌△BHG≌△CHE≌△DFE(SAS)，
∴FG=GH=HE=EF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH，EG=BC=4，FH=AB=2，
∴S菱形EFGH=12×4×2=4，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质和折叠得到△AFG≌△BHG≌△CHE≌△DFE，即可得到FG=GH=HE=EF，进而可得EFGH是菱形，即可得到EG=BC=4，FH=AB=2，利用菱形的面积公式解答即可．
14．（2025八下·来宾期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，AC=8，点D为AB中点，以AD，CD为边作平行四边形ADCE，则DE的长为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴平行四边形ADCE为菱形，
∴DE⊥AC，
∴DE∥BC，
又菱形ADCE中EC∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=6，
∴ED=BC=6，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得CD=12AB=AD，根据菱形判定定理可得平行四边形ADCE为菱形，则DE⊥AC，根据直线平行判定定理可得DE∥BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形BCED是平行四边形，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2025八下·来宾期中）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5,DE=6，则AG的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接EG，设AG与DE相交于点O，如图：
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG，
∴AE=DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
又∵AD=DG，
∴平行四边形ADGE是菱形，
∴OA=12AG，OD=12DE=12×6=3．
在Rt△AOD中，OA=52−32=52−32=4，
∴AG=2AO=8，
故答案为：B．
【分析】连接EG，设AG与DE相交于点O，由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，则∠1=∠2，根据平行四边形性质可得CD∥AB，则∠2=∠3，即∠1=∠3，根据等角对等边可得AD=DG，则AE=DG，根据菱形判定定理可得平行四边形ADGE是菱形，则OA=12AG，OD=12DE=12×6=3，再根据勾股定理即可求出答案.
16．（2024八下·绵阳期末）如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E为AD中点，若∠AOE=∠OAE=25°，则∠BDC=（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOE=∠OAE=25°
∴EA=EO
∵点E为AD中点
∴EA=ED
∴ED=EO
∴∠EDO=∠EOD
∵∠EAO+∠EOA+∠EOD+∠EDO=180°
∴2∠EOA+2∠EOD=180°
∴∠EOA+∠EOD=90°
∴∠AOD=90°
∴▱ABCD是菱形，∠ADO=90°−∠EAO=65°
∴∠BDC=∠ADB=65°
故答案为：D．
【分析】根据等角对等边和中点的概念得到DE=AE=EO，由等边对等角得∠EDO=∠EOD，结合三角形的内角和定理可求出∠AOD=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADO得度数，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得平行四边形ABCD是菱形，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角可得答案.
17．（2024八下·绥阳期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5cmB．4.8cmC．4.6cmD．4cm
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AC,BD，交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AD于点G，
根据平行线间的距离处处相等，得到BG=DF，
∵∠DAF=∠BAG∠DFA=∠BGADF=BG
∴△DAF≌△BAGAAS，
∴AB=AD，
∵AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴四边形ABCD是菱形；
∴∠AOB=90°,OA=12AC=3,OB=12BD=4；
∴AB=OA2+OB2=5cm；
故选：A．
【分析】
首先由对边分别平行可判定四边形ABCD是平行四边形，再由于高相等可利用等面积法可判定平行四边形ABCD是菱形，再由菱形的性质即对角线互相垂直平分即可利用勾股定理求得AB的值．
18．（2024八下·东莞期中）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】AB=BE（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：添加AB=BE，
∵将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形ABED是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
19．（2024八下·桃源期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF=6，则四边形AEDF的周长是 ．
【答案】24
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠BAD=∠EDA，
∴AE=ED，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又AE=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴AE=ED=DF=FA=6，
∴四边形AEDF的周长为：AE+ED+DF+FA=24，
故答案为：24．
【分析】先根据DE∥AC，DF∥AB则四边形AEDF是平行四边形，再根据平行线的性质，角平分线的性质，得出AE=ED，从而可证明四边形AEDF是菱形，即可利用菱形的性质求得其周长．
20．（2024八下·旌阳期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG=30°，则下列结论：①DC=3OG；②OG=12BC；③四边形AECF为菱形；④S△AOE=16S四边形ABCD．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO=AE2+OE2=3a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=23a，
∴BC=12AC=12×23a=3a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，
∴此结论符合题意；
②∵OG=a，12BC=32a，
∴OG≠12BC，
∴此结论不符合题意；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△OAE和△OCF中
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=CF，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴此结论符合题意；
④∵S△AOE=12a⋅3a=32a2，S矩形ABCD=3a•3a=33a2，
∴S△AOE=16S矩形ABCD，
∴此结论符合题意.
综上可得，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断此结论正确，
②结合①的结论可判断此结论错误；
③由题意，用角边角可证△OAE≌△OCF，由全等三角形的对应边相等可得AE=CF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断结论正确；
④根据三角形的面积和矩形的面积列式即可判断结论正确．
21．（2025八上·梓潼期末）如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2，∠FAC=30°，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△AFD和△CED中，
∠FAD=∠ECD∠AFD=∠CEDAD=CD
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠ACB=∠FAC=30°，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴AC=BC2−AB2=23．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可得△AFD≌△CED，由全等三角形的对应边相等可得AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（2）证明∠ACB=∠FAC=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得BC=2AB求得BC的值，再用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△AFD和△CED中，
∵∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，AD=CD，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠ACB=∠FAC=30°，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴AC=BC2−AB2=23．
三、拓展提升
22．（2024八下·朝阳期末）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，点P、点Q分别在边AB、CD上，且AP=CQ．连结AQ、DP相交于点M，连结CP、BQ相交于点M．
（1）当AP=2时，∠AQB大小为 度．
（2）求证：四边形PMQN是平行四边形．
（3）当AP=8时，求证：四边形PMQN是矩形
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）90
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，AD∥BC,AB∥CD，
∴AP∥CQ,，
∵AP=CQ
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ∥PC，则NQ∥PM，
∵AB=CD=10，AP=CQ
∴BP=DQ，
∵AB∥CD
∴BP∥DQ
∴四边形BPDQ是平行四边形，
∴BQ∥PD，则PN∥QM
∴四边形PMQN是平行四边形；
（3）解：当AP=8时，如图1所示，
由（2）可知，四边形PMQN是平行四边形；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，
∵AP=8
∴AP=CQ=8，
∴DQ=CD−CQ=10−8=2，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ2=AD2+DQ2=20，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得到BQ2=BC2+CQ2=80，
在Rt△ABQ中，AB2=100，
∴AQ2+BQ2=AB2，
∴△ABQ是直角三角形，AB是斜边，
∴∠AQB=90°
∴四边形PMQN是矩形；
（4）当四边形BPDQ或四边形APCQ是菱形时，其边长为5.8．当四边形PMQN是菱形时，其边长为412
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，AB=10，BC=4
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，
∵AP=2
∴AP=CQ=2．
∴DQ=CD−CQ=10−2=8
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ2=AD2+DQ2=80，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得到BQ2=BC2+CQ2=20，
在Rt△ABQ中，AB2=100，
∴AQ2+BQ2=AB2，
∴△ABQ是直角三角形，AB是斜边，
∴∠AQB=90°
故答案为：90
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当AP=CQ=5.8，四边形APCQ是菱形，其边长为5.8，
理由如下：
∵AB=CD=10，BC=AD=4，
∴DQ=CD−CQ=4.2
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ=AD2+DQ2=5.8，
∴AP=AQ，
由（2）可知，四边形APCQ是平行四边形；
∴四边形APCQ是菱形，其边长为5.8，
②当AP=CQ=4.2，四边形BPDQ是菱形，其边长为5.8，如图3所示，
理由如下：∵AB=CD=10，BC=AD=4，
∴DQ=CD−CQ=5.8
在Rt△APD中，由勾股定理得到DP=AD2+AP2=5.8，
∴DP=DQ，
由（2）可知，四边形BPDQ是平行四边形；
∴四边形BPDQ是菱形，其边长为5.8，
③当AP=CQ=5，四边形PMQN是菱形，其边长为412，如图4，
理由如下：
连接PQ，
在Rt△APD中，由勾股定理得到DP=AD2+AP2=41，
∵AB=CD=10，AP=CQ=5，
∴点P、Q分别是AB、CD的中点，
∴DQ∥AP,DQ=AP，
∴四边形APQD是矩形，
∴AQ=DP=41，
∴QN=PN=412，
由（2）可知，四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN是菱形，边长为412，
综上可知，当四边形BPDQ或四边形APCQ是菱形时，其边长为5.8．当四边形PMQN是菱形时，其边长为412
【分析】（1）根据矩形性质可得AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，再根据边之间的关系可得AP=CQ=2，DQ=8，再根据勾股定理及勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得AB=CD=10，BC=AD=4，AD∥BC,AB∥CD，则AP∥CQ,，根据平行四边形判定定理可得四边形APCQ是平行四边形，则AQ∥PC，则NQ∥PM，根据边之间的关系可得BP=DQ，根据平行四边形判定定理可得四边形BPDQ是平行四边形，则BQ∥PD，则PN∥QM，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）由（2）可知，四边形PMQN是平行四边形，根据矩形性质可得AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，根据边之间的关系可得AP=CQ=8，DQ=2，再根据勾股定理及勾股定理逆定理可得△ABQ是直角三角形，AB是斜边，则∠AQB=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当AP=CQ=5.8，四边形APCQ是菱形，其边长为5.8，②当AP=CQ=4.2，四边形BPDQ是菱形，其边长为5.8，③当AP=CQ=5，四边形PMQN是菱形，其边长为412，根据边之间的关系可得Q，再根据勾股定理即可求出答案；
（1）解：∵四边形ABCD为矩形，AB=10，BC=4
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，
∵AP=2
∴AP=CQ=2．
∴DQ=CD−CQ=10−2=8
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ2=AD2+DQ2=80，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得到BQ2=BC2+CQ2=20，
在Rt△ABQ中，AB2=100，
∴AQ2+BQ2=AB2，
∴△ABQ是直角三角形，AB是斜边，
∴∠AQB=90°
故答案为：90
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，AD∥BC,AB∥CD，
∴AP∥CQ,，
∵AP=CQ
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ∥PC，则NQ∥PM，
∵AB=CD=10，AP=CQ
∴BP=DQ，
∵AB∥CD
∴BP∥DQ
∴四边形BPDQ是平行四边形，
∴BQ∥PD，则PN∥QM
∴四边形PMQN是平行四边形；
（3）解：当AP=8时，如图1所示，
由（2）可知，四边形PMQN是平行四边形；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠ADC=∠BCD=90°，
∵AP=8
∴AP=CQ=8，
∴DQ=CD−CQ=10−8=2，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ2=AD2+DQ2=20，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得到BQ2=BC2+CQ2=80，
在Rt△ABQ中，AB2=100，
∴AQ2+BQ2=AB2，
∴△ABQ是直角三角形，AB是斜边，
∴∠AQB=90°
∴四边形PMQN是矩形；
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当AP=CQ=5.8，四边形APCQ是菱形，其边长为5.8，
理由如下：
∵AB=CD=10，BC=AD=4，
∴DQ=CD−CQ=4.2
在Rt△ADQ中，由勾股定理得到AQ=AD2+DQ2=5.8，
∴AP=AQ，
由（2）可知，四边形APCQ是平行四边形；
∴四边形APCQ是菱形，其边长为5.8，
②当AP=CQ=4.2，四边形BPDQ是菱形，其边长为5.8，如图3所示，
理由如下：∵AB=CD=10，BC=AD=4，
∴DQ=CD−CQ=5.8
在Rt△APD中，由勾股定理得到DP=AD2+AP2=5.8，
∴DP=DQ，
由（2）可知，四边形BPDQ是平行四边形；
∴四边形BPDQ是菱形，其边长为5.8，
③当AP=CQ=5，四边形PMQN是菱形，其边长为412，如图4，
理由如下：
连接PQ，
在Rt△APD中，由勾股定理得到DP=AD2+AP2=41，
∵AB=CD=10，AP=CQ=5，
∴点P、Q分别是AB、CD的中点，
∴DQ∥AP,DQ=AP，
∴四边形APQD是矩形，
∴AQ=DP=41，
∴QN=PN=412，
由（2）可知，四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN是菱形，边长为412，
综上可知，当四边形BPDQ或四边形APCQ是菱形时，其边长为5.8．当四边形PMQN是菱形时，其边长为412