湘教版（2024）八年级下册（2024）1.6 菱形学案

这是一份湘教版（2024）八年级下册（2024）1.6 菱形学案，共8页。学案主要包含了复习回顾，新知探究，例题精讲，课堂练习，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握菱形的定义，能区分菱形与一般平行四边形、矩形的差异。
2.理解并证明菱形的边、对角线及对称性相关性质，能运用性质解决面积、周长计算问题。
3.通过性质的探究与证明，提升逻辑推理和几何问题分析能力。
4.体会菱形在生活中的应用价值，培养几何知识的综合运用意识。
学习重点：
菱形的边和对角线相关性质的推导与应用。
学习难点：
运用菱形对角线互相垂直的性质结合勾股定理解决边长计算问题。
► 教学过程
一、复习回顾
回顾：平行四边形的性质是什么？
二、新知探究
探究一：菱形的定义
教材第33页
【观察】观察下面图形中的平行四边形，这些平行四边形的四条边有什么关系？
【定义】菱形的定义：
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
注意：作为一种特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形的所有性质。
探究二：菱形的性质定理1
【思考】菱形的四条边相等吗？
【归纳】菱形的性质定理1：
菱形的四条边__________.
探究三：菱形的性质定理2
【探究】由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分.除此之外，菱形的对角线还有什么关系？
【归纳】菱形的性质定理2：
菱形的对角线__________.
探究四：菱形的对称性
【想一想】菱形是不是中心对称图形?如果是，那么对称中心是什么？
【做一做】把图中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则
(1)点A的像是点C，点C的像是________，点D的像是________ ，点B的像是________；
(2)边AD的像是边CD，边CD的像是________ ，边AB的像是________，边CB的像是________.
【归纳】菱形的对称性：
1.菱形是_________________图形，对角线的交点是它的____________.
2.菱形是_________________图形，两条对角线所在直线都是它的_________.
探究五：菱形的面积
【议一议】如图，菱形ABCD的面积S与对角线AC，BD的长有什么关系？将你的想法与同学交流.
三、例题精讲
例1菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4cm，3cm，如图所示，求菱形ABCD的面积和周长.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．四个角都是直角
2.菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（ ）
A．13B．52C．120D．240
3.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．25°B．65°C．75°D．85°
选做题
4.如果菱形的高是3cm，且相邻两个内角的度数之比为1：5，那么这个菱形的边长为 cm．
5.菱形ABCD的对角线AC=6，菱形ABCD的面积为12，则另一条对角线BD的长为 ．
6.如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么?
六、作业布置
1.如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O．若AO=3,BO=4，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
2.如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．若BC=4，则OE的长为（ ）
A．4B．3C．23D．2
3.如图，周长为24的菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别是AB,AD边上的动点，点P为对角线BD上一动点，则线段PE+PF的最小值为（ ）
A．33B．43C．53D．63
4.如图，在菱形ABDC中，点E，F分别在边CD,BD上，且DE=DF．求证：∠1=∠2．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分；
菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等，
故B正确．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24，
∴菱形的面积=12×AC×BD=12×10×24=120，
故答案为：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，∠2=∠ABD，
∵∠ABD=180°−90°−25°=65°，
∴∠2=65°，
故选：B．
4.【答案】6
【解析】解：
如图所示∶过点D作DE⊥AB于点E，
四边形ABCD是菱形，相邻两内角的度数之比为1：5
∴∠A+∠ADC=180°则∠A=16×180°=30°，
在Rt△ADE中，
∵∠A=30°，
∴DE=3cm,
∴AD=2DE=6cm，
即菱形的边长为∶6cm．
故答案为∶6．
5.【答案】4
【解析】解：∵菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=12，且AC=6
∴BD=2×12AC=4，
故答案为：4．
6.【答案】10．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=10，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=10．
故答案为：10．
7.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：∵在菱形ABCD中，AC,BD交于点O，
∴AO=OC=3，∠BOC=90°，
∴BC=OC2+BO2=32+42=5，
故答案为：A．
2.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD⊥OB，CD=BC，
∵点E是CD的中点，BC=4，
∴OE=12CD=12BC=2，
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：连接AC交BD于点O，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，如图，
∴∠FQD=∠F'QD=90°.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，∠ADP=∠CDP，∠BAC=∠DAC=60°，CD=AD，AB//CD，
∴△ACD是等边三角形.
又∵DQ=DQ，
∴△FDQ≌△F'DQ（ASA），
∴FQ=F'Q.
∴F和F'关于BD对称，
∴EP+FP=EP+F'P≥EF'，故当E，P，F'三点共线时，EP+FP最小，最小值为EF'.
∵ 点E，F分别是AB，AD边上的动点，
∴EF'⊥CD时，EF'最小，
根据平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，如图所示：
此时AF'最小.
∵△ACD是等边三角形，
∴CF'=DF'=12CD.
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=AD=CD=6，
∴DF'=3，
∴AF'=AD2−DF'2=62−32=33．
故答案为：A．
4．【答案】证明：∵ABDC为菱形，
∴CD=BD，
在△CDF和△BDE中，
CD=BD∠D=∠DED=DF，
∴△CDF≌△BDESAS，
∴∠1=∠2．