（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第16讲 平面向量及其应用（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
2.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
5.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.
(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量eq \(A′B′,\s\up6(→))__为向量a在直线l上的投影向量或投影.
②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cs〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
6.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
7.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
8.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点和典型例题
1、平面向量基本定理
【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．[6，24]B．[4，22]C．[6，22]D．[4，24]
【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1B．C．D．2
【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
2、坐标运算及其数量积
【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
3、综合应用
【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．2
【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
(1)若，求角的大小；
(2)在（1）的条件下，，求的最大值.
【典例3-6】（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
第16讲 平面向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
2.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
5.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.
(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量eq \(A′B′,\s\up6(→))__为向量a在直线l上的投影向量或投影.
②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cs〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
6.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
7.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
8.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点和典型例题
1、平面向量基本定理
【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，
故选：B
【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，同理
．
故选：B.
【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．[6，24]B．[4，22]C．[6，22]D．[4，24]
【答案】C
【详解】
取EF的中点M，连接CM，则，
，
又，所以，
所以，
当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，
故选：C．
【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】
，而，
故，
而且不共线，故，
故选：C.
【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，
所以存在，使得，即，
即，
因为、不共线，所以，消去，得，
因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
2、坐标运算及其数量积
【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：因为向量，，，
所以，
又，，
所以，解得，
所以向量的坐标为，
故选：D.
【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，
，
则，，，
设，则，
则，，
，，
，，
，
，其中，
，
当时，，当时，，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：A．
【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由，两边平方可得：
，
因为向量，为单位向量，
所以，即.
因为，所以，即与的夹角为.
故选：C
【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
【答案】C
【详解】
由已知，，
所以，，
因为，所以不平行，A错，
因为，所以不垂直，B错，
因为方向上的投影为，C对，
因为，所以不垂直，D错，
故选：C.
3、综合应用
【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：，
则.
故选：A.
【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【详解】
如图，设，
当时，取得最小值，
过作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以，
所以.
故选：A.
【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：因为，，，所以，
即，所以，设与的夹角为，
则，因为，所以；
故选：B
【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】
在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．
设，
则
由，可得
则，解之得，则
则
又，则，解之得，即的长为4
故选：C
【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
(1)若，求角的大小；
(2)在（1）的条件下，，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由题
所以，即
又因为，所以，.
(2)由余弦定理，代入数据得：，
整理得到
解得，当且仅当时，等号成立.
故的最大值为.
【典例3-6】（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：在中，
在中，
∵A，B，C，D四点共圆，∴，
∴，∴，因为，所以，
所以，，
(2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，
所以，
．