高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：4.2 平面向量的基本定理及坐标表示 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：4.2 平面向量的基本定理及坐标表示 word版含答案，共11页。

(1)了解平面向量基本定理及其意义．
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
(3)能用坐标对向量进行线性运算．
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识点一 平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2是表示这一平面内所有向量的一组基底．
易误提醒 平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易忽视的．
[自测练习]
1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1
解析：选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0，))无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,－2＝2λ，))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝－λ，))无解；
选项D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．
答案：D
2.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．b－eq \f(1,2)a B．b＋eq \f(1,2)a
C．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b
解析：eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a.
答案：A
知识点二 平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Aeq \(B,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|Aeq \(B,\s\up6(→))|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
易误提醒
1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．
2．向量平移后坐标不变．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
[自测练习]
3．(2015·西宁期末)若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,4)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(4,6) D．(－4，－6)
解析：本题考查向量的坐标运算.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(4,6)，故选C.
答案：C
4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－2，－4)
C．(－3，－6) D．(－4，－8)
解析：由a∥b得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案：D
考点一 平面向量基本定理及应用|
1．(2015·杭州质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则∠BAC的度数等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：本题考查平面向量加法的几何意义、平面向量共线．取BC的中点D，连接AD，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→)).由题意得3eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，又∵AD为BC的中线，∴O为△ABC的重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.
答案：C
2．(2016·南昌模拟)如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即λ＋μ的值为________．
解析：如图，构成平行四边形，∵∠OCD＝90°，|OC|＝2eq \r(3)，∠COD＝30°，∴|CD|＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝2＝|OE|＝|μ|，|OD|＝eq \f(2\r(3),cs 30°)＝|λ|＝4，注意共线的条件和单位向量有λ＋μ＝6.
答案：6
应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

考点二 平面向量的坐标运算|
(1)(2015·广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
[解析] 由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)，故选A.
[答案] A
(2)(2015·贵阳期末)已知正方形ABCD的边长为1，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________.
[解析] 如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝a＝(0，－1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝b＝(1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝c＝(1，－1)，
∴a＋b＋c＝(2，－2)，|a＋b＋c|＝2eq \r(2).
[答案] 2eq \r(2)
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．


1．(2015·高考江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝－3.
答案：－3
考点三 平面向量共线的坐标表示|
(1)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－eq \f(1,2)b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
[解析] 本题考查向量的坐标运算．依题意得b＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))))＝(－4,2)，2a＋b＝(－2,6)，6x＝－2×3＝－6，x＝－1，故选D.
[答案] D
(2)(2015·东营模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值等于________．
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
平面向量共线的坐标表示问题的常见三种类型及解题策略：
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线．


2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
解析：∵A(1,3)，B(4，－1)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，
∴与eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→)))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
答案：A
14.坐标法在向量问题中的应用
【典例】 给定两个长度为1的平面向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 和 eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心，1为半径的圆弧AB上运动．若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
[思路点拨] 建立平面直角坐标系，求出A，B的坐标，用三角函数表示出C的坐标，最后转化为三角函数求最值．
[解] 以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，则C(cs α，sin α)，
由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋\f(\r(3),3)sin α，,y＝\f(2\r(3),3)sin α，))
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以当α＝eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.
[方法点评] 对于有些向量的应用问题，如果能够具备建系的条件，可适当建立坐标系，问题转化为向量的坐标运算更加简便．
[跟踪练习] 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，则eq \f(λ,μ)＝4.
答案：4
A组 考点能力演练
1．(2015·郑州一模)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是( )
A．0 B．±2
C．2 D．－2
解析：由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2，故选D.
答案：D
2．(2015·抚顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为( )
A.eq \f(1,2)a＋b B．－eq \f(1,2)a－b
C.eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
解析：设c＝xa＋yb，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))则c＝eq \f(1,2)a＋b，故选A.
答案：A
3．在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝yeq \(AN,\s\up6(→))，则x＋y＝( )
A．2 B．1
C．3 D.eq \f(5,2)
解析：因为M，O，N三点共线，所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)，使得eq \(MO,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))，即eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝λ(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→)))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(AN,\s\up6(→))，又O是BC的中点，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(AN,\s\up6(→))，又eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝\f(1,1＋λ)，,\f(y,2)＝\f(λ,1＋λ)，))得eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝eq \f(1,1＋λ)＋eq \f(λ,1＋λ)＝1，即x＋y＝2.
答案：A
4．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(BC,\s\up6(→))，则△APD的面积为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
解析：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以点D是AE的中点，AD＝eq \r(3).取eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)eq \(BC,\s\up6(→))，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).而△APD是直角三角形，AF＝eq \f(1,2)，所以△APD的面积为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),4).
答案：A
5．(2015·怀化一模)如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为( )
A．8＋2eq \r(2) B．8
C．6 D．6＋2eq \r(2)
解析：因为D为AB的中点，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝2xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，因为F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y>0，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝4＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥4＋2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当y＝2x＝eq \f(1,2)时取等号，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为8.
答案：B
6．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))＋zeq \(AS,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.
解析：依题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AS,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AS,\s\up6(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝0.
答案：0
7．已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．
解析：设a＝(x，y)．
∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，
∴eq \r(x2＋y2)＝1，x·y＝0.解得x＝y＝±eq \f(\r(2),2).
∴a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))
8．已知A(－3,0)，B(0，eq \r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
解析：由题意知eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq \r(3))，
由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，
∴tan 150°＝eq \f(\r(3),－3λ)，即－eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),3λ)，∴λ＝1.
答案：1
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，有eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b，求：
(1)3a＋b－3c；
(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)，
(1)3a＋b－3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M的坐标为(0,20)．
又eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N的坐标为(9,2)．
故eq \(MN,\s\up6(→))＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
10.(2015·皖南八校模拟)如图，∠AOB＝eq \f(π,3)，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1，B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量eq \(A1A2,\s\up6(→))与eq \(B1B2,\s\up6(→))表示向量eq \(MN,\s\up6(→))；
(2)求向量eq \(MN,\s\up6(→))的模．
解：(1)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2N,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB1,\s\up6(→))＋eq \(B1B2,\s\up6(→))＋eq \(B2N,\s\up6(→))两式相加，
并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(A1A2,\s\up6(→))＋\(B1B2,\s\up6(→)))).
(2)由已知可得向量eq \(A1A2,\s\up6(→))与eq \(B1B2,\s\up6(→))的模分别为1与2，夹角为eq \f(π,3)，
所以eq \(A1A2,\s\up6(→))·eq \(B1B2,\s\up6(→))＝1，由eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(B1B2,\s\up6(→)))得
|eq \(MN,\s\up6(→))|＝ eq \r(\f(1,4)\(A1A2,\s\up6(→))＋\(B1B2,\s\up6(→))2)
＝eq \f(1,2)eq \r(\a\vs4\al(\(A1A2,\s\up6(→))2＋\(B1B2,\s\up6(→))2＋2\(A1A2,\s\up6(→))·\(B1B2,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(7),2).
B组 高考题型专练
1．(2013·高考陕西卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－eq \r(2) B.eq \r(2)
C．－eq \r(2)或eq \r(2) D．0
解析：由a∥b⇒m2＝1×2⇒m＝eq \r(2)或m＝－eq \r(2).
答案：C
2．(2015·高考四川卷)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.
答案：B
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：设C(x，y)，∵A(0,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－2，))∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴eq \(BC,\s\up6(→))＝(－7，－4)，选A.
答案：A
4．(2015·高考北京卷)在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.
解析：由题中条件得eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,2) －eq \f(1,6)
5．(2015·高考湖北卷)已知向量 eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
解析：因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＝32＝9.
答案：9