数学探索与表达规律练习

这是一份数学探索与表达规律练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图是一幅“三角形图”，第1行有1个三角形，第1、2行共有3个三角形，第1至3行共有7个三角形，第1至4行共有15个三角形……，以此类推，第1至n行共有（ ）个三角形．
A . 2n−1−1 B . 2n−1+1 C . 2n−1 D .2n+1
2.有一组数： −14，39，−516，725，−936... ，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A .(−1)n+12n−1n2
B .(−1)n+12n+1(n+1)2
C .(−1)n2n−1(n+1)2
D .(−1)n2n+1n2
3.如图各图形由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第8个图中黑点的个数是（ ）
A . 79 B . 81 C . 98 D . 119
4.如图中的图案均是由长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根小木棒，第2个图案需13根小木棒，…，依此规律，第11个图案所需木棒根数为（ ）
A . 156 B . 157 C . 158 D . 159
5.将正方形按如图所示的方式排列：第 1 个图形共有 1 个正方形，第 2 个图形共有 3 个正方形，第 3 个图形共有 5 个正方形，……，若第 n 个图形共有 369 个正方形，则 n 的值为（ ）
A . 184 B . 185 C . 186 D . 187
6.把正整数1至2021按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A . 2016 B . 2019 C . 2021 D . 2022
7.对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=﹣ 32 ， 2⊕1= 32 ， （﹣2）⊕5= 2110 ， 5⊕（﹣2）=﹣ 2110 ， …，则（﹣3）⊕（﹣4）=（ ）
A . - 712 B . 712 C . - 2512 D .2512
8.一列数a 1 ， a 2 ， a 3 ， …，其中a 1= 12 ， a n= 11-an-1（a为不小于2的整数），则a 2014=（ ）
A . 12 B . 2 C . -1 D . -2
二、填空题
1.找规律，在横线上填上适当的数： -1， 34 ， - 59 ， 716 ， ________ ．
2.现有一列整数，第一个数为 1 ， 第二个数为 x（ x为正整数），以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如：第三个数是由 x与 1差的绝对值得到，即为 x−1 ， 第四个数是由 x−1与 x差的绝对值得到，即为 x−1−x……以此类推．
①当 x=3时，这列整数的第 6个数为 ________ ．
②要使这列数的前 100个数中恰好有 30个 0 ， 则 x= ________ ．
3.在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则 a+b+c+d+e+f+g+h= ________
4.如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明 117这个分数位于第 ________ 行 ________ 列．
5.某中学把 WIFI密码按照如图规律设置，根据提供的信息可以推断出该中学的 WIFI密码是 ________ ．
6. 观察图，找出规律. ， 则 的值为 ________ .
7.正整数按下图的规律排列.请写出第6行，第5列的数字 ________ .
三、计算题
1.综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
11×2=1−12 ， 12×3=12−13 ， 13×4=13−14 ， 14×5=14−15 ，
独立思考：
（1） 解答王老师提出的问题：第 5个式子为 ________ ，第 n个式子为 ________ ；
实践探究：
（2） 在（ 1）中找出规律，并利用规律计算： 11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022；
问题拓展：
（3） 数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为 2 ， 该小组提出下面的问题，请你解答：求 11×3+13×5+15×7+17×9+⋯+12021×2023；
问题解决：
（4） 求 11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+4+5+⋯+11+2+3+⋯+2022的值．
2.回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
3.认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：
11×2=1−12 ， 12×3=12−13 ， 13×4=13−14 ， 14×5=14−15 ， 15×6=15−16 ， …
用上面的思路，解答下列问题：
（1） 写出上面序列等式的第n个等式；
（2） 计算： 11×3+13×5+15×7+17×9+⋯+12021×2023；
（3） 计算： 11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+4+5+⋯+11+2+3+⋯+2023 ．
4.小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，如表所示：
请你根据表中提供的规律解答下列问题：
（1） 如果 n=8时，那么S的值为 ；
（2） 根据表中的规律猜想：用字母n的式子表示S，则 S=2+4+6+8+…+2n= ；
（3） 利用上题的猜想结果，计算 202+204+206+…+1998+2000的值（要有计算过程）．
四、综合题
1.若一个两位数的十位和个位上的数字分别为m和n，我们可将这个两位数记为 mn .同理，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a，b和c，则这个三位数可记为 abc .
（1） 若 x=2 ，则 2x+x3= ________ ；若 t=4 ，则 t93−5t8= ________ .
（2） mn+nm 一定能被 ________ 整除； mn−nm 一定能被 ________ 整除.（请从大于3的整数中选择合适的数填空）
（3） 任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①“卡普雷卡尔黑洞数”是 ________ .
②若设三位数为 abc （不妨设 a>b>c>0 ），试说明其可产生“卡普雷卡尔黑洞数”.
2.下列是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形.
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1） 第4个图中共有 ________ 根火柴，第6个图中有 ________ 根火柴；
（2） 第 n 个图形中共有 ________ 根火柴（用含n的式子表示）；
（3） 请计算第2008个图形中共有多少根火柴？
3.将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去：
（1） 根据图中的规律补全表：
（2） 第n个图形中有多少个正方形？
（3） 当n=673时，图形中有多少个正方形？
五、解答题
1.在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“ C”，密文“258”翻译成明文为“ CZ”．
（1） 明文“ A”对应的密文为“ ________ ”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“ ________ ”；
（2） 为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”．
①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为 ▲ ；
②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文．
2.从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下所示：
2＝1×2
2＋4＝6＝2×3
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
若用n表示连续相加的偶数的个数，用S表示其和，那么S与n之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2＋4＋6＋…＋2022的值.
3.化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个 C和4个 H ， 分子式是 CH4；第2个结构式中有2个 C和6个 H ， 分子式是 C2H6；第3个结构式中有3个 C和8个 H ， 分子式是 C3H8 ． 按照此规律，回答下列问题：
（1） 第6个结构式的分子式是______；
（2） 第 n个结构式的分子式是______；
（3） 试通过计算说明分子式 C2025H4052的化合物是否属于上述的碳氢化合物？
4.定义一种新运算：观察下列式：
1⊙3=1×4+3=7 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11 5⊙4=5×4+4=24 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13
（1）请你想一想：a⊙b 等于；
（2）若a≠b，那么a⊙b 与b⊙a 的关系
（3）若a⊙（﹣2b）=4，请计算 （a﹣b）⊙（2a+b）的值．
5.将若干个棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体．
（1） 求该几何体的表面积；
（2） 依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了 24层，求该几何体的表面积．
六、阅读理解
1.请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
11×2=1−12 ， 12×3=12−13 ， 13×4=13−14 ，……，19×10=19−110
计算：
（1） 11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+12020×2021 ；
（2） 11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+149×51 .
2.阅读下列材料：
① 11×2＝1- 12 ， 12×3＝ 12- 13 ， 13×4＝ 13- 14…
② 11×3＝ 12×（1- 13）， 13×5=12×(13−15) ， 15×7=12×（____）…
③ 11×4=13×(1−14) ， 14×7=13×(14−17) ， 17×10=13×(17−110)…
根据你发现的规律，解决下列问题：
（1） 写出①组中第5个等式；
（2） 写出①组中第n个等式，并证明；
（3） 计算： 11×5+15×9+19×13+…+ 1397×401.
3.阅读理解：
（1）我们知道1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅+100=5050
一般地：1+2+3+⋅⋅⋅⋅+n=n(n+1)2
（2）22−12=4−1=3=1+2
42−32=16−9=7=3+4
62−52=36−25=11=5+6
则 (2n)2−(2n−1)2= .
并由此结果计算 −12+22−32+42−⋅⋅⋅+1002的值．
（3）数轴上，A、B两点所表示的数分别是a，b，则AB两点之间的距离是AB=|a−b|
若x是一个有理数，设y=|x−3|+|x+1|+|x+5|
问：当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
加数的个数n
连续偶数的和S
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
5
2+4+6+8+10=30=5×6
图形标号
1
2
3
4
5
6
正方形个数
1
4
7
10
________
________
密文I：t
1
2
3
4
…
密文Ⅱ：3t+4
7
10
13
16
…