初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律优质课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律优质课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了a-7，a+8，a-8，a+6，a-6，a+7，a-1，a+1，用代数式表示，隔行有数等内容，欢迎下载使用。
第 1 页：情境导入 —— 生活中的 “隐藏规律”生活实例：日历中的奥秘：观察日历，同一行相邻日期的差是几？同一列相邻日期的差是几？图形的变化：用小木棒摆三角形，摆 1 个用 3 根，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根…… 摆 n 个需要多少根？数字游戏：按规律填数：2，4，6，8，，，第 n 个数是____；思考：这些现象中都藏着固定的规律，如何用我们学过的代数式把规律表达出来？第 2 页：核心方法 —— 探索规律的一般步骤四步流程：观察：对比已知数据 / 图形，找出相同点（不变的部分）和不同点（变化的部分）；猜想：根据变化趋势，猜想变化部分与序号（n）的关系；归纳：用含 n（n 为正整数）的代数式表示规律；验证：代入序号验证代数式是否符合所有已知情况，确保规律成立。一句话口诀：观察找异同，猜想联序号，归纳写代数式，验证定对错！第 3 页：类型 1—— 数字规律探究（基础）例 1：按规律填空，并写出第 n 个数的代数式（1）3，6，9，12，15，，（2）2，5，8，11，14，，（3）1，4，9，16，25，，观察：后一个数比前一个数大 3，序号 1 对应 3×1，序号 2 对应 3×2……猜想：第 n 个数 = 3×n代数式：3n（验证：n=5 时，3×5=15，符合；n=6 时，18，正确）观察：后一个数比前一个数大 3，序号 1 对应 3×1-1=2，序号 2 对应 3×2-1=5……猜想：第 n 个数 = 3n-1代数式：3n-1（验证：n=4 时，3×4-1=11，符合）观察：1=1²，4=2²，9=3²，16=4²……代数式：n²（第 n 个数是序号的平方）小结：数字规律常与 “倍数、差、平方、倒数” 相关，重点关注 “序号 n” 与数字的对应关系。第 4 页：类型 2—— 图形规律探究（直观）例 2：用小木棒摆正方形（如图，摆 1 个正方形用 4 根，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根……）观察图形：摆 1 个：4 根（3×1+1）摆 2 个：4+3=7 根（3×2+1）摆 3 个：7+3=10 根（3×3+1）变化规律：每增加 1 个正方形，增加 3 根小木棒代数式：3n+1（n 为正方形个数）验证：n=4 时，3×4+1=13 根，实际摆放确实需要 13 根，成立！例 3：图形拼接中的规律如图，将大小相同的小长方形拼成一排，拼 1 个长方形用 2 个小长方形，拼 2 个用 3 个，拼 3 个用 4 个……观察：拼 n 个大长方形需要（n+1）个小长方形代数式：n+1（验证：n=1 时，2 个，正确；n=3 时，4 个，正确）第 5 页：类型 3—— 日历中的规律（综合）情境：观察日历表（以某月日历为例）日一二三四五六123456789101112131415161718192021探究 1：同一行相邻日期如：2，3，4，5 → 相邻两个数差 1若中间数为 x，左边数为 x-1，右边数为 x+1；同一行三个连续数和为 (x-1)+x+(x+1)=3x（和是中间数的 3 倍）探究 2：同一列相邻日期如：3，10，17 → 相邻两个数差 7（一周 7 天）若中间数为 x，上面数为 x-7，下面数为 x+7；同一列三个连续数和为 3x探究 3：“田” 字格中的四个数如：9，10，16，17 → 设左上角为 x，则四个数为 x，x+1，x+7，x+8和为：x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=4x+16=4 (x+4)（和是中间两个数平均数的 4 倍）代数式表达：日历中规律的核心是 “相邻行差 7，相邻列差 1”，用字母 x 表示关键数，可推导其他数的表达式。第 6 页：类型 4—— 循环规律探究（周期）例 4：按规律排列的一串数字：1，2，3，1，2，3，1，2，3……观察：周期为 3（1，2，3 重复出现）探究：第 n 个数是什么？当 n 除以 3 余 1 时，数为 1；当 n 除以 3 余 2 时，数为 2；当 n 除以 3 余 0（即整除）时，数为 3；代数式：若 n=3k+1（k 为非负整数），则为 1；n=3k+2，为 2；n=3k，为 3。例 5：图形循环：△□○△□○△□○……周期为 3，第 n 个图形：n=3k+1→△，n=3k+2→□，n=3k→○（k≥0）第 7 页：易错辨析 —— 规律探究 “雷区”错误类型错误示例（以例 2 摆正方形为例）正确思路错误原因误把 “变化量” 当 “总量”认为摆 n 个正方形用 3n 根（忽略初始 1 根）3n+1（初始 1 根，每增加 1 个加 3 根）未考虑初始固定的数量，只看变化部分序号与规律不匹配把第 1 个数对应 n=0，导致代数式错误序号从 1 开始，确保 n=1 时符合第一个数据序号起点混乱，导致规律偏移未验证规律猜想摆 n 个正方形用 4n 根，未验证 n=2 时是否符合验证 n=2：4×2=8≠7，修正规律只猜想不验证，忽略例外情况循环规律漏找周期数字 1，2，1，2，1，2…… 认为第 n 个数是 n+1周期为 2，第 n 个数：n 为奇数是 1，偶数是 2未发现循环周期，强行找线性关系第 8 页：基础练习 —— 规律表达数字规律：（1）-1，2，-3，4，-5，，，第 n 个数是____；（答案：6，-7；(-1)ⁿn）（2）1，3，5，7，9，，，第 n 个数是____；（答案：11，13；2n-1）图形规律：用棋子摆成一列图案，摆 1 个用 6 枚，摆 2 个用 11 枚，摆 3 个用 16 枚…… 摆 n 个用____枚棋子；（答案：5n+1）日历规律：日历中，若某列三个连续日期的和为 60，这三个日期分别是____；（答案：13，20，27；设中间数为 x，3x=60→x=20）第 9 页：提高练习 —— 综合规律探究观察下列等式：1×2 = ½(1×2×3 - 0×1×2)2×3 = ½(2×3×4 - 1×2×3)3×4 = ½(3×4×5 - 2×3×4)……猜想第 n 个等式，并验证其正确性。代数式：n (n+1) = ½[n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]验证：右边 =½[n (n+1)(n+2 - n + 1)]=½[n (n+1)×3]？不，展开右边：½[n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)] = ½n (n+1)[(n+2)-(n-1)] = ½n (n+1)×3？不对，重新计算：正确展开：n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1) = n (n+1)[(n+2)-(n-1)] = n (n+1)×3？不，原题等式右边计算结果应为 n (n+1)：实际验证 n=1：右边 =½(1×2×3 - 0)=3？不对，原题等式应为 1×2=½(1×2×3 - 0×1×2)=3？不，1×2=2，½(6-0)=3，矛盾，修正等式后推导：正确等式应为 1×2=½(1×2×3 - 0×1×2)→2=3？错误，调整示例：1×2= (1×2×3)/3 - 0，2×3=(2×3×4)/3 - (1×2×3)/3，规律为 n (n+1)= [n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]/3，验证 n=1：(6-0)/3=2，正确；代数式：n (n+1)= [n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]/3。图形规律：如图，第 n 个图形由多少个小圆圈组成？（图形描述：第 1 个图形 1 个圈，第 2 个图形 3 个圈，第 3 个图形 6 个圈，第 4 个图形 10 个圈……）规律：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4……代数式：n (n+1)/2（第 n 个图形是前 n 个正整数的和）第 10 页：生活应用 —— 规律的实际价值情境 1：手机套餐收费：每月基本费 20 元，每通话 1 分钟加收 0.1 元，通话 n 分钟的总费用是多少？规律：总费用 = 基本费 + 通话费代数式：20 + 0.1n（元）应用：通话 100 分钟，总费用 = 20+0.1×100=30 元。情境 2：叠纸游戏：一张纸对折 1 次有 2 层，对折 2 次有 4 层，对折 3 次有 8 层…… 对折 n 次有多少层？规律：2=2¹，4=2²，8=2³……代数式：2ⁿ（层）应用：对折 5 次，层数 = 2⁵=32 层。第 11 页：知识小结核心思维：观察→猜想→归纳→验证（缺一不可）；常见类型：数字规律（倍数、差、平方）、图形规律（变化量 + 初始量）、循环规律（找周期）、日历规律（差 7 差 1）；关键技巧：用序号 n 连接变化部分，代数式要简洁，务必验证；价值：规律表达是用代数解决实际问题的重要环节，为后续函数学习奠定基础。
找规律，填数。(1)1，3，5，7，9，_______，______；(2)3，6，9，12，15，______，_______；(3)5，10，15，20，25，_______，_______。
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字 1，2，3，4，5，……，请问数字 20 落在哪个手指上？
你们能很快地说出数字 200落在哪个手指上吗？2000 呢？
探究1：观察日历图，日历图中的数有什么规律?
提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；(2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系；
(3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系；(4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = ______
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
你们能很快地说出数字 200 落在哪个手指上吗？2000 呢？
小拇指：8 的倍数 - 3
8×25 + 1 = 201，
8×250 + 1 = 2001，
大拇指：8 的倍数 + 1
8 的倍数都落在食指上
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘 2，然后加 3，再将所得新数乘 5，最后将得到的数加个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
你知道是怎样算出来的吗？
假设这个两位数十位上的数字为 a，个位上的数字为 b。
则这个两位数可表示为 (10a + b)
(2a + 3)×5 + b = 10a + b + 15
新数字比原来的数字大 15。
(1) 一个三位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。你能说明其中的道理吗?
因为 99a 和 9b 都能被 3 整除，若 a + b + c 也能被 3 整除，则该三位数 abc 可以被 3 整除，所以，一个三位数能不能被 3 整除，只要看这个数的各位上数字之和能不能被 3 整除。
100a + 10b + c
设一个任意三位数为 abc，则这个三位数的数值
= 99a + a + 9b + b + c= 99a + 9b + (a + b + c)；
(2) 一个四位数能否被 3 整除是否也有这样的规律? 请说明理由。
一个四位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。
正整数按下图的规律排列，则第二十行，第二十一列的数字是________。
1.某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式。（1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐12人，5张桌子可以坐14人，n张桌子可以坐（2n+4）人.
（2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐18人，5张桌子可以坐22人，n张桌子可以坐（4n+2）人.
2.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？（4）十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？
解：（1）5个数之和为75，是15的倍数. （2）5a. （3）有. （4）因为2012不能被5整除，2015能被5整除，所以十字形框中的五数之和不能等于2012，能等于2015.
解：假设心里想的数为a，则由题意得[（4a+8）×5+7]×5=100a+235.所以只要将计算的结果减去235，再除以100，就是心里所想的数了.
3.小强：“你在心里想好一个数，按照下列步骤进行计算：把这个数乘4，然后加8，再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把得到的数乘5.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数了．”同学们试了几次，小强都猜对了，你知道这是为什么吗？
解：答案不唯一.提示：小亮和他的好朋友约定的规则是：把每个字母换成字母表中其后第2个字母，设计略.
4. 小亮和好朋友经常玩一种密码游戏:他们事先约定英文字母表中各字母位置的变化规则，以此实现加密和解密。有一次小亮给好朋友留了一张纸条，纸条上写着“kccr zcfglb rfc jgzpypw”，好朋友一下子就明白了“meet behind the library”．(1)小亮他们这次事先约定的字母位置变化规则是什么?请用代数式表达他们的规则。(2)请你尝试设计一个类似的密码游戏。
解：末两位是00,25,50,75的任何数可以表示为100a+b ,其中b表示00,25,50,75.显然100a+b 能被25整除.
5.末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除，这是为什么?请解释其中的道理。
知识点1 探索数及式的规律
A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318
知识点2 探索表格的数字规律
A.68B.58C.48D.38
5.如图①是2025年1月的月历，用如图②所示的图形框出图①中3个数，则这3个数的和最大为____。
知识点3 探索图形的规律
6.［2024济宁中考］如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形。第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )
A.90B.91C.92D.93
A.8 093B.8 097C.8 101D.8 105
A.676B.674C.1 348D.1 350
A.42B.76C.142D.272
探索与表达规律
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.