初中数学人教版（2024）九年级上册正多边形和圆课堂检测

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册正多边形和圆课堂检测，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于( )
A. 24cm2B. 6 3cm2C. 12 3cm2D. 8 3cm2
2.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 3
4.一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于
A. 24cm2B. 6 3cm2C. 12 3cm2D. 8 3cm2
5.正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是( )
A. 36∘B. 54∘C. 72∘D. 108∘
6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°
7.已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A. 2B. 1C. 3D. 32
8.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是( )
A. 83°B. 84°C. 85°D. 94°
9.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( )
A. 互余B. 互补C. 互余或互补D. 不能确定
二、填空题：
10.圆内接正六边形的边长为10cm，它的边心距等于 cm．
11.如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
12.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=____．
13.正六边形的边长为8cm，则它的面积为______cm2．
14.如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要______mm．
三、解答题：
15. 正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积．
16.图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)．
17.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
(1)求∠AED的度数；
(2)当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
18.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，求正六边形ABCDEF的周长．
19.如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
(1)求∠OGF的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键.设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
【解答】
解：如图所示：
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
则△OAB是正三角形，
∴AB=OA=2cm，OC=OA·sin∠A=2× 32= 3cm，12AB·OC=12×2× 3= 3cm2，
∴正六边形的面积=6× 3=6 3cm2．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角=60°，
∴360°n=60°，
∴n=6，
故选：D．
因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60°，构建方程即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．作OD⊥BC于D，连接OB，由垂径定理得出BD=CD=12BC，由等边三角形的性质和已知条件得出∠OBD=12∠ABC=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求出OD、BD，即可得出BC的长．
【解答】
解：作OD⊥BC于D，连接OB，如图所示，
则BD=CD=12BC，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
∴OD=12OB=1，
∴BD= 3OD= 3，
∴BC=2BD=2 3，
即等边△ABC的边长为2 3；
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，特殊角的三角函数值，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
【解答】
解：如图所示，
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
则△OAB是正三角形，
∴AB=OA=2cm，OC=OA·sinA=2× 32= 3(cm)，
∴S△OAB=12AB·OC=12×2× 3= 3(cm2)，
∴正六边形的面积=6× 3=6 3(cm2).
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．
【解答】
解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是360∘5=72∘．
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于(n−2)×180°是解题的关键．
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【解答】
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C=(5−2)×180°5=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=180°−108°2=36°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=72°，
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】
解：如图(1)，O为△ABC的外心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°−30°=30°．
在Rt△OBD中，BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD∶OA∶AD=1∶2∶3．
在正三角形ABC中，AD是高，设BD=x，
则AD= 3BD= 3x.
∵正三角形ABC面积为 3，
∴12BC⋅AD= 3，
∴12×2x⋅ 3x= 3，
∴x=1．
即BD=1，则AD= 3，
∵OD∶OA∶AD=1∶2∶3，
∴AO= 3×23=2 33．
即这个圆的半径为2 33．
所以该圆的内接正六边形的边心距=2 33× 32=1．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∠OEF=72°，∠OFE=60°，
∴∠EOF=180°−72°−60°=48°，
∴∠AOB=360°−108°−48°−120°=84°，
故选：B．
利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360°n，正多边形的一个外角等于360°n，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．
10.【答案】5 3
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形与圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可．
【解答】
解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG=60°，
∴BG=5cm，OB=10cm，
根据勾股定理可得：边心距OG=5 3cm，
故答案为：5 3．
11.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°=8，
故答案为8．
12.【答案】36°
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用
由正五边形的性质得出∠BAE=(5−2)×180°÷5=108°，BC=CD=DE，得出BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．
【解答】
解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE=(5−2)×180°÷5=108°，BC=CD=DE，
∴BC=CD=DE，
∴∠CAD=13×108°=36°；
故答案为36°．
13.【答案】96 3
【解析】【分析】
此题考查了正多边形的有关计算.解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答.先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
【解答】
解：如图所示，
，
正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD=360°6=60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∵CD=8cm，
∴CE=DE=4cm，
∴OE=CE⋅tan60°=4× 3=4 3cm，
∴S△OCD=12CD⋅OE=12×8×4 3=16 3cm2，
∴S正六边形=6S△OCD=6×16 3=96 3(cm2).
故答案为96 3．
14.【答案】12 3
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆的知识、特殊角的三角函数值；构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】
解：如图所示：
设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=12mm，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC=AMAB，
∴AM=12× 32=6 3，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=12AC，
∴AC=2AM=12 3mm．
故答案为12 3．
15.【答案】解：∵AB=BC=CD=4，∠B=∠BCD=120°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=90°，
∵∠CDA=∠EDA=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2CD=8，
∴AC= 3CD=4 3；
如图，设圆心为O，
连接AO，BO，作OG⊥AB于点G，

∵AB=OA=4；
∴正六边形的周长=6AB=24；
∴OG=OA⋅sin60°= 32×4=2 3，
∴正六边形的面积=6×12×4×2 3=24 3．
【解析】连接AD，AC，根据正六边形的性质推出∠ACD=90°，∠CAD=30°，再利用直角三角形的性质求得AC，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积．
本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
16.【答案】解：正八边形ABCDEFGH即为所求．

17.【答案】解：(1)连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
(2)∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=30°，
∴n=360°30∘=12．
【解析】(1)首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
(2)首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．
此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
18.【答案】解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，
∵⊙O的内接正三角形ACE，则∠OAH=30∘．
在Rt△OAH中，设OA=R，则OH=12R，
由勾股定理可得：AH= R2−R22= 32R，
而△ACE的面积是△OAH的面积的6倍，即6×12× 32R·12R=48 3，
解得R=8，即正六边形的边长为8，
∴正六边形ABCDEF的周长为：6×8=48．
【解析】本题主要考查了正多边形和圆的关系．
通过内接正三角形的边心距，连半径构造直角三角形，结合勾股定理可得求解．
19.【答案】【小题1】
解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，四边形EFGH是正方形，∴OF=EF=FG，∠OFG=60∘+90∘=150∘，∴∠OGF=180∘−150∘2=15∘；
【小题2】
∵EF=OF=R，∴S正六边形ABCDEF=6×12R⋅ 32R=3 32R2，S正方形EFGH=R2，
∴S正六边形ABCDEF:S正方形EFGH=3 3:2．