人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆课时作业

24.3 正多边形和圆（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（        ）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（       ）

A． B．3 C． D．6

3．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　   ）

A．6 B．12 C．24 D．48

4．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（        ）

A． B． C． D．

5．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（        ）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　   　）

A． B． C．2 D．2

7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　   ）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（        ）

A．6 B．12 C． D．

9．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（       ）

A．    B．    C．      D．

10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（        ）

A． B． C． D．

二、填空题(共10个小题)

11．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为_________．

12．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为_________．

13．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．

14．已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．

15．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为____________．

16．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．

17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于_______.

18．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为________．

19．如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.

三、解答题(共3个小题)

21．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．

22．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．

(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．

23．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON

（1）求图1中∠MON的度数

（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____

24.3 正多边形和圆解析

1．

【答案】D

【详解】解：，

故选：D．

2．

【答案】C

【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴，

，

∵DE=EC，

∴，

∵，

∴，

∴，

设EG的长为x，则OG的长为，

∴，

解得：．

故选：C．

3．

【答案】C

【详解】解：连接OC，

∵AB是⊙O内接正六边形的一边，

∴∠AOB＝360°÷6＝60°，

∵BC是⊙O内接正八边形的一边，

∴∠BOC＝360°÷8＝45°，

∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°

∴n＝360°÷15°＝24．

故选：C．

4．

【答案】B

【详解】解：正五边形的中心角，

绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，

故选：B．

5．

【答案】A

【详解】解：设这个正多边形的边数是n，

由题意得：，

解得：n＝9，

故选A．

6．

【答案】C

【详解】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，

∵∠OBC＝∠ABC＝30°，

∴OM＝OB＝2；

如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，

∵∠ODC＝∠ADC＝45°，

∴ON＝DN＝OD＝2；

如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，

∵∠OED＝∠FED＝60°，

∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，

∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，

∵22+（2）2＝（2）2，

∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，

∴该三角形的面积＝×2×2＝2．

故选：C．

7．

【答案】D

【详解】解：如图，连接，

四边形为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，

点在上，且是和的角平分线，，

，

，

，

恰好是圆O的一个内接正边形的一边，

，

故选：D．

8．

【答案】D

【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：边心距，

六边形是正六边形，

，

是等边三角形，

，

，

，

解得，

则正六边形的周长为，

故选：D．

9．

【答案】C

【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，

，

，

是正五边形，

，

．

故选：C．

10．

【答案】D

【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，

由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，

由正六边形的性质可得ON＝2，

∴ODOF，

∴MF1，

由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，

∴FHMF，

故选：D．

11．

【答案】2

【详解】解：连接OB交AC于M，

∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，

∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，

∴＝，∠AOC＝90°，

∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，

∵OA＝OC，

∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，

∴∠OAM＝∠AOB，

∴AM＝OM，

在Rt△AOC中，

∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，

∴2OA2＝AC2＝42＝16，

∴OA＝2，

在Rt△AOM中，

∵OM2+AM2＝OA2，

∴2OM2＝（2）2，

∴OM＝2，

∴点O到AC距离为2，

故答案为：2．

12．

【答案】12°

【详解】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠，∠，

∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，

故答案为：12°．

13．

【答案】4

【分析】先根据正六边形的性质求得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．

【详解】解：连接OA，OB，

∵正六边形ABCDEF

∴∠AOB=60°，OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=24÷6=4（cm），即R=4cm．

故答案为4．

14．

【答案】

【详解】如图所示，连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OM=2

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠OAM=60°，

∴，

∴，

∴该圆的半径为

故答案为：．

15．

【答案】

【详解】解：∵正六边形ABCDEF，

∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BCA＝30°，

∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，

由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，

∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，

在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，

∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，

∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝22+4＝26，

故答案为：26．

16．

【答案】36

【详解】解：∵正五边形ABCDE，

∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，

∴∠ACB＝∠BAC==36°，

∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，

∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，

∴DE∥AC，

又∵DE＝AE＝AF，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴AE∥DF，

∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，

∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，

故答案为：36°．

17．

【答案】4

【详解】解：如图，连接CE，

，

，

六边形是正六边形，

AB=AF=EF=BC，，

，

，

，

，

四边形BCEF是平行四边形，

，

的面积为1，，

的面积为，

故答案为4．

18．

【答案】cm

【详解】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G

∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，

∴AG=4

∴OG= ．

故答案为：cm．

19．

【答案】          3：8

【详解】（1），

（2），

由题意是△PCD的中位线，

，

，

，

，

，

，

20．

【答案】64

【详解】解：如图

∵四边形ABCD接于⊙O，

∴,

又∵△AOC为等腰三角形，

，

∵∠1+∠2=64°，

∴∠3+∠4=180°-64°-2∠5=116°-2∠5，+

∵∠1+∠2+∠B=180°，∠B+∠D=180°，

∴∠B=∠1+∠2=64°

∴∠O=2∠D=128°

在等腰三角形AOC中，

∵2∠5=180°-∠0=180°-128°=52°

∴∠3+∠4=116°-2∠5=116°-52°=64°

故答案为64；

21．

【答案】

【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠COB＝60°，OC＝OB，

∴△COB是等边三角形，

∴OC＝OB＝6cm，

即⊙O的半径R＝6cm，

∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，

∴，

在Rt△COG中，（cm），

∴（cm2）．

22．

【答案】(1)证明见解析;(2)

【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴EF＝ED＝CD＝BC，

∴，

∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，

∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；

（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，

设⊙O的半径为r，

∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，

∴△ODE是等边三角形，

∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，

∴∠EOG＝30°，

∴EGr，

∴OGr，

∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，

∵⊙O的面积＝πr2，

∴．

23．

【答案】（1）；（2），；（3）．

【详解】（1）如图，连接OB、OC，则，

∵△ABC是⊙O内接正三角形，

中心角∠BOC=，

∵点O是⊙O内接正三角形ABC的内心，

∴，

∴，

在和△ONC中，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；

（2）如图1，连接OB、OC，

四边形ABCD是⊙O内接正方形，

中心角，

同（1）的方法可证：；

如图2，连接OB、OC，

五边形ABCDE是⊙O内接正五边形，

中心角，

同（1）的方法可证：，

故答案为：，；

（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，

的度数与正方形边数的关系是，

的度数与正五边形边数的关系是，

归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，

故答案为：．