九年级上册圆的有关性质测试题

这是一份九年级上册圆的有关性质测试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为( )
A. 无数个B. 3个C. 2个D. 1个
2.下列命题中是真命题的为( )
A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 圆的两条平行弦所夹的弧相等D. 相等的圆周角所对的弧相等
3.如图，点A、点B、点C在⊙O上，∠BAC=130°，那么∠BOC是( )
A. 160°
B. 120°
C. 100°
D. 200°
4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 3
5.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是( )
A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°
6.如图，已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D是CO的中点，若过点D的弦EF平行于AB，则下列结论正确的是( )
A. EC=AE
B. EC=2AE
C. EF=3AE
D. ABF=4AE
7.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=150°，则∠ABC的度数( )
A. 30°
B. 150°
C. 105°
D. 110°
8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=36°，那么∠BAD等于( )
A. 36°
B. 44°
C. 54°
D. 56°
二、填空题：
9.如图，AB是⊙O的直径，D在弦BC的延长线上，CD=BC，DA的延长线交⊙O于点E，若∠DAB=130°，则∠E的度数为______．
10.如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名.某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为______m.
11.如图，点A，B，C，D在圆上，∠C=90°，点D为AB的中点，AC=1，DB=2，BC的值为______．
12.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为 °.
13.如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB=8，则OC的长为______．
14.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为______．
15.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAC=40°，则∠ADC=______°.
三、解答题：
16. 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：等边三角形△ABC．
作法：如图，
①以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A；
②以点B为圆心，以AB的长为半径作⊙B，交于⊙A于C，D两点；
③连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小方设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点B，C在⊙A上，
∴AB=AC(______)(填推理的依据)．
同理∵点A，C在⊙B上，
∴AB=BC．
∴______=______=______．
∴△ABC是等边三角形．(______)(填推理的依据)．
如图，AB是⊙O的直径，CD是的⊙O弦，若∠ACD=30°,AD= 3，求BD的长．
如图，点A，B，C，P在⊙O上，∠APB=120°，PC平分∠APB.判断△ABC的形状，并证明你的结论．
如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠C=75°，∠D=45°．
(1)求∠AEC的度数；
(2)若AC=2 6，求CD的长．
如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC．
(1)求证：∠CAO=∠BCD；
(2)若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．
如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(1)求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点A作AF//CD交CB的延长线于点F，若AC=AD，BF=3，求此圆半径的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】解：∵在平面内与点P的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】判断命题的真假关键是要熟悉课本中圆的性质定理，即可依次判断，选出正确答案．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够相互重合的两条弧是等弧，故本小题命题是假命题，不符合题意；
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本小题命题是假命题，不符合题意；
C、圆的两条弦平行时，对两条弦的端点交叉连线，形成的内错角相等，即两条平行弦所夹的弧的圆周角相等，故圆的两条平行弦所夹的弧相等，是真命题，符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：如图，在⊙O的优弧BC上任意取一点D，连接DB、DC，
∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∵∠BAC=130°，
∴∠BDC=180°−130°=50°，
∴∠BOC=2∠BDC=100°．
故选：C．
根据圆内接四边形的性质求出∠BDC，再根据圆周角定理进行计算即可．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=4，
在Rt△OCE中，OE= OC2−CE2= 52−42=3，
∴AE=OA−OE=5−3=2．
故选：B．
连接OC，如图，先利用垂径定理得到CE=DE=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OA−OE．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
解：如图，圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接OE、OF，
∵OC⊥AB，
∴∠ODE=90°，
∵OD=12OC=12OE，
∴∠OED=30°，
∴∠EOD=90°−30°=60°，
∵EF平行AB，
∴∠AOE=∠OED=30°，
∴EC=2AE，故选项A错误，选项B正确；
∵∠EOF=120°，
∴EF=4AE，故选项C错误；
∵ABF所对的圆心角的度数为150°，
∴ABF=5AE，故选项D错误；
故选：B．
连接OE、OF，根据直角三角形的性质求出∠OED=30°，再根据圆周角、弧、弦的关系判断即可．
本题考查的是圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
7.【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC=150°，
∴∠ADC=12∠AOC=75°，
∴∠B=180°−∠ADC=180°−75°=105°．
故选：C．
在优弧AC上取点D，连接AD，CD，根据圆周角定理求出∠ADC的度数，进而可得出结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由∠ACD=36°，可求得∠ABD的度数，进而求出答案．
【解答】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD=AD，
∴∠ABD=∠ACD=36°，
∴∠BAD=90°−∠ABD=90°−36°=54°．
9.【答案】25°
【解析】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BD，
∵CD=BC，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AD=AB，
∵∠DAB=130°，
∴∠B=∠D=12×(180°−130°)=25°，
∴∠E=∠B=25°，
故答案为：25°．
根据圆周角定理求出∠ACB=90°，AC⊥BD，进而求出AC是BD的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠B=25°，最后根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】1.3
【解析】解：设圆的半径为r，
由题意可知，DF=12CD=12m，EF=2.5m
在Rt△OFD中，OF= r2−(12)2，r+OF=2.5m，
∴ r2−(12)2+r=2.5，
解得r=1.3．
经检验：r=1.3是方程的解，
故答案为：1.3．
设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可．
本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是关键．
11.【答案】 7
【解析】解：连接AD，
∵∠C=90°，
∴AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=2，
∴AB= AD2+BD2= 22+22=2 2，
∴BC= AB2−AC2= (2 2)2−12= 7，
故答案为： 7．
根据∠C=90°，可得AB是直径，根据点D为AB的中点，可得AD=BD，根据勾股定理可得AB=2 2，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可求解．
本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
12.【答案】140
【解析】先求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的性质求出∠BDC的度数．
【详解】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BDC+∠A=180°，
∴∠BDC=140°，
故答案为：140．
13.【答案】3
【解析】解：∵OD⊥AB，
∴AC=CB=12AB=4，
∴OC= OA2−AC2= 52−42=3，
故答案为：3．
利用垂径定理，勾股定理求解即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理的应用．
14.【答案】140°
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=90°−∠ABC=40°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，，
∴∠A+∠BDC=180°，
∴∠BDC=180°−∠A=140°．
故答案为：140°．
根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，从而求出∠A，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15.【答案】50
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，解题关键是连接BC．
连接BC，先根据AB是直径判断出∠BCA=90°，再利用三角形内角和得出∠ABC的度数，最后利用圆周角定理得出∠ADC的度数．
【解答】
解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC=180°−90°−40°=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°．
故答案为50．
16.【答案】同圆的半径相等 AB AC BC 三边都相等的三角形是等边三角形
【解析】解：(1)如图，
(2)完成下面的证明．
证明：∵点B，C在⊙A上，
∴AB=AC(同圆的半径相等 )(填推理的依据)．
同理∵点A，C在⊙B上，
∴AB=BC．
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等边三角形．(三边都相等的三角形是等边三角形)(填推理的依据)．
故答案为同圆的半径相等；AB，AC，BC；三边都相等的三角形是等边三角形．
(1)根据题中几何语言画出对应几何图形；
(2)利用半径相等得到AB=AC=BC.然后根据等边三角形的判定方法得到△ABC是等边三角形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17.【答案】解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB=90°．
因为∠ACD=30°，
所以∠B=∠ACD=30°．
所以在Rt△ABD中，AB=2AD=2 3，
由勾股定理，得：AD2+BD2=AB2，即( 3)2+BD2=(2 3)2，
解得：BD=3．
【解析】推导出△ABD是含30度角的直角三角形即可得解，
本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度的角直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题的关键．
18.【答案】证明：△ABC是等边三角形，理由如下，
∵点A，B，C，P在⊙O上，
∴四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠APB+∠ACB=180°，且∠APB=120°，
∴∠ACB=60°，
∵PC平分∠APB，
∴∠APC=∠BPC=12∠APB=12×120°=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】根据圆内接四边形的性质可得∠ACB=180°−∠APB=60°，根据角平分线的性质可得∠BPC=∠APC=60°，根据圆周角定理可得∠BPC=∠BAC=60°，由此即可求解．
本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵∠D=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∵∠C=75°，
∴在△AEC中，∠AEC=180°−∠A−∠C=180°−45°−75°=60°．
(2)过点O作OF⊥CD于点F，连接OC，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵∠AEC=60°，
∴在△OEC中，∠OCE=180°−∠BOC−∠AEC=30°，
∵∠ACE=75°，
∴∠ACO=75°−30°=45°，
∵OA=OC，
∴∠AOC=90°，
∵AC=2 6，
∴在Rt△AOC中，OC=AC⋅cs∠ACO=2 6cs45°=2 3，
∴在Rt△OFC中，CF=OC⋅cs∠OCF=2 3cs30°=3，
∵OF⊥CD，
∴CD=2CF=6．
【解析】(1)根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠A，再根据三角形的内角和即可求解；
(2)过点O作OF⊥CD于点F，连接OC，先求出∠BOC=2∠A=90°，从而得出∠OCE=30°，∠ACO=45°，即可求出CO的长度，再根据CO的长度求出CF的长度，最后根据垂径定理即可求解．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理以及解直角三角形的方法．
20.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴BC=BD，
∴∠CAO=∠BCD；
(2)解：设⊙O的半径为R，则OE=OB−BE=R−3，
∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE=12CD=12×8=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，
∴R2=(R−3)2+42，
解得R=256，
∴⊙O的直径为253．
【解析】(1)根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证．
(2)根据垂径定理求出CE=4，设⊙O的半径为R，则OE=R−3，根据勾股定理及圆的性质求解即可．
本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠ADB，
∴AB=BC，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴CD=CD，
∴AB+AD=BC=CD，即BAD=BCD，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD=90°．
(2)解：∵∠BAD=90°，AF//CD，
∴∠F+∠BCD=180°，
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD=90°
∴∠F=90°．
∵AD=CD，
∴AD=DC．
∵AC=AD，
∴AC=AD=CD，

∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=60°．
∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB=12∠ADC=30°．
∵BD是圆的直径，
∴BC=12BD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=120°，
∴∠FBA=60°，
∴∠FAB=90°−60°=30°，
∴FB=12AC．
∵BF=3，
∴AB=6，
∴BD=2BC=2AB=12．
∵BD是圆的直径，
∴半径的长为12BD=6．
【解析】(1)根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得AB=BC，进而可得∠ADB=∠CDB，再证BAD=BCD，推出BD是圆的直径，可得∠BAD=90°；
(2)先证∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而证明△BCD和△BFA是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得BC=12BD，FB=12AB，即可求出半径．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质等，解题的关键是推导得出△BCD和△BFA是含30度角的直角三角形．