高中人教B版 (2019)数列中的递推第1课时学案及答案

这是一份高中人教B版 (2019)数列中的递推第1课时学案及答案，共4页。
如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 递推公式也是数列的一种表示方法.
知识点2：由递推公式给出一个数列的条件
用递推公式给出一个数列，必须给出:
①“基础”——数列 an的第 1 项或前几项;
②递推关系一一数列 an的任一项 an 与它的前一 项 an-1（或前几项）之前的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
知识点3：递推关系和通项公式的区别和联系
知识点4：用累加法和累乘法求通项公式
累乘法：若数列的递推关系形如an+1=fnanan≠0，即an+1an=f(n) ，且
数列fn可求积，一般用累乘法求通项公式.
由递推关系得， a2a1=f(1) ， a3a2=f(2) ，a4a3=f(3) ，…， anan-1=fn-1
(n≥2) ，以上各式两边相乘得ana1=f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1)，从而
an=a1 f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1).
注意：检验当 n = 1 时，是否满足结论，得出最后的结论.
累加法：若数列的递推关系形如an+1-an=f(n)，则可用累加法.
an-an-1=f(n)，an-1-an-2=f(n-1)，…，
a3-a2=f(3)，a2-a1=f(2)，
将以上等式左右两边相加，得
an-an-1+an-1-an-2+…+a3-a2+a2-a1=fn+fn-1+…+f3+f(2)，
即an=a1+ f(2) +f3+…+fn-1+fn
注意：检验当 n = 1 时，是否满足结论，得出最后的结论.
易错点1：
（（1）与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
（2）递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于序号 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项.
（3）递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出所需的项.
（4）运用递推法给出数列，可以揭示数列的一些性质, 但不容易了解数列的全貌, 也不方便计算. 我们可以用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性的数列.
易错点2：运用累加法求通项公式
（1）需验证n=1时是否符合通项（因递推式从n≥2开始);
（2）注意右边求和的项数（共(n-1)项);
（3）确保f(n)可求和.
易错点3：运用累乘法求通项公式
（1）确保f(n)有定义且乘积存在（无分母为0或无穷大）；
（2）关注n的起始范围，若递推式从n≥2开始，需单独验证n=1
（3）处理符号：若f(n)含负数，需计算符号变化(如(一1)²);
（4）简化乘积：利用因式分解、阶乘或已知公式简化结果。
巩固练习
【题干】如果数列an的任一项______与它的前一项______之间的关系可用一个公式来表示，即，，那么这个公式就叫作数列an的递推公式；______称为数列的初始条件.
【答案】an+1；an ；a1
【题干】数列的递推公式可以是（ ）
【答案】C
【题干】已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项．
【答案】
【题干】已知数列的递推公式为，则___________.
【答案】54
【题干】已知数列满足，且
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
【答案】
【题干】已知数列中，满足，则数列的通项公式为________.
【答案】
【题干】已知数列中，，则______.
【答案】2n+2
【题干】已知数列中，，，求数列的通项公式.
【答案】an=n（n+1）