湘教版（2024）七年级上册（2024）二元一次方程组的应用精品课件ppt

这是一份湘教版（2024）七年级上册（2024）二元一次方程组的应用精品课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了解题步骤，数量关系，加减法，检验作答，路程平均速度×时间，方法一直接设元法，则根据等量关系得，解方程组得，方法二间接设元法，根据题意可列方程组等内容，欢迎下载使用。
审题：弄清题意和题目中的________
设元：用____表示题目中的未知数
列方程组：根据__个等量关系列出方程组
解方程组：______________
# 3.7.2 二元一次方程组的应用（二）## 一、教学过程### （一）情境导入（5分钟）1. 展示行程问题情境：“甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知A、B两地相距480km，甲车速度为60km/h，乙车速度为80km/h，两车出发后几小时相遇？若相遇后两车继续前行，甲车到达B地比乙车到达A地晚多少小时？”2. 展示工程问题情境：“一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，现甲队先做3天，然后甲、乙两队合作，还需多少天才能完成这项工程？”3. 引导思考：“这两个问题若用一元一次方程解答，需要间接设未知数，思路较繁琐。若设两个未知数，能否更直接地列出等量关系？”4. 引出课题：本节课将学习用二元一次方程组解决“行程问题”和“工程问题”，掌握这类复杂实际问题的建模方法，提升方程应用能力。### （二）新知探究（15分钟）1. 核心解题步骤回顾： 列二元一次方程组解应用题的六步流程：**审→设→列→解→验→答**，核心是找准两个独立的等量关系，将实际问题转化为数学模型。2. 题型一：行程问题（核心公式：路程=速度×时间，\(s=vt\)） - 常见类型：相向而行、同向而行（追及）、相遇后继续前行、往返行程等。 - 关键等量关系梳理： ① 相向而行：甲路程 + 乙路程 = 总路程； ② 同向追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离； ③ 相遇后前行：甲剩余路程÷甲速度 = 甲剩余时间，乙剩余路程÷乙速度 = 乙剩余时间； ④ 往返问题：去程路程 = 返程路程。 - 示例分析（相向而行+相遇后前行）： 设两车出发后\(x\)小时相遇，甲车到达B地比乙车到达A地晚\(y\)小时。 等量关系： ① 相遇时：\(60x + 80x = 480\)； ② 全程时间差：\((\frac{480}{60}) - (\frac{480}{80}) = y\)。 求解：由①得\(140x = 480\)，\(x = \frac{24}{7}\)；由②得\(8 - 6 = y\)，\(y = 2\)，检验符合题意。3. 题型二：工程问题（核心公式：工作量=工作效率×工作时间，总工作量设为1） - 常见类型：合作完成、先独做后合作、部分工作量完成等。 - 关键等量关系梳理： ① 合作工作效率 = 甲工作效率 + 乙工作效率； ② 甲独做工作量 + 甲乙合作工作量 = 总工作量； ③ 甲工作量 + 乙工作量 = 部分工作量（如“工程的一半”）。 - 示例分析（先独做后合作）： 设甲乙合作还需\(x\)天完成，甲队工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙队为\(\frac{1}{15}\)。 等量关系：甲先做3天工作量 + 甲乙合作\(x\)天工作量 = 1，即\(3×\frac{1}{10} + (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\)。 求解：化简得\(\frac{3}{10} + \frac{1}{6}x = 1\)，\(\frac{1}{6}x = \frac{7}{10}\)，\(x = \frac{21}{5}\)，检验符合题意。### （三）例题讲解（12分钟）1. 例题1：相向而行的行程问题（含先行条件） - 题目：A、B两地相距520km，甲车从A地出发，速度为70km/h，2小时后乙车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，乙车出发后几小时与甲车相遇？相遇时甲车行驶了多少千米？ - 解答： ① 审：总路程520km，甲先出发2小时，甲速度70km/h，乙速度80km/h，求乙出发后相遇时间和甲相遇时路程； ② 设：设乙车出发后\(x\)小时相遇，相遇时甲车行驶了\(y\)千米； ③ 列：\(\begin{cases}y + 80x = 520 \\ y = 70(x + 2)\end{cases}\)（甲行驶时间为\(x+2\)小时）； ④ 解：将第二个方程代入第一个，得\(70(x+2) + 80x = 520\)，化简\(70x + 140 + 80x = 520\)，\(150x = 380\)，\(x = \frac{38}{15}≈2.53\)；\(y = 70(\frac{38}{15} + 2) = 70×\frac{68}{15} = \frac{952}{3}≈317.33\)； ⑤ 验：甲行驶路程\(\frac{952}{3}\)km，乙行驶路程\(80×\frac{38}{15} = \frac{608}{3}\)km，总和\(\frac{952+608}{3} = 520\)km，符合总路程； ⑥ 答：乙车出发后\(\frac{38}{15}\)小时（约2.53小时）相遇，相遇时甲车行驶了\(\frac{952}{3}\)千米（约317.33千米）。 - 小结：含先行条件的行程问题，需明确两车行驶时间的关系，用含未知数的式子表示行驶时间，再根据路程和列方程。2. 例题2：合作类工程问题（含休息条件） - 题目：一项工程，甲队单独做需12天完成，乙队单独做需18天完成，两队合作4天后，乙队因事休息，剩下的工程由甲队单独完成，甲队还需多少天才能完成？ - 解答： ① 审：甲独做12天、乙独做18天，合作4天后乙休息，甲单独完成剩余工程，求甲单独做的天数； ② 设：甲队还需\(x\)天完成，总工作量设为1，甲效率\(\frac{1}{12}\)，乙效率\(\frac{1}{18}\)； ③ 列：\(4×(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}) + \frac{1}{12}x = 1\)； ④ 解：化简左边\(4×\frac{5}{36} + \frac{x}{12} = \frac{5}{9} + \frac{x}{12}\)，方程变为\(\frac{5}{9} + \frac{x}{12} = 1\)，\(\frac{x}{12} = \frac{4}{9}\)，\(x = \frac{16}{3}≈5.33\)； ⑤ 验：合作4天完成\(\frac{5}{9}\)，甲单独做\(\frac{16}{3}\)天完成\(\frac{1}{12}×\frac{16}{3} = \frac{4}{9}\)，总和为1，符合题意； ⑥ 答：甲队还需\(\frac{16}{3}\)天（约5.33天）才能完成。 - 小结：含休息条件的工程问题，需区分“合作时间”和“单独工作时间”，分别计算各阶段工作量，总和等于总工作量。3. 例题3：行程与工程结合问题（配套行程+工作量） - 题目：甲、乙两个工程队分别从A、B两地同时出发，相向而行铺设一条输油管道，甲队每天铺设12km，乙队每天铺设10km，相遇时甲队比乙队多铺设了8km，求A、B两地间输油管道的长度和相遇时间。 - 解答： ① 审：甲速度12km/天，乙速度10km/天，相遇时甲比乙多铺8km，求总长度和相遇时间； ② 设：相遇时间为\(x\)天，总长度为\(y\)km； ③ 列：\(\begin{cases}12x + 10x = y \\ 12x - 10x = 8\end{cases}\)； ④ 解：由第二个方程得\(2x = 8\)，\(x = 4\)；代入第一个方程得\(y = 22×4 = 88\)； ⑤ 验：相遇时甲铺\(12×4 = 48\)km，乙铺\(10×4 = 40\)km，差8km，总长度88km，符合题意； ⑥ 答：A、B两地间输油管道长度为88km，相遇时间为4天。 - 小结：结合类问题需从“行程”和“工作量”两个角度找等量关系，两个未知数对应两个方程，逻辑更清晰。### （四）课堂练习（8分钟）1. 基础题： - （1）甲、乙两车从相距360km的两地同时相向而行，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，几小时后相遇？（答案：设\(x\)小时，\(\begin{cases}60x + 40x = 360\end{cases}\)，解得\(x = 3.6\)小时）； - （2）一项工程，甲、乙两队合作6天完成，甲队单独做需10天，乙队单独做需多少天？（答案：设乙单独做\(x\)天，\(\begin{cases}6×(\frac{1}{10} + \frac{1}{x}) = 1\end{cases}\)，解得\(x = 15\)天）。2. 中档题： - （1）A、B两地相距450km，甲车从A地出发，速度90km/h，乙车从B地出发，速度60km/h，两车同向而行（甲车追乙车），甲车出发后几小时追上乙车？（答案：设\(x\)小时，\(\begin{cases}90x - 60x = 450\end{cases}\)，解得\(x = 15\)小时）； - （2）甲队单独完成一项工程需15天，乙队单独做需20天，甲队先做5天后，两队合作，还需多少天完成工程的\(\frac{4}{5}\)？（答案：设还需\(x\)天，\(\begin{cases}5×\frac{1}{15} + (\frac{1}{15} + \frac{1}{20})x = \frac{4}{5}\end{cases}\)，解得\(x = 4\)天）。3. 拓展题： - 一艘轮船顺流航行36km和逆流航行24km的时间都是3小时，求轮船在静水中的速度和水流速度。（答案：设静水速度\(x\)km/h，水流速度\(y\)km/h，\(\begin{cases}3(x + y) = 36 \\ 3(x - y) = 24\end{cases}\)，解得\(x = 10\)，\(y = 2\)）。### （五）课堂小结（2分钟）1. 核心题型： - 行程问题：围绕“路程=速度×时间”，根据运动方向（相向、同向）、出发时间（同时、先后）找等量关系； - 工程问题：围绕“工作量=效率×时间”，总工作量设为1，根据“独做+合作”“部分+整体”找等量关系。2. 解题关键： - 设两个未知数，对应两个独立等量关系，避免未知数过多或过少； - 统一单位（如速度km/h、时间h、路程km），确保式子意义一致； - 检验解的实际意义（如时间、速度、工作量是否合理）。3. 思想方法：延续“数学建模”思想，用方程组清晰表示复杂数量关系，比一元一次方程更直观，降低思维难度。4. 应用价值：行程和工程问题是生活中典型的数学模型，掌握其方程组解法，能有效解决同类实际问题，提升综合应用能力。
解决所列方程中含 x，y 系数不都为 1 的实际问题
探究 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为上坡路， 一段为平路.(回家所走的下坡路长即为去学校的上坡路长)
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走上坡的时间 + 走平路的时间 = ______，走平路的时间 + 走下坡的时间 = ______．
解：设小华家到学校上坡路长 x m，平路长 y m.
于是，上坡路与平路的长度之和为 x + y = 400 + 300 = 700 (m).因此，小华家离学校 700 m.
解：设小华上坡路所花时间为 x min， 下坡路所花时间为 y min.
所以，小明家到学校的距离为 700 米.
故，平路距离：60×(15 - 10) = 300 (米)
上坡路距离：40×10 = 400 (米)
1. 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
(1) 同时出发， 同向而行
甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程
(2) 同时出发， 相向而行
甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
列二元一次方程组解决实际问题的步骤：
例2 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元?
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，
本问题涉及的等量关系为：2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t，5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t.
于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ).因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ).因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元).答：该果园三次总共应付运费 3 720 元.
如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
本问题涉及的等量关系为：产品数量×产品价格＝销售款，原料数量×原料价格＝原料费，运输价格×运价＝运输费
解:根据图表，列出方程组
8 000x - 1 000y - 15 000 - 97 200= 8000×300 - 1 000×400 - 15 000 - 97 200= 1 887 800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.
1.5×20x + 1.5×10y = 15 000，
1.2×110x + 1.2×120y = 97 200.
例3 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值.
故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1.
2.某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？
①可以裁剪出圆形底面共__________个，侧面共_________个.
1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：