湘教版（2024）七年级上册（2024）二元一次方程组的应用获奖ppt课件

这是一份湘教版（2024）七年级上册（2024）二元一次方程组的应用获奖ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了等量关系，数量关系，代入消元，加减消元法，根据等量关系得，解这个方程组得，根据题意得，实际问题，列出二元一次方程组，解方程组等内容，欢迎下载使用。
探究 小楠收集的中国邮票和外国邮票共有 335 张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的 3 倍少 17. 小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张?
# 3.7.1 二元一次方程组的应用（一）## 一、教学过程### （一）情境导入（5分钟）1. 展示实际问题：“某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？”2. 引导学生分析： - 已知条件：总工人22名；每人每天生产螺钉1200个或螺母2000个；螺钉与螺母配套比例1:2。 - 未知量：生产螺钉的工人数、生产螺母的工人数。3. 追问思考：“用一元一次方程如何解答？若设两个未知数，能否列出方程组更清晰地表示数量关系？”4. 引出课题：本节课将学习用二元一次方程组解决“配套问题”和“和差倍分问题”，掌握列方程组解应用题的核心方法。### （二）新知探究（15分钟）1. 列二元一次方程组解应用题的核心步骤（回顾强化）： - 审：审题，明确已知量、未知量及关键数量关系（等量关系）； - 设：设两个未知数（直接设所求量为\(x\)、\(y\)）； - 列：根据两个等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组； - 解：解方程组，求出未知数的值； - 验：检验解是否符合题意（如人数为正整数、配套比例是否成立）； - 答：写出完整答案，注明单位。2. 题型一：配套问题（核心：找准配套比例对应的等量关系） - 以导入问题为例，梳理等量关系： ① 生产螺钉的工人数 + 生产螺母的工人数 = 总工人数（22名）； ② 每天生产的螺母数量 = 2×每天生产的螺钉数量（配套比例1:2）。 - 设未知数：设安排\(x\)名工人生产螺钉，\(y\)名工人生产螺母。 - 列方程组：\(\begin{cases}x + y = 22 \\ 2000y = 2×1200x\end{cases}\) - 简化方程：第二个方程化简为\(2000y = 2400x\)，两边除以400得\(5y = 6x\)，方程组变为\(\begin{cases}x + y = 22 \\ 6x = 5y\end{cases}\)。 - 求解：由第一个方程得\(y = 22 - x\)，代入第二个方程：\(6x = 5(22 - x)\)，解得\(x = 10\)，则\(y = 12\)。 - 检验：生产螺钉数量\(10×1200 = 12000\)个，生产螺母数量\(12×2000 = 24000\)个，\(24000 = 2×12000\)，配套成立，人数为正整数，符合题意。3. 题型二：和差倍分问题（核心：根据“和、差、倍、分”关系列出等量关系） - 示例问题：“甲、乙两仓库共有粮食360吨，甲仓库的粮食储量是乙仓库的2倍，求甲、乙两仓库各有粮食多少吨？” - 等量关系： ① 甲仓库粮食 + 乙仓库粮食 = 总储量（360吨）； ② 甲仓库粮食 = 2×乙仓库粮食。 - 设未知数：设甲仓库有\(x\)吨，乙仓库有\(y\)吨。 - 列方程组：\(\begin{cases}x + y = 360 \\ x = 2y\end{cases}\) - 求解：代入法解得\(y = 120\)，\(x = 240\)，检验符合题意。### （三）例题讲解（12分钟）1. 例题1：配套问题（机械加工类） - 题目：某工厂生产一种零件，需要经过两道工序，第一道工序每人每天可加工20个，第二道工序每人每天可加工30个。现有100名工人，要使每天加工的零件刚好通过两道工序（第一道工序加工的零件数 = 第二道工序加工的零件数），应安排多少名工人做第一道工序，多少名工人做第二道工序？ - 解答： ① 审：总工人100名，第一道工序效率20个/人/天，第二道工序30个/人/天，两道工序零件数相等； ② 设：设安排\(x\)名工人做第一道工序，\(y\)名工人做第二道工序； ③ 列：\(\begin{cases}x + y = 100 \\ 20x = 30y\end{cases}\)； ④ 解：化简第二个方程得\(2x = 3y\)，由第一个方程得\(x = 100 - y\)，代入得\(2(100 - y) = 3y\)，解得\(y = 40\)，\(x = 60\)； ⑤ 验：第一道工序加工\(60×20 = 1200\)个，第二道工序\(40×30 = 1200\)个，数量相等，符合题意； ⑥ 答：应安排60名工人做第一道工序，40名工人做第二道工序。 - 小结：配套问题中，需明确“谁与谁配套”“配套比例是多少”，确保等量关系准确。2. 例题2：和差倍分问题（数字类） - 题目：一个两位数，十位数字与个位数字的和是11，十位数字比个位数字大3，求这个两位数。 - 解答： ① 审：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字，十位 + 个位 = 11，十位 - 个位 = 3； ② 设：设十位数字为\(x\)，个位数字为\(y\)； ③ 列：\(\begin{cases}x + y = 11 \\ x - y = 3\end{cases}\)； ④ 解：用加减消元法，①+②得\(2x = 14\)，解得\(x = 7\)，代入①得\(y = 4\)； ⑤ 验：十位数字7，个位数字4，和为11，差为3，两位数为74，符合题意； ⑥ 答：这个两位数是74。 - 小结：数字问题中，需注意十位数字的“位值”（如十位数字\(x\)表示\(10x\)），根据数字间的和差倍分关系列方程。3. 例题3：和差倍分与配套结合问题 - 题目：甲、乙两种零件共生产了120个，甲零件每个需要配3个螺丝，乙零件每个需要配2个螺丝，一共用了300个螺丝，求甲、乙两种零件各生产了多少个？ - 解答： ① 审：甲 + 乙 = 120个，甲用螺丝数 + 乙用螺丝数 = 300个； ② 设：设甲零件生产\(x\)个，乙零件生产\(y\)个； ③ 列：\(\begin{cases}x + y = 120 \\ 3x + 2y = 300\end{cases}\)； ④ 解：由①得\(y = 120 - x\)，代入②得\(3x + 2(120 - x) = 300\)，解得\(x = 60\)，\(y = 60\)； ⑤ 验：甲用螺丝\(60×3 = 180\)个，乙用螺丝\(60×2 = 120\)个，总螺丝\(180 + 120 = 300\)个，符合题意； ⑥ 答：甲、乙两种零件各生产了60个。 - 小结：结合类问题需找出两个独立的等量关系，分别对应“和差倍分”和“配套”，避免混淆。### （四）课堂练习（8分钟）1. 基础题： - （1）某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，一件上衣配一条裤子，应安排多少人加工上衣，多少人加工裤子？（答案：设\(x\)人加工上衣，\(y\)人加工裤子，\(\begin{cases}x + y = 54 \\ 8x = 10y\end{cases}\)，解得\(x = 30\)，\(y = 24\)）； - （2）甲、乙两数的和是45，甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数（答案：\(\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 4y\end{cases}\)，解得\(x = 36\)，\(y = 9\)）。2. 中档题： - （1）某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的齿轮刚好配套？（答案：设\(x\)人加工大齿轮，\(y\)人加工小齿轮，\(\begin{cases}x + y = 85 \\ 3×16x = 2×10y\end{cases}\)，解得\(x = 25\)，\(y = 60\)）； - （2）一个两位数，个位数字比十位数字小2，且这个两位数的数字和是14，求这个两位数（答案：\(\begin{cases}x - y = 2 \\ x + y = 14\end{cases}\)，解得\(x = 8\)，\(y = 6\)，两位数为86）。3. 拓展题： - 甲、乙两个工程队共有120人，其中乙队人数比甲队人数的2倍少6人，现因工程需要，从甲队调出部分人员到乙队，使乙队人数是甲队人数的3倍，求从甲队调出多少人？（答案：先求原人数\(\begin{cases}x + y = 120 \\ y = 2x - 6\end{cases}\)，解得\(x = 42\)，\(y = 78\)；设调出\(m\)人，\(78 + m = 3(42 - m)\)，解得\(m = 12\)）。### （五）课堂小结（2分钟）1. 核心题型：配套问题（找准配套比例，列“总量匹配”等量关系）、和差倍分问题（根据“和、差、倍、分”列等量关系）；2. 解题关键： - 设两个未知数，对应两个独立的等量关系； - 配套问题需注意“谁是谁的几倍”，避免等量关系颠倒； - 检验时关注解的实际意义（如人数、零件数为正整数）；3. 思想方法：用方程组表示实际问题的数量关系，体现“数学建模”思想，比一元一次方程更直接清晰；4. 后续衔接：下节课将学习用二元一次方程组解决行程、工程等更复杂的实际问题，进一步提升应用能力。
分析：需要求出中国邮票和外国邮票的张数.
中国邮票的张数 + 外国邮票的张数 = 335
中国邮票的张数 = 3×外国邮票的张数－17
请同学们分小组列出一元一次方程或二元一次方程组解决这个问题吧！
解:设小楠有中国邮票 x 张，外国邮票 y 张，根据等量关系，得
解:设小楠有中国邮票 x 张，外国邮票(335-x)张，根据等量关系，得
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；(2) 设元：用___________表示题目中的未知数；(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4) 解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值；(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义， 然后作答.
例1 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为 10 m/s，跑步的平均速度为 ，自行车路段和长跑路段共 5 km，共用时 15 min．求自行车路段和长跑路段的长度．
分析：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，骑自行车的时间+长跑时间=总时间.
解： 设自行车路段的长度为 x m，长跑路段的长度为 y m.
因此自行车路段的长度为 3000 m，长跑路段的长度为 2000 m．
3. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 车间总人数
螺钉总产量 + 螺母总产量 = 螺母螺钉总产量
1. 基本数量关系：配套数量比例；2. 生产中常见的配套问题：螺钉和螺母、盒身与盒底、桌面与桌腿、衣身与衣袖等.
解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人.
答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.
例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.求甲、乙两种商品原来的单价.
本问题涉及的等量关系为：甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元，调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元.
x - 15%x = (1-15%)x
x + 10%x = (1+10%)x
解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.
答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元.
3. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％，12％ 的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
分析 本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量+乙配料质量 = 总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量= 总蛋白质质量.
解：设含蛋白质 20％ 的配料需用 x kg，含蛋白质12％ 的配料需用 y kg.
答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质 20％ 的配料需用 37.5 kg，含蛋白质12％的配料需用 62.5 kg.
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同学交流.
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合， 它就是实际问题的解
了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为____里/分钟.
4.［2025怀化期末］甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
和差倍分、行程、工程、配套等...
审题：弄清题意和题目中的________
设元：用____表示题目中的未知数
列方程组：根据__个等量关系列出方程组
解方程组：______________