初中人教版（2024）20.1 勾股定理及其应用教案

这是一份初中人教版（2024）20.1 勾股定理及其应用教案，共6页。教案主要包含了内容和内容解析，学生学情分析，教学策略分析，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1.内容
人教版数学八年级下册《人民教育出版社》勾股定理的探索、证明及简单运用
内容解析
勾股定理是学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。勾股定理是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c²，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长。勾股定理常用来求解线段长度或距离问题。
本节课勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形入手，到网格中的一般直角三角形，体现了特殊到一般的探索、发现和证明的过程。从以两直角边长为边长的正方形面积和等于以斜边长为边长的正方形面积，引出两直角边的平方和等于斜边的平方。证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出猜想，并获得定理的证明。
目标和目标解析
1.目标
（1）理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法，能运用勾股定理解决实际问题。
（2）体验勾股定理的探索过程，体会数形结合的思想，学会与他人合作。
（3）感受解决问题方法的多样性，培养探索精神和发散性思维。
（4）了解勾股定理的文化背景，感受数学文化，激发学生的学习热情和爱国意识。
2.目标解析
（1）学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论。理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理。了解勾股定理相关史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。
（2）学生能运用勾股定理进行简单计算，已知直角三角形两边长求出第三边。
三、学生学情分析
八年级学生思维比较活跃，在平时自主学习，合作探究能力训练的基础上，具有一定的归纳、总结能力及合作意思。他们有参与实际问题活动的积极性，但技能和方法有待提高；学生在之前学习的基础上，已经积累了一些有关“图形与几何”的知识和经验，形成一定程度的空间感。他们对周围事物感知和理解能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高，加之勾股定理的内容在小学就有所了解。在教学中利用多媒体，提问、猜想假设，通过独立、合作探究解释证明，巩固应用。
四、教学策略分析
本阶段学生已经过一年半的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力、动手能力、探究能力”为重点的教学思想。本节课采用“问题导学、自主探究”的教学模式，使学生在自主探究的过程中完成学习任务。
五、教学准备
多媒体课件 三角板 任务学习单
六、教学过程
一 情景导入
PPT展示图片 （数学书 勾股树 会徽）

师： 2002年北京召开了24届国际数学家大会，是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学届的“奥运会”图1就是大会会徽的图案，你见过这个图案吗？它是由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的含义？ 学生通过观察回答：直角三角形，正方形，并能指出三角形都是全等关系。
师：“今天我们就一起来探究这些图形中的奥秘”----引出今天所学的内容《勾股定理》
［设计意图］让学生带着疑问进入新知，能更好的调动学生学习的积极性
二 探究新知
探究等腰直角三角形三边关系
（PPT播放） 看似平淡无奇的现象有时却隐含着深刻的数学道理，相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系,
B
C
A
问：三个正方形A ,B, C的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
拿出学习任务单，完成活动一。
要求：独立完成，观察图形，分析、思考其中隐含的规律
活动一：
①三个正方形A,B,C的面积有什么关系？
学生回答：两个小正方形的面积和等于大正方形面积（学生回答时说明探究方法）
②等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
引导学生回答：斜边的平方等于两直角边的平方和
一直角边²+另一直角边²=斜边²
［设计意图］学生通过独立观察，发现三个正方形面积关系，探索出等腰直角三角形三边的关系，
探究一般直角三角形的三边关系
师：那是不是只有等腰直角三角形才有这样的性质，其他一般的直角三角形是否也有类似的面积关系呢？完成任务学习单
活动二：
要求：4人一小组，合作探究，分别求出A,B,C的面积，并寻找它们之间的关系？
图中每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A,B,C，A＇,B＇,C＇的面积，看看能得出什么结论。
'
'
'
学生通过合作探究得出分割法求出正方形C与C'的面积
方法一:分割法
SA=2²=4 SB=3²=9 SC=4×½×2×3＋1²=13
SA＇= 4²=16 SB＇=3²=9 SC＇=4×½×3×4＋1²=25
正方形C，C＇的面积等于四个直角三角形面积加上一个小正方形面积
方法二：补形法
SA=2²=4 SB=3²=9 SC=5²-4×½×3×5=13
SA＇= 4²=16 SB＇=3²=9 SC＇=7²-4×½×3×4=25
正方形C，C＇的面积等于一个正方形面积减去四个直角三角形面积
发现：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
一直角边²+另一直角边²=斜边²
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b斜边长是c，那么a²+b²=c²
通过右边的动图可以形象的证明我们猜想的正确性
［设计意图］学生合作探究，通过观察、分析利用分割法求出大正方形的面积，发现一般直角三角形的三边关系，经历勾股定理的形成过程。从等腰直角三角形到一般直角三角形体现了从特殊到一般的思想。
证明命题
数值转化为字母
问：现在直角三角形的两条直角边长分别是a,b斜边长是c，刚刚提出的猜想还成立吗？自己试着证明一下。
b c

a
完成学习任务单的活动三，要求根据图形自己独立完成，用你喜欢的方法证明
活动三：
分割法：c²=½ab×4＋(a﹣b)²
补形法：c²=(b+a)²﹣½ab×4
经过整理得到a²+b²=c²
［设计意图］让学生从具体的数值到字母表示数，利用分割法证明命题，培养学生的灵活思维能力，体现了数学中的转换思想。
展示证明方法
（PPT展示）1 古人赵爽的证明

回到开始的会徽
（PPT展示）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代，数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
2 归纳新知
（PPT展示）我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。因此，把这个揭示直角三角形三边关系的定理叫作“勾股定理”。
即：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
用几何语言表述为用几何语言表述为：
在Rt△ABC中，∠C=90°则 a²+b²=c²
公式变形为：
（PPT展示）3其他的证明方法
毕达可斯拉，美国总统加菲贝德，欧几里德
勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学课后可以继续研究。
［设计意图］师生共同总结勾股定理，了解勾股定理相关史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。培养学生学习数学的兴趣。
三 新知应用
1.判断下列说法是否正确
在△ABC中，a、b、c为三角形三边，则a²+b²=c² （ ）
在Rt△ABC中，∠B=90°，则a²+b²=c² （ ）
在Rt△ABC中，∠A=90°，则a²+b²=c² （ ）
在Rt△ABC中，∠C=90°，则a²+c²=b² （ ）
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a=b=5,求c;
若a=1,c=2,求b.
如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.

［设计意图］设置分层作业，是为了适应不同层次学生的学习需求，既巩固知识，又充分发挥学生学习的想象力和创造力。
四 课堂小结
谈谈今天这节课你有什么收获？运用到了哪些知识？
学生自己谈谈自己的收获
五 课后作业
用几何方法证明勾股定理
28页第1、7、8、11题
板书设计
教学反思：
本节课是公式课，探索勾股定理和利用数形结合的方法验证勾股定理。勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，是一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，在现实生活中的应用也非常广泛。
本节课采用的教学流程是：创设情景-激发兴趣-提出问题（自主探究）-展示探究结果-深入探究-总结结论-实践应用-回顾小结等几个环节来完成学习任务。在这一个过程中，让学生经历了知识的产生，形成和发展过程。让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，更好的理解掌握勾股定理，应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，争强学生学习数学的信心。
本节课本节课中的学生观察地砖铺成的地面，分别以图中的等腰直角三角形三边为边向外作正方形，求出这三个正方形的面积,尤其计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积，对等腰直角三角形三边关系的发现，自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了语言表达和概括能力。这样学生通过正方形面积之间的关系主动建立了由形到数，由数到形的联想，同时也初步感受到对于直角三角形而言，三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样的设计有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。
C
A
勾股定理
等腰直角三角形
B
SA + SB = SC
一直角边²+另一直角边²=斜边²
一般直角三角形
两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 b c
用几何语言表述为：在Rt△ABC中，∠C=90° a
则 a²+b²=c²
公式变形为：