2026年九年级中考数学真题分类训练考点27圆的基本性质练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点27圆的基本性质练习含答案，共14页。
1.(2024连云港)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为( )
A.倾斜直线B.抛物线
C.圆弧D.水平直线
2.(2023连云港)如图,甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形;乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形;丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是( )
A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形
C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形
(第2题) (第3题)
3.(2023江西)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
命题点2 圆周角定理及其推论的相关计算
4.(2024湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60°B.75°C.90°D.135°
(第4题) (第5题) (第6题)
5.(2024云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若AC=BC,∠AOC=36°,则∠D=( )
A.9°B.18°C.36°D.45°
6.(2024甘肃)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.35°
7.(2024宜宾)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
(第7题) (第8题) (第9题)
8.(2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何?”结合图形(如图),其大意是:今有圆形木材,直径BD为25寸(注:1寸≈3.33厘米),要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是( )
A.674 寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
9.(2024泰安)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,BA平分∠CBD.若∠AOD=50°,则∠A的度数为( )
A.65°B.55°C.50°D.75°
10.(2024宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于D.则AB+ACAD的值为( )
A.2B.3C.22D.23
(第10题) (第11题)
11.(2023河北)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是( )
A.abD.a,b大小无法比较
12.(2024武汉)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是( )
A.63B.223C.32D.22
(第12题) (第13题)
13.(2024北京)如图,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C= °.
14.(2024南充)如图,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,∠BOC=30°,则∠ADC= °.
(第14题) (第15题) (第16题)
15.(2024苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
16.(2024陕西)如图,BC是☉O的弦,连接OB,OC,∠A是BC所对的圆周角,则∠A与∠OBC 的和的度数是 .
17.(2024临沂)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB= .
(第17题) (第18题) (第19题)
18.(2024连云港)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
19.(2024眉山)如图,△ABC内接于☉O,点O在AB上,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接BD.若AB=10,BD=25,则BC的长为 .
命题点3 垂径定理及其推论
角度1垂径定理及其推论的相关计算
20.(2024新疆)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为( )
A.1B.2C.3D.4
(第20题) (第21题)
21.(2024广州)如图,☉O中,弦AB的长为43,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O上B.点P在☉O内
C.点P在☉O外D.无法确定
22.(2024重庆B)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为( )
A.28°B.34°
C.56°D.62°
角度2垂径定理的实际应用
23.(2024通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心O.若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为( )
mB.1.3 mC.1.4 m m
24.(2024凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为( )
A.50 cmB.35 cmC.25 cmD.20 cm
(第24题) (第25题)
25. (2023东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何.”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸(注:1寸≈3.33厘米),AB=10寸,则直径CD的长度为 寸.
命题点4 圆内接四边形
26.(2024广元)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于( )
A.64°B.60°C.54°D.52°
(第26题) (第27题)
27.(2024吉林)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是( )
A.50°B.100°C.130°D.150°
28.(2024济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为( )
A.42°B.41°20'C.41°D.40°20'
(第28题) (第29题)
29.(2024滨州)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形OABC是菱形,则∠D= °.
命题点5 圆的基本性质综合题
30.(2024安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
31.(2024新疆)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AD=BD.
(1)求证:△ACD∽△ECB;
(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.
32.(2024苏州)如图,△ABC中,AB=42,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cs∠ADC=24,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
33.(2023长春) 【感知】如图(1),点A,B,P均在☉O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为 度.
【探究】小明遇到这样一个问题:如图(2),☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在AC上(点P不与点A,C重合),连接PA,PB,PC.求证:PB=PA+PC.
小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA,可推得△PBE是等边三角形,进而得证.
下面是小明的部分证明过程:
证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°.
∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE.
∵△ABC是等边三角形.∴BA=BC,
∴△PBC≌△EBA(SAS).
请你补全余下的证明过程.
【应用】如图(3),☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA,PB,PC.若PB=22PA,则PBPC的值为 .
图(1) 图(2) 图(3)
考点27圆的基本性质
1 C
2 B 由扇形的定义(提示:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形)可知,只有乙是扇形.故选B.
3 D ∵不在同一直线上的三个点确定一个圆,∴能作圆的情况有A,B,P;A,C,P;A,D,P;B,C,P;B,D,P;C,D,P,共6种,故最多可画出圆的个数为6个.故选D.
4 C ∠BOC=2∠BAC=90°(依据:同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍).
5 B 连接OB,∵AC=BC,∴∠BOC=∠AOC=36°(依据:等弧所对的圆心角相等),∴∠D=12∠BOC=18°(依据:圆周角定理).
6 A ∵∠A=35°,∴∠O=2∠A=70°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).∵AC⊥OB,∴∠CDO=90°,∴∠C=90°-∠O=20°.故选A.
7 A ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°(依据:圆周角定理的推论).∵∠A=∠CDB=60°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=90°-∠A=30°.故选A.
8 C 由题意知,四边形ABCD是矩形,∴BC⊥CD,∴在Rt△BCD中,BC=BD2-CD2=252-72=24(寸),故选C.
9 A ∵∠AOD=50°,∴∠ABD=12∠AOD=25°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°.∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),∴∠A=180°-90°-25°=65°.故选A.
10 A 如图,连接BD,CD.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠BDC=90°(依据:圆周角定理的推理).∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴BD=DC,∴BD=CD.将△ADC绕点D逆时针旋转90°,得到△A'DB,∠A'BD+∠ABD=∠ABD+∠ACD=180°,故A,B,A'三点共线,∴AB+AC=AB+A'B=AA'(点拨:截长补短法).∵由旋转可知∠A'DB=∠ADC,A'D=AD,∴∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+∠BDA=∠BDC=90°,∴在等腰直角三角形A'DA中,AA'AD=2,∴AB+ACAD=2.故选A.
本题可利用特殊位置求解.当点A在BC的垂直平分线上时,AD为直径,易得AB=AC=22BC,∴AB+ACAD=2BCAD=2.
11 A △P1P3P7的周长=P7P3+P1P3+P1P7=a,四边形P3P4P6P7的周长=P7P3+P4P6+P3P4+P6P7=b.如图,连接P1P8,P7P8,则P1P8+P7P8>P1P7.∵点P1~P8是☉O的八等分点,∴P1P3=P4P6,P1P8=P7P8=P3P4=P6P7,∴P3P4+P6P7>P1P7,∴b>a.
12 A 如图,延长AB至点E,使BE=AD,连接BD,CE.∵AB+AD=2,∴AB+BE=AE=2.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°(提示:圆内接四边形对角互补).又∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC=∠CBE.∵∠BAC=∠CAD=45°,∴∠CDB=∠CBD=45°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴DC=BC,∠DCB=90°,∴△ADC≌△EBC(SAS),∴∠ACD=∠ECB,CA=CE,∴∠ACE=∠DCB=90°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AC=22AE=2.连接CO并延长交☉O于点F,连接AF,则∠FAC=90°(依据:直径所对的圆周角为直角).又∵∠AFC=∠ABC=60°,∴CF=ACsin60°=263,∴OF=OC=12CF=63.
13 55
【解析】∵直径AB平分弦CD,∴AB⊥CD.∵∠A=∠D=35°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠C=90°-35°=55°.
14 75
【解析】∵∠BOC=30°,∴∠AOC=180°-∠BOC=150°,∴∠ADC=12∠AOC=75°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半).
连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角).∵∠BOC=30°,∴∠BDC=12∠BOC=15°,∴∠ADC=∠ADB-∠BDC=75°.
15 62
【解析】如图,连接OC,∵OB=OC,∠OBC=28°,∴∠OCB=∠OBC=28°,∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=124°,∴∠A=12∠BOC=62°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).
16 90°
17 40°
【解析】如图,连接OB,∵∠ACB=25°,∴∠AOB=2∠ACB=50°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半).∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=12(180°-∠AOB)=65°.∵OA∥CB,∴∠OAC=∠ACB=25°,∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°.
18 90
【解析】如图,连接FD,FE,FB,则∠AFB=90°(依据:直径所对的圆周角为直角),∠CFD=∠2,∠DFE=∠3,∠EFB=∠4(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠CFD+∠DFE+∠EFB=∠AFB=90°.
19 8
【解析】如图,延长AC,BD交于点E.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ADE=∠ACB=∠BCE=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAE.又∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(ASA),∴DE=BD=25,∴BE=45.∵AB=10,BD=25,∴AD=102-(25)2=45.∵∠DAC=∠CBD,∠BAD=∠DAE,∴∠BAD=∠CBD,∴△ABD∽△BEC,∴BEAB=BCAD,∴4510=BC45,∴BC=8.
20 B ∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴DE=12CD=4(依据:垂径定理).在Rt△DOE中,OE=52-42=3,∴BE=5-3=2.故选B.
21 C 连接AO.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.设OC与AB交于点D.∵OC⊥AB,∴AD=BD=12AB=23,∴OA=ADsin60°=4.∵OP=5>4,∴点P在☉O外.
22 B ∵∠D=28°,∴∠BOC=2∠D=56°.∵OC⊥AB,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=90°-∠BOC=34°.
23 B 24 C
25 26
【解析】如图,连接OA.∵AB⊥CD,AB=10,∴AE=BE=5.设☉O的半径为x,则OC=OA=x,∴OE=x-1.在Rt△AOE中,根据勾股定理,得x2-(x-1)2=52,∴2x=26,即直径CD的长度是26寸.
26 A
27 C ∵BE∥AD,∴∠D=∠BEC=50°,∴∠ABC=180°-∠D=130°(点拨:圆内接四边形对角互补).
28 C
29 60
【解析】∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠B+∠D=180°.∵四边形OABC是菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠AOC+∠D=180°.又∠AOC=2∠D,∴3∠D=180°,∴∠D=60°.
如图,连接OB,∵四边形OABC是菱形,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAB=60°,∴∠OAB+∠AOC=180°,∴∠AOC=180°-∠OAB=120°,∴∠D=12∠AOC=60°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).
30 (1)证明:因为FA=FE,所以∠FAE=∠AEF.
又∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角,
所以∠FAE=∠BCE.
由于∠AEF=∠CEB,所以∠CEB=∠BCE.
因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠DCE.
又AB是直径,所以∠ACB=90°.
于是∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°.
故∠CDE=90°,即CD⊥AB.
(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,所以BE=BC.
又AF=EF,FM⊥AB,所以MA=ME=2,AE=4,
从而圆的半径OA=OB=AE-OE=3,
于是BC=BE=OB-OE=2.
在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,
所以AC=AB2-BC2=62-22=42,
即AC的长为42.
31 (1)证明:∵AD=BD,
∴∠ACD=∠BCE(依据:等弧所对的圆周角相等).
又∵∠ADC=∠ABC(依据:同弧所对的圆周角相等),
∴△ACD∽△ECB.
(2)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),
∴∠ACD=∠BCD=45°.
过点B作BF⊥CD于点F,如图,则BF=CF=22BC=22.
∵∠CAB=∠CDB,
∴tan∠CDB=tan∠CAB=13,
∴BFDF=13,
∴DF=322,
∴CD=CF+DF=22.
∵△ACD∽△ECB,
∴CACE=CDCB,即3CE=221,
∴CE=324.
第(2)问有其他解法:
方法一:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中,AB=BC2+AC2=12+32=10,
∴sin∠CAB=1010,cs∠CAB=31010,AO=BO=102.
过点C作CG⊥AB于点G,如图(1),则CG=ACsin∠CAG=31010,AG=ACcs∠CAG=91010,
∴OG=AG-AO=2105.
连接OD,∵AD=BD,∴AD=BD.
又∵AO=OB,
∴DO⊥AB(依据:等腰三角形“三线合一”),
∴DO∥CG,
∴△OED∽△GEC(依据:“8”字型相似),
∴OEEG=ODCG=10231010=53,
∴EG=38OG=31020.
在Rt△CEG中,CE=CG2+EG2=324.
图(1) 图(2)
方法二:如图(2),过点E作EM⊥BC于点M.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE=45°,
∴∠CEM=45°=∠ECM,
∴ME=MC.
∵∠ACM=∠EMB=90°,
∴EM∥AC,
∴∠BEM=∠BAC(依据:两直线平行,同位角相等),
∴tan∠BEM=tan∠BAC=13.
在Rt△BEM中,设BM=m,则CM=EM=3m,
∴BC=BM+CM=4m.
∵BC=1,∴m=14,∴CM=34,
∴CE=2CM=324.
32 (1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,∴△BAC∽△BCD,
∴BCBD=BABC.
∵AB=42,D为AB的中点,∴BD=AD=22,
∴BC22=42BC,∴BC=4.
(2)如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO,并延长交☉O于F,连接AF.
在Rt△AED中,cs∠CDA=DEAD=24.
∵AD=22,∴DE=1,
∴AE=AD2-DE2=7.
∵△BAC∽△BCD,∴ACCD=ABBC=2.
设CD=x,则AC=2x,CE=x-1.
∵在Rt△ACE中,AC2-CE2=AE2,
∴(2x)2-(x-1)2=(7)2,
即x2+2x-8=0,解得x1=2,x2=-4(舍去).
∴CD=2,AC=22.
∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角,
∴∠AFC=∠ADC.
∵CF为☉O的直径,
∴∠CAF=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),
∴sin∠AFC=ACCF=sin∠CDA=AEAD=144.
∴CF=877,∴☉O的半径为477.
33 【感知】45
【探究】补充证明过程如下:
∴PB=EB,∠PBC=∠EBA,
∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△PBE是等边三角形,
∴PB=PE=PA+AE=PA+PC.
【应用】223
解法提示:如图,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,
∴∠BAP+∠BCP=180°(依据:圆内接四边形对角互补).
又∵∠BAP+∠BAE=180°,
∴∠BCP=∠BAE.
又∵PC=AE,BC=AB,
∴△PBC≌△EBA(SAS),
∴PB=EB,∠PBC=∠EBA,
∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°,
∴PE=2PB.
∵PE=PA+AE=PA+PC,
∴PA+PC=2PB,
又∵PB=22PA,
∴PA+PC=2×22PA=4PA,
∴PC=3PA,
∴PBPC=22PA3PA=223.