2024中考数学全国真题分类卷 第十九讲 圆的基本性质 (含答案)

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第1题图
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2. (2023滨州)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为( )
第2题图
A. 32° B. 42° C. 52° D. 62°
3. (2023陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝( )
第3题图
A. 44° B. 45° C. 54° D. 67°
4. (2023山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )
第4题图
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
源自北师九下P84第2题
5. (2023包头)如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点．连接 BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为( )
第5题图
A. 22° B. 32° C. 34° D. 44°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )
第6题图
A. 2 eq \r(3) B. 3 eq \r(2) C. 2 eq \r(5) D. eq \r(5)
7. (2022武汉)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E.若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是( )
第7题图
A. 21.9°＜α＜22.3° B. 22.3°＜α＜22.7°
C. 22.7°＜α＜23.1° D. 23.1°＜α＜23.5°
8. (2023常州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝ eq \r(2) ，则⊙O的半径是________．
第8题图
9. (2023凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs ∠ACB的值是________．
第9题图
10. (2023济宁)如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan ∠CBD＝ eq \f(1,3) ，则AD的长是________．
第10题图
命题点2 垂径定理及其推论[2023版课标探索并证明垂径定理调整为要求内容]
类型一 垂径定理及其推论有关的计算
11. (2023云南)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为( )
第11题图
A. eq \f(7,13) B. eq \f(12,13) C. eq \f(7,12) D. eq \f(13,12)
12. (2023南充)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为( )
第12题图
A. 70° B. 65° C. 50° D. 45°
13. (2023安徽)已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A. eq \r(14) B. 4 C. eq \r(23) D. 5
14. (2023邵阳)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是( )
A. eq \f(3,2) B. eq \f(\r(3),2) C. eq \r(3) D. eq \f(5,2)
第14题图
15. (2023泸州)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E. 若AC＝4 eq \r(2) ，DE＝4，则BC的长是( )
第15题图
A. 1 B. eq \r(2) C. 2 D. 4
16. (2023湖州)如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是________．
第16题图
类型二 垂径定理的实际应用
17. (新趋势)·真实问题情境 (2023鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图①所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为( )
A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 24 cm
第17题图
18. (2023青海省卷)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O的半径长为________m.
第18题图
源自人教九上P90第8题
19. (新趋势)·跨学科背景 (2023遵义)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
(参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cs 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为________千米．
第19题图
命题点3 圆内接四边形
20. (2022吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )
第20题图
A. 30° B. 45° C. 50° D. 65°
21. (2023自贡)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( )
第21题图
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
22. (2022泰安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为( )
A. 2 eq \r(3) －2 B. 3－ eq \r(3)
C. 4－ eq \r(3) D. 2
第22题图
23. (2023雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为________．
第23题图
命题点4 圆的基本性质综合题
更多试题见P81题型四类型一
24. (2023湘潭)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
第24题图
25. (2022上海)已知：在⊙O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，连接MN，OG.
(1)求证：OG⊥MN；
(2)连接AC、AM、CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．
第25题图
26. (2023武汉)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝10，BE＝2 eq \r(10) ，求BC的长．
第26题图
27. (2023成都)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F.
(1)求证：∠A＝∠ACF；
(2)若AC＝8，cs ∠ACF＝ eq \f(4,5) ，求BF及DE的长．
第27题图
参考答案与解析
1. B
2. A 【解析】∵∠APD是△ACP的外角，∴∠A＋∠C＝∠APD.∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝∠APD－∠A＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.
3. A 【解析】如解图，连接OB，∵△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝ eq \f(180°－∠AOB,2) ＝ eq \f(180°－92°,2) ＝44°.
第3题解图
4. C 【解析】如解图，连接CD，即∠ADC＝∠B＝20°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝180°－90°－20°＝70°.
第4题解图
5. C 【解析】如解图，连接OE，∵∠ABC＝22°，∴∠AOC＝44°，∴∠BOC＝136°，∵E为劣弧的中点，∴∠COE＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝68°，∴∠CDE＝34°.
第5题解图
6. D 【解析】如解图，连接BC，∵∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD.∵AD＝2，∴BC＝AD＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝4，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴⊙O的半径为 eq \r(5) .
第6题解图
7. B 【解析】如解图，连接AC，CD，DE.∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵＝，∴BE＝DE，∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠EDB＝∠ABC＝α，∴∠DCE＝∠CED＝2∠ABC＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠ABC＋∠DCE＝3α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝90°，即3α＋α＝90°，解得α＝22.5°，∴22.3°＜α＜22.7°.
第7题解图
8. 1 【解析】如解图，连接OA，OC，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∴△AOC为等腰直角三角形，∵AC＝ eq \r(2) ，∴OA＝OC＝1.
第8题解图
9. eq \f(2\r(13),13) 【解析】如解图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝ eq \r(AB2＋BD2) ＝ eq \r(62＋42) ＝2 eq \r(13) ，∴cs ∠ADB＝ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(4,2\r(13)) ＝ eq \f(2\r(13),13) ，∵∠ACB＝∠ADB，∴cs ∠ACB的值是 eq \f(2\r(13),13) .
第9题解图
10. 2 eq \r(2) a 【解析】如解图，连接AB，过点C作CE⊥AD于点E，∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴AB是⊙O的直径，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CAD＋∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周相等可得，∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＋∠BCD＝45°，∴∠CDB＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝135°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDE＝∠CDB－∠ADB＝45°.又∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CD＝a，∴CE＝DE＝ eq \f(\r(2),2) CD＝ eq \f(\r(2),2) a.∵tan ∠CBD＝ eq \f(1,3) ，∴tan ∠CAD＝ eq \f(CE,AE) ＝ eq \f(1,3) ，∴ eq \f(\f(\r(2),2)a,AE) ＝ eq \f(1,3) ，解得AE＝ eq \f(3\r(2),2) a，∴AD＝AE＋DE＝2 eq \r(2) a.
第10题解图
11. B 【解析】由垂径定理得，CE＝DE＝12，∵AB＝26，∴OC＝13，在Rt△OCE中，cs ∠OCE＝ eq \f(CE,OC) ＝ eq \f(12,13) .
12. C 【解析】如解图，连接BD，∵弦CD垂直于直径AB，∴＝，∴∠ABC＝∠ABD，∵OF⊥BC，∴∠OFB＝90°，∴∠ABC＝∠ABD＝90°－∠BOF＝
90°－65°＝25°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×25°＝50°.
第12题解图
13. D 【解析】如解图①，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，OP，则AM＝ eq \f(4＋6,2) ＝5，∵OA＝7，∴根据勾股定理得，OM＝ eq \r(72－52) ＝2 eq \r(6) ，∵PM＝AM－PA＝1，∴OP＝ eq \r(（2\r(6)）2＋12) ＝5.
第13题解图①

第13题解图②
【一题多解】如解图②，过点P作⊙O的直径CD，连接BC，AD.∵∠C＝∠A，∠B＝∠D，∴△PBC∽△PDA，∴ eq \f(PB,PD) ＝ eq \f(PC,PA) ，设OP＝a，∵OC＝OD＝7，则 eq \f(6,7－a) ＝ eq \f(7＋a,4) ，解得a＝5(负值已舍去)，∴OP＝5.
14. C 【解析】如解图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝3，∴AD＝BD＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(3,2) ，∠ABO＝30°，∴BO＝ eq \f(BD,cs ∠ABO) ＝ eq \f(\f(3,2),cs 30°) ＝ eq \r(3) ，即⊙O的半径是 eq \r(3) .
第14题解图
15. C 【解析】∵OD⊥AC，∴AD＝ eq \f(1,2) AC＝2 eq \r(2) ，设OD＝x，则OE＝OA＝4－x，在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，∴(4－x)2＝x2＋(2 eq \r(2) )2，∴x＝1，∴OD＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC.∵O为AB的中点，∴BC＝2OD＝2.
16. 30° 【解析】∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB.∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴∠APD＝ eq \f(1,2) ∠AOD＝30°.
17. C 【解析】如解图，连接OE交AB于点F，连接OA，设OA＝R，∵AC＝BD＝4 cm，∴OF＝R－4，又∵AB＝CD＝16 cm，∴AF＝8 cm，在Rt△OAF中，R2＝(R－4)2＋82，解得R＝10 cm，即直径为20 cm.
第17题解图
18. eq \f(10,3) 【解析】如解图，连接OA，设此圆的半径为r m，则OA＝OD＝r m，∵AB＝4 m，CD＝6 m，CD⊥AB，CD经过圆心，∴AC＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×4＝2(m)，OC＝CD－OD＝(6－r)m，在Rt△AOC中，OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝ eq \f(10,3) ，即⊙O的半径长为 eq \f(10,3) m.
第18题解图
19. 33792 【解析】如解图，过点O作OD⊥BC于点D，根据题意得OB＝OA＝6400，∵BC∥OA，∴∠B＝∠BOA＝28°，∵在Rt△BOD中，∠B＝28°，∴BD＝OB·cs 28°，∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知BD＝DC＝ eq \f(1,2) BC，∴以BC为直径的圆的周长为2π×BD≈2×3×6400×0.88＝33792.
第19题解图
20. D 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝120°，∴∠CDA＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，∵∠APC＝∠CDA＋∠DCP，∴∠APC>∠CDA，∴∠APC>60°，∴∠APC的度数可能为65°.
21. C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°－20°＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°，∴∠BCD＝110°.
22. C 【解析】如解图，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，∠CBE＝90°，∠ECB＝60°，∴∠E＝30°，设CE＝2x，则BE＝ eq \r(3) x.∵AB＝2，CD＝1，∴cs E＝ eq \f(ED,AE) ＝ eq \f(BE,EC) ，即 eq \f(1＋2x,2＋\r(3)x) ＝ eq \f(\r(3)x,2x) ，解得x＝2 eq \r(3) －2，∴AD＝ eq \f(AE,2) ＝ eq \f(\r(3)（2\r(3)－2）＋2,2) ＝4－ eq \r(3) .
第22题解图
23. 144° 【解析】∵∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，∠DCE＝72°，∴∠A＝∠DCE＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.
24. (1)证明：∵∠C和∠B都是所对的圆周角，
∴∠C＝∠B，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
(2)解：∵∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝6，
∴OA＝3，即⊙O的半径为3.
【一题多解】如解图，连接OD，
∵∠C＝30°，
∴∠AOD＝2∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝AD＝3，即⊙O的半径为3.
第24题解图
25. 证明：(1)如解图，连接OM，ON，
∵在⊙O中，AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，
∴OM＝ON，OM⊥BC，ON⊥AD，
∵OG＝OG，
∴Rt△MOG≌Rt△NOG，
∴GM＝GN，
∴点O和点G都在线段MN的垂直平分线上，
∴OG⊥MN；
(2)∵AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，
∴AN＝CM，
∵GM＝GN，
∴AG＝CG，∠GMN＝∠GNM，
∵CN∥OG，OG⊥MN，
∴CN⊥MN，
∵∠GMN＋∠MCN＝90°，∠GNM＋∠CNG＝90°，
∴∠MCN＝∠CNG，
∴GN＝CG，
∴GM＝GN＝CG＝AG，
∴四边形ACNM为矩形．
第25题解图
26. 解：(1)△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE.
∴BD＝ED.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
(2)如解图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，
∴BD＝CD.
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2 eq \r(10) ，
∴BD＝2 eq \r(5) .
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5.
设OF＝t，则DF＝5－t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝(2 eq \r(5) )2－(5－t)2，
解得t＝3.
∴BF＝4，
∴BC＝2BF＝8.
第26题解图
27. (1)证明：∵＝，∴∠ECB＝∠CBD.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACF＋∠FCB＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACF；
(2)解：如解图，连接CD.
∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，∴AF＝FC＝FB，
∵cs A＝cs ∠ACF＝ eq \f(4,5) ＝ eq \f(AC,AB) ，AC＝8，
∴AB＝10，BC＝6，
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CD，
∴CD＝ eq \f(AC·BC,AB) ＝ eq \f(24,5) ，
∴BD＝ eq \r(BC2－CD2) ＝ eq \r(62－（\f(24,5)）2) ＝ eq \f(18,5) ，
∵BF＝AF＝5，∴DF＝BF－BD＝5－ eq \f(18,5) ＝ eq \f(7,5) .
∵∠DEF＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B＝∠BCF，∴DE∥CB，
∴△DEF∽△BCF，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(DF,BF) ，∴ eq \f(DE,6) ＝ eq \f(\f(7,5),5) ，
∴DE＝ eq \f(42,25) .
第27题解图