2026年九年级中考数学真题分类训练考点25正方形的判定与性质练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点25正方形的判定与性质练习含答案，共8页。
A.2B.3C.52D.83
(第1题) (第2题) (第3题)
2.(2023宜宾)如图,边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P.若PM=PC,则AM的长为( )
A.3(3-1)B.3(33-2)
C.6(3-1)D.6(33-2)
3.(2024重庆B)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M,连接EM.若BE=DF=1,则DM的长度为( )
A.2B.5C.6D.125
4.(2024烟台)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为( )
A.45°−α2B.90°−α2C.45°+α2D.α2
(第4题) (第5题) (第6题)
5.(2023伊春)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.
6.(2024黑龙江龙东地区)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件: ,使得菱形ABCD为正方形.
7.(2024福建)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
(第7题) (第8题)
8.(2024常州)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是 .
9.(2024吉林)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则EFBC的值为 .
(第9题) (第10题)
10.(2023菏泽)如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC= °.
11.(2024北京)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为 .
(第11题) (第12题)
12.(2024遂宁)如图,在正方形纸片ABCD中,E是AB边的中点,将正方形纸片沿EC折叠,点B落在点P处,延长CP交AD于点Q,连接AP并延长交CD于点F.给出以下结论:①△AEP为等腰三角形;②F为CD的中点;③AP∶PF=2∶3;④cs∠DCQ=34.其中正确的结论是 .(填序号)
13.(2024广州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.
求证:△ABE∽△ECF.
14.(2023十堰)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,12AC,12BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形.
15.(2023绍兴)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
考点25正方形的判定与性质答案
1 B 由题意可得AD=CD=AB=6,GF=CG=CE=2,∴DG=4.∵AD∥BE∥GF,∴△ADH∽△FGH,∴ADGF=DHGH,即62=DH4−DH,∴DH=3.
2 C ∵四边形ABCD是边长为6的正方形,∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°.又DM=DM,∴△ADM≌△CDM,∴∠DAM=∠DCM.∵PM=PC,∴∠CMP=∠DCM,∴∠APD=2∠DCM=2∠DAM(提示:三角形外角的性质),∴∠DAM=30°,∴DP=23,AP=43,∴PM=PC=6-23,∴AM=AP-PM=43-(6-23)=6(3-1).
3 D ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°,AB=AD=CD=BC=4.又∵BE=DF=1,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF.∵AM平分∠EAF,∴∠EAM=∠FAM.又∵AM=AM,∴△AEM≌△AFM,∴EM=FM.设DM=x,则EM=FM=DM+DF=x+1,CM=CD-DM=4-x,在Rt△CEM中,CE=BC-BE=3,由勾股定理得EM2=CE2+CM2,∴(x+1)2=32+(4-x)2,解得x=125,∴DM=125.
4 B 设AC,BD的交点为O.∵正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,∴OD=OC,∠DOC=90°,DE=CF,∴OE=OF,∴∠OFE=∠OEF=45°.∵AB∥CD,∴△ABE∽△GDE(提示:“8”字型相似),∴DGBA=DEBE=12,∴DG=12BA=12CD=CG.又∠EDG=∠GCF=45°,∴△DEG≌△CFG(SAS),∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE=12(180°-∠AGF)=90°-12α,∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-12α-45°=45°-12α=90°−α2.
5 AB=AD(答案不唯一)
6 AC=BD(答案不唯一) 7 2 8 (-2,-1)
9 12
【解析】由四边形ABCD是正方形可知∠CAD=45°.又∵∠FEO=45°,∴EF∥AD.又∵E是AO的中点,∴F是DO的中点(依据:平行线分线段成比例),∴EF=12AD=12BC(依据:三角形的中位线定理),∴EFBC=12.
10 80
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∵∠ABE=55°,∴∠CBE=90°-55°=35°.∵△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF,∴∠EBF=90°,BE=BF,∴∠BEF=45°,∴∠EGC=∠CBE+∠BEF=35°+45°=80°.
11 278
【解析】如图,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∠CGD=∠DFA=90°,CD=AD,∴△CDG≌△DAF(点拨:“一线三直角”全等模型),∴DF=CG=4,∴AF=3.∵cs∠3=ADDE=DFAD,∴5DE=45,∴DE=254,∴EF=254-4=94,∴S△AEF=12×94×3=278.
12 ①②③
【解析】∵E为AB的中点,∴AE=EB.由折叠可知BE=EP,∴AE=EP,∴△AEP是等腰三角形,故①正确.∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA.由折叠可知∠PEC=∠BEC.又∵∠BEP=∠EAP+∠EPA(依据:三角形外角的性质),∴2∠PEC=2∠EPA,∴∠PEC=∠EPA,∴AF∥EC.又∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形,∴CF=AE,∴CF=12AB=12CD,即F是CD的中点,故②正确.设正方形ABCD的边长为2a,则AE=EP=a,CP=BC=2a,∴EC=(2a)2+a2=5a.如图,连接BP交EC于点M,由折叠的性质可知PB⊥EC,PM=BM,PC=BC=2a.在Rt△EPC中,12EP×PC=12EC×PM,∴PM=EP×PCEC=255a,∴PB=455a.∵AF∥EC,∴∠APB=∠PMC=90°,∴AP=AB2-BP2=255a,∴PF=AF-AP=5a-255a=355a,∴AP∶PF=2∶3,故③正确.∵∠EAP=∠EPA,∠EAQ=∠EPQ=90°,∴∠QAP=∠QPA,∴AQ=PQ,∴CQ=2a+AQ.在Rt△CDQ中,CD2+QD2=CQ2,∴(2a)2+(2a-AQ)2=(2a+AQ)2,∴AQ=12a,∴CQ=2a+AQ=52a,∴cs∠DCQ=DCCQ=45,故④错误.综上,正确的结论为①②③.
13 证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=BE+EC=3+6=9,∠B=∠C.
∵ABEC=96=32,BECF=32,
∴ABEC=BECF,
∴△ABE∽△ECF.
14 (1)四边形BPCO是平行四边形.
理由:∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AO=OC,BO=OD.
∵分别以点B,C为圆心,12AC,12BD长为半径画弧,两弧交于点P,
∴BP=12AC=OC,CP=12BD=OB,
∴四边形BPCO是平行四边形(依据:两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(2)当AC⊥BD,且AC=BD时,四边形BPCO是正方形.
∵AC=BD,OC=12AC,OB=12BD,
∴OC=OB.
由(1)知四边形BPCO是平行四边形,
∴平行四边形BPCO是菱形.
又AC⊥BD,
∴菱形BPCO是正方形.
15 (1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴AD∥GE,
∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH与EF垂直.
理由如下:
如图,连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG,
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,
∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC.
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,
∴AH⊥EF.